А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать теорему Соболева в следующей формулировке при , :

, причем .

Здесь мы вместо обозначения использовали более распространенное для соболевских пространств .

Приведем здесь и

ОБОЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ(Соболева). при , причем .

Из теорем Соболева сразу следует важная

ЛЕММА. Набор полунорм в порождает в эквивалентную топологию.

ТЕОРЕМА. Если , то такая, что , т.е. имеет конечный порядок сингулярности.

Доказательство: если , то такая, что (*). Заметим, что - норма, для которого справедливо равенство параллелограмма, следовательно, она порождает скалярное произведение: . Значит, с этим скалярным произведением и этой нормой получим гильбертово пространство – пополненное в норме , обозначаемое - соболевское пространство (гильбертово). , значит - линейный функционал на , и оценка (*) влечет за собой то, что продолжается как линейный и ограниченный (а значит, и непрерывный) функционал на всем . Далее, согласно теореме Рисса-Фреше: такой, что в , т.е. (**). Осталась самая малость – из представления (**) получить требуемое, надо проинтегрировать по частям.

Ранее мы доказали, что имеем , значит такое, что , где - это элемент исчерпания ( ). Возьмем с компактным носителем в (т.е. ) такую, что на . Далее можем считать, что из представления (**) равна нулю вне (т.к. по определению носителя равна нулю вне ). Можем считать, что достаточно большое для того, чтобы все функции из соболевского пространства были непрерывны. Значит, . Теперь мы можем интегрировать по частям, т.к. : (***). Осталось заметить, что поскольку и на , то в конечном представлении (***) можно убрать. Следовательно, . ЧТД

Определение: Функция называется функцией умеренного роста, если - мультииндекс такой, что (т.е. растет не быстрее некоторой степени).

Аналогичное представление для функций из дает

ТЕОРЕМА. Пусть , то непрерывная в регулярная умеренного роста такая, что имеет место представление: .

Доказательство: система полунорм эквивалентна системе полунорм . Каждая из этих норм порождает гильбертово пространство с понятно каким скалярным произведением. Теперь, , поэтому продолжается как ЛНФ на пространство при некотором . Но тогда согласно теореме Рисса-Фреше такой, что в . И так далее аналогично предыдущей теореме получаем требуемое. ЧТД

Замечание: Важно понимать, что функции , вообще говоря, могут не иметь конечного порядка сингулярности. Например, .

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что с предыдущей строчки – ЛНФ на , а порядок сингулярности равен .

Однако, сужение на любую область ( ) имеет конечный порядок сингулярности.

Далее мы переходим к рассмотрению свойств преобразований Фурье обычных и обобщенных функций.

ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Мы начинаем изучение части курса функционального анализа, имеющей значение не только для него самого, но и для теории уравнений с частными производными. Там это очень важный аппарат решения уравнений.

Как и ранее мы полагаем, что и , а .

Определение: Преобразованием Фурье функции называется следующая функция: . Иногда это понятие называют еще классическим преобразованием Фурье. Ясно, что интеграл определен корректно, т.к. .

Кстати, сразу можем отметить, что преобразование Фурье линейно в силу линейности интеграла и непрерывно: т.к. абсолютно непрерывна в , то при . Но тогда .

Теперь наша задача состоит в том, чтобы это определение распространить на и пространства обобщенных функций. Далее мы докажем несколько свойств преобразования Фурье. Для этого мы будем работать в пространстве , чтобы уж все условия на переходы точно выполнялись.

СВОЙСТВА

Прежде всего докажем важную лемму.

ЛЕММА. Пусть . Тогда справедливы свойства:

(1) (нужна абсолютная непрерывность на каждом конечном интервале, )

(2) (нужна абсолютная интегрируемость )

(3) сумма первых двух:

Доказательство:

(1) Достаточно проверить справедливость утверждений для одномерного случая. . Поскольку финитна, то можем интегрировать по частям. Интегрируем раз. Выполнено.

(2) Та же схема доказательства: . Для перехода при дифференцировании под интегралом мы воспользовался тем, что производная по параметру является непрерывной функцией ([4], стр. 431)

(3) Это свойство – очевидное следствие первых двух. ЧТД

Замечание: Т.к. , то если бесконечногладкая и , тогда из (1) следует, что:

, т.е. чем больше порядок производной, лежащей в , у функции, тем быстрее она убывает на бесконечности.

