А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. Покажем, что такое, что .

Пусть , : (*). Единичная сфера в слабо компактна, т.е. . Заметим, что , поскольку и из-за (*), а из-за того, что , значит . . Т.е. сильно, а к сильно сходящейся последовательности можно применять оператор : , т.е. , , т.е. . Получили противоречие, т.к. , которое замкнуто. Таким образом, , т.е. замкнут (это было ранее, правда, в не совсем такой форме). ЧТД.

Замечание: Эта теорема верна и в банаховых пространствах, но там очень тяжелое доказательство.

Замечание2: Любой конечномерный оператор , а тогда .

А теперь мы перейдем к основной теореме первой главы.

Аналитическая ТЕОРЕМА Фредгольма (теорема о голоморфной оператор-функции). Пусть - голоморфная оператор-функция (в равномерной операторной топологии) в области со значениями в (двустороннем) идеале комплексных операторов. Пусть такое, что обратим. Тогда обратим , кроме, быть может, последовательности изолированных чисел . В точках : .

Доказательство: пусть обратим.

такой, что , далее такое, что выполнено . Следовательно, , тогда . Получили, что обратим оператор обратим, где .

обратим уравнение (*) имеет единственное решение . Запишем далее: .

Вспомним теперь, что конечномерный и . Тогда , а , где и аналитичны по в . Обозначим , ясно, что , т.к. мы изначально полагали базисом в . Теперь, для сопряженный базис: такой, что .

Учитывая все введенные обозначения, запишем:

(**). Далее можем опустить зависимость коэффициентов от . Теперь домножим равенство (**) на вектора , получим систему равенств:

, (***) - n уравнений на n неизвестных. Эта система имеет решение . В системе мы знаем столбец свободных коэффициентов, т.к. это коэффициенты в разложении по базису (значит, он не может быть равен нулю). Разрешимость системы, т.е. неравенство нулю определителя эквивалентна разрешимости уравнения (*), а значит, и обратимости оператора .

Обозначим . Это аналитическая в функция от , причем . Следовательно, из курса комплана следует, что может иметь в лишь изолированные нули конечной кратности (это следствие из Теоремы о единственности для голоморфной функции). Таким образом, почти для всех , кроме, быть может, изолированных точек, оператор обратим, а значит, обратим и .

Итак, если , то мы находим , тогда и уравнение (*) имеет решение . Если же и , то такие, что - есть нетривиальное решение уравнения (**) с нулевой правой частью. Следовательно, есть нетривиальное решение уравнения (*) с нулевой правой частью, т.е. - собственный вектор с собственным значением (-1).

Таким образом, мы показали, что , в которой либо правой части уравнение (*) разрешимо, либо . Утверждение теоремы мы доказали для окрестности .

Распространим теперь этот факт на все .

Рассмотрим компакт . Т.к. - голоморфна в , оператор-функция равномерно непрерывна на . Следовательно, : . Покроем окрестностями , . Поскольку компакт, то выделим конечное подпокрытие .

Далее, возьмем произвольное и покажем, что в также выполнено утверждение теоремы. Очевидно, что путь с концами и , т.к. - область – линейносвязное множество. Можно считать, что . Теперь рассмотрим диски, которые накрывают путь , они, ясное дело, пересекаются по некоторым открытым множествам. Пусть для ясности центрами этих дисков являются некоторые точки . Причем пересекаются только соседние диски. Поскольку в утверждение теоремы доказано, то и в пересечении нулевого диска и первого (диски номеруются в соответствии с их центрами) оно будет справедливо. Таким образом, в пересечении нулевого и первого диска есть точки, в которых обратим, тогда такие точки есть и в первом диске. Теперь можно повторить наши рассуждения для первого диска. Так сдвигаясь дальше за конечное число шагов мы доберемся до точки . ЧТД.

СЛЕДСТВИЕ(Теорема Фредгольма(обычная)). Пусть компактен. Тогда либо обратим, либо .

