А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пусть , ясное дело, она бесконечно дифференцируема на . Теперь возьмем . Она и будет основной функцией.

ЗАДАЧА. Доказать, что плотно в .

Итак, пусть . Тогда можно рассмотреть ЛНФ на : . Если же рассмотреть пространство пробных функций и задать на нем топологию, то можно будет изучать пространство получившихся ЛНФ, сопряженное к нему. Обобщенные функции – это элементы некоторых сопряженных пространств, причем чем сильнее топология в , тем шире сопряженное пространство.

ПОЛУНОРМЫ

Определение: Неотрицательная функция называется полунормой на , если и :

1)

2)

(В отличие от нормы нет третьего свойства: )

Пусть - линейное пространство, , , - некоторая система полунорм в . В можно ввести топологию (систему окрестностей нуля): . Т.е. окрестности нуля определяются конечными системами неравенств. В этом случае пространство называется полинормированным.

Определение: Если множество индексов счетно, то называется счетно нормированным.

Мы задали в полинормированных и счетно нормированных пространствах топологию можем ввести понятие сходимости (понятно, как это делать) можем определить, что такое фундаментальная последовательность есть и понятие предела последовательности можно ввести понятие полноты.

Определение: Полное счетно нормированное пространство называется пространством Фреше.

Определение: Линейное пространство называется выпуклым, если и .

ЗАДАЧА. Пусть - полинормированное пространство. Тогда метризуемо эквивалентная счетная система полунорм, т.е. счетно нормировано.

Пояснения: Если счетная система полунорм , то метрику можно задать, например так: . А обратно: из метризуемости следует наличие счетной базы.

ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть - область в . Тогда:

- пространство бесконечно дифференцируемых в функций

- пространство бесконечно дифференцируемых в функций с компактным носителем (т.е. в )

- пространство Шварца быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций, т.е. в

Теперь несколько слов о будущих обозначениях: пусть и - мультииндекс, где - целые. Тогда далее мы будем использовать сокращенную запись:

и .

Далее зададим топологии в основных пространствах:

1) в

- это счетная система полунорм. - полное пространство, т.е. оно является пространством Фреше. Это так, поскольку если мы имеем последовательность по системе полунорм , то а) сходятся сами функции функция непрерывна б) сходятся все частные производные производная непрерывна в) предельная функция имеет все производные, т.к. элементы последовательности бесконечно дифференцируемы. Если , то и предельная функция убывает быстрее любой степени.

// Этого не было на лекциях, но полезно знать, что введенная система полунорм эквивалентны следующим:

и , где - мультииндексы.

2) в

,

Вообще, систему полунорм на можно ввести следующим образом: (1), где - произвольный компакт. Эта система полунорм делает полным (потому же, почему и в пункте 1)). Но число компактов не является счетным мы не сможем получить пространство Фреше. Поэтому надо брать исчерпание области компактами ( ). Таким образом, имеем счетную систему полунорм (2). На последок стоит лишь заметить, что т.к. такой, что , то (1) и (2) эквивалентны - пространство Фреше.

3) в

, если рассмотреть ту же систему полунорм, что и в пункте 2), то полноты для мы не получим, т.к. можно построить (это легко) последовательность таких, что у предельной функции носитель не будет лежать в (просто компакты должна неограниченно приближаться в границе ). Значит, необходимо ввести другую систему полунорм. Попробуем следующее: - произвольная последовательность неотрицательных целых чисел, а , где , а - это элементы исчерпания. Для каждой функции с носителем , т.е. для каждой функции полунорма будет определена корректно, т.к. в определении будет участвовать лишь конечное число слагаемых. Оказывается, что такая система полунорм делает пространство полным. Однако это система несчетна, поэтому не является пространством Фреше. также нельзя метризовать – это мы намерены доказать дальше.

////////////////////////////////////////////////////////////////////8я лекция

Определение: Точка называется критической для , если в окрестности и такой, что .

Замечание: существуют критические точки. В случае их для любой функции по крайней мере две. Отметим также, что не является аналитичной в критической точке , т.к. если бы функция была аналитической, то она была бы аналитической в некотором шаре , но ведь такой, что , что для аналитической функции это сразу влечет , что не так.