Если , то , т.е. непрерывна в и .

Ранее мы показали, что и . Заметим, что если индикаторная функция интервала , то - это, очевидно, непрерывная функция, а на бесконечности она убывает к нулю. (Вспомним действан…) Т.к. взятие преобразования Фурье линейная операция, то преобразование Фурье и любой простой функции (т.е. ступенчатой, т.е. линейной комбинации индикаторов интервалов) будет непрерывной функцией, стремящейся к нулю на бесконечности. А поскольку простые функции плотны в по определению этого пространства, то это будет справедливо и .

ТЕОРЕМА. Если , то .

Доказательство этой теоремы мы должны знать в одномерном случае из курса матана (см [4], Стр. 522, §12).

Замечание: Хотя эта теорема справедлива , мы избрали такую формулировку, т.к. далее будем работать в .

Очень важнейшее замечание: пусть . Тогда оператор , сопряженный к оператору , определен равенством . И тогда этот интегральный оператор запишется:

, т.е. . Итак, мы получили, что .

ТЕОРЕМА(Планшереля). выполнено: .

Доказательство: . Аналогично для . ЧТД

Замечание: итак, это утверждение справедливо для , но т.к. плотно в , то можем операцию взятия преобразования Фурье продолжить по непрерывности на с сохранение нормы. А именно: пусть , берем : , тогда это фундаментальная последовательность, поэтому , при этом и . Теперь имеем: , такие операторы называются изометрическими.

Точно так же продолжается и как изометрический. Причем на всюду плотном множестве было: и . Следовательно, и во всем будет то же самое. А это означает, что в будет определен . Такие операторы называются унитарными.

ТЕОРЕМА. Оператор действует из в биективно, причем и ограничены в топологии .

Доказательство: ясно, что инъективен. Действительно, поскольку , то прообраз нуля есть ноль, а это и значит, что отображение инъективно.

Докажем, сюръективность отображения. Для этого заметим, что . Значит, .(!) Пусть, далее, , тогда . Сюръективность доказана.

Кроме того, мы имеем, что непрерывно в топологии , т.е. есть топологический гомеоморфизм. ЧТД.

Замечание: Что же нам дала эта теорема? Она нам позволила теперь определить преобразование Фурье для обобщенных функций умеренного роста . Ранее мы рассматривали для : . В этом равенстве теперь будем считать . Тогда оно останется корректным для . Как следует из свойств преобразования Фурье для и линейности скалярного произведения, все свойства преобразования Фурье при таком рассмотрении сохраняются. Итак, .

ПРИМЕР: в

. Т.о. .

//////////////////////////////////////////////////////////13я лекция

СВЕРТКА ФУНКЦИЙ

Пусть .

Определение: Сверткой функций называется функция .

Далее для простоты полагаем .

СВОЙСТВА свертки:

(1) (легко получаем после замены переменных)

(2) имеем , причем .

Доказательство: воспользуемся теоремой Фубини:

(3)

Небольшой комментарий по поводу обозначений: ранее, когда мы рассматривали преобразование Фурье как унитарный оператор на , мы писали , теперь же пишем как обозначении операции над (взятие соответствующего интеграла). В разных ситуациях удобно какое-то одно обозначение.

Доказательство: . Использовали мы здесь то, что интеграл сходится абсолютно – в этом случае мы можем переставлять пределы интегрирования.

Далее мы хотим определить свертку для обобщенных функций. Но тут возникают трудности, такие же, что и с преобразованием Фурье, мы не можем ее определить для всех обобщенных функций. Сначала определим прямое произведение обобщенных функций.

Пусть , а . Рассматриваем именно такие пространства, т.к. свертка и преобразование Фурье определяются по всему пространству , а не по какой-то области, свертка на каких-то других областях не имеет прикладного значения. Поскольку все, чем мы сейчас занимаемся есть аппарат для УРЧП, то работаем в .

Определение: Прямым произведением регулярных обобщенных функций и называется функционал в , определенный следующим образом: , где .

Характеристики

Список файлов лекций