ЛЕММА. Пусть и - критическая точка . Тогда . (*)

Доказательство: для функции имеем: , где . Обозначим через сумму первых слагаемых.

Предположим, что (*) неверно, тогда . Но тогда бы полиномы , т.к. остаточный член в этом случае , но тогда бы была бы аналитической, что не так, поскольку - критическая точка . ЧТД.

ТЕОРЕМА. .

Доказательство: Очевидно. Действительно, пусть такой, что имеют место условия a) и b). Тогда на этом компакте , т.е. равномерно. Тогда в системе полунорм пространства фиксированное конечное число слагаемых: , при этом зависит только от структуры исчерпания. А отсюда следует эквивалентность этой системы полунорм и системы полунорм . Поясним, если , то понятно, что будет и (в силу конечности суммы для последней полунормы в нашем случае).

пусть в , тогда в , поскольку топология в слабее (еще бы!) топологии в . Пусть такого, что . В таком случае, - подпоследовательность такая, что критические точки функций неограниченно приближаются к границе (т.к. носители обязаны приближаться к границе). Но тогда из предыдущей леммы получаем, что . Но тогда в определении системы полунорм в пространстве запишем условие сходимости к нулю : , здесь мы учли, что можно считать вместе с некоторой окрестностью. Но последний ряд в силу сделанного выше замечания расходится, следовательно, в . Получили противоречие. Значит, условие b) все же имеет место. ЧТД

ТЕОРЕМА. Пространство полное, полинормированное, но не является пространством Фреше, в частности, оно не может быть метризуемым.

Доказательство: пусть пространство Фреше, т.е. счетная система полунорм , которая порождает эквивалентную топологию. Тогда - метрика, порождающая эквивалентную топологию. Причем при . Однако линейности по нет.

Далее возьмем такие , что критические точки функций соответственно подходят к границе. Далее, такие, что , но тогда последовательность сходится к нулю в по метрике , а она задает исходную (эквивалентную) топологию последовательность функций, которая сходится к нулю (пространство Фреше – полное счетно нормируемое) в нашей топологии. Но не лежит не в одном компакте , т.к. подходит к границе противоречие по предыдущей теореме. ЧТД

РЕГУЛЯРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть , - область в , т.е. интегрируема на любом компакте . Каждой такой функции поставим в соответствие функционал . Таким образом, представляет собой функционал на пространстве пробных функций, т.е. на , если . Заметим, что интеграл в определении корректно определен , т.к. интегрированию в этом случае ведется по компакту, же финитна, а суммируема на этом компакте, т.к. принадлежит .

Определенный нами функционал линеен и непрерывен на , т.к. если , то, очевидно, .

Определение: Пространства линейных непрерывных функционалов на , и называются соответственно:

1) - пространство распределений (обобщенных функций)

2) - пространство обобщенных функций умеренного роста

3) - пространство обобщенных функций с компактным носителем

Определение: Функционал вида , где , называют регулярным. Они строятся по локально суммируемым функциям.

ТЕОРЕМА. Соответствие является инъективным, т.е. если , то п.в. (Т.е. регулярные функции инъективно включены в пространство обобщенных функций)

Доказательство: для простоты положим , .

Пусть - произвольная область, компактно вложенная в ( , т.е. ), тогда в силу локальной интегрируемости в . Но тогда по определению интеграла Лебега простая функция , где - измеримые дизъюнктные множества, на которых , такая, что . Т.к. измеримы, то и - открытые и замкнутые соответственно множества такие, что и (в частности, ). Далее, такое, что . Таким образом, все можно читать открытыми, т.е. заменим их на открытые множества . Итак, . Тогда . Т.к. дизъюнктные множества, а (т.е. , вообще говоря, пересекаются), то можем рассматривать дизъюнктные множества и . Рассмотрим далее - другое представление . Возьмем функцию , где , и .

Рассмотрим

Следовательно, п.в. ЧТД (что-то не все гладко )

Характеристики

Список файлов лекций