Доказательство: Возьмем . Это голоморфная по оператор-функция. При оператор обратим. Тогда он обратим всюду, кроме , причем имеет нетривиальное решение, т.е. собственный вектор. Стоит отметить при этом, что изолированы, поэтому (так же, как и нули целой функции). ЧТД.

СЛЕДСТВИЕ2(Теорема Рисса). Пусть компактен. Тогда спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, причем .

Доказательство: - голоморфная оператор-функция в . Она необратима в изолированных точках . Именно поэтому , т.к. . ЧТД

Замечание: Отличие теоремы Рисса от теоремы Гильберта в том, что здесь мы имеем дело с просто компактным оператором, у Гильберта же – самосопряженный случай.

Так же лектор рассказал кое-что выходящее за рамки курса:

Определение: Индексом оператора называется . - это размерность ортогонального дополнения.

Так вот верна одна примечательная

ТЕОРЕМА. Если фредгольмов, то .

/////////////////////////////////////////////////////////////////13я лекция

Продолжим рассмотрение следствий аналитической теоремы Фредгольма.

СЛЕДСТВИЕ (ТЕОРЕМА Рисса). Пусть - компактный оператор в гильбертовом пространстве , тогда спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности , причем .

Определение: Существенным спектром оператора называется множество , где – изолированные собственные значения конечной кратности. Обозначается .

В дальнейшем нам понадобится еще одно

Определение: Внешней компонентой резольвентного множества оператора называется наибольшая область, содержащаяся в . Иначе говоря, это связная составляющая резольвентного множества, содержащая бесконечно удаленную точку.

СЛЕДСТВИЕ (ТЕОРЕМА Вейля). Пусть . Тогда компактного оператора , , .

Доказательство: воспользуемся общим фактом, который сформулируем в виде леммы

ЛЕММА. Если - компактный, то во внешней компоненте резольвентного множества находятся только изолированные собственные значения конечной кратности оператора .

Доказательство: . Ясно, что при оператор обратим. Тогда по аналитической Теореме Фредгольма во всей внешней компоненте оператора он обратим, и, быть может, необратим лишь в изолированных точках (во внешней компоненте есть только дискретный спектр оператора ). Таким образом, в находятся только собственные значения .ЧТД.

Т.е. . Покажем теперь, что . Пусть - изолированное собственное значение оператора конечной кратности. Обозначим через , , т.к. кратность конечная. Рассмотрим - ортопроектор на . Тогда т.к. , то подпространство инвариантно относительно самосопряженного оператора (легко проверить!) и сужение - обратим (т.к. не имеет ядра). Следовательно, , т.к. обратим в , поскольку и . А теперь компактного оператора , но .

Таким образом, компактного оператора . Аналогично продолжив, получим в конце концов .

Но тогда компактного оператора , но если положить , получим . ЧТД.

Итак, мы закончили рассмотрение спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах. В концовке курса мы еще коснемся некоторых вопросов функционального исчисления операторов (в том числе Центральной спектральной теоремы), но это потом. А сейчас мы переходим к рассмотрению обобщенных функций.

ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ.

ВВЕДЕНИЕ.

Под обобщенными функциями понимают элементы некоторых функциональных пространств. В последнее время все чаще (на Западе уже давно) вместо термина “обобщенная функция” употребляют термин “распределение”.

Обозначим через пространство локально суммируемых по Лебегу функций, т.е. на конечном отрезке функции интегрируемы по Лебегу.

Определение: Финитной называется непрерывная функция, обращающаяся в ноль на вне некоторого конечного интервала.

Определение: Будем называть пробными (или основными) финитные бесконечно дифференцируемые функции. Пространство всех таких функций обозначим через .

Определение: Обозначим через пространство бесконечно дифференцируемых финитных на функций.

Определение: Носителем функции называется множество . Иначе это можно записать так: . Важно, что носитель любой функции – есть компакт.

Определение: Обозначим через пространство бесконечно дифференцируемых на функций, равные нулю вне некоторого шара (радиус шара зависит от конкретной функции).

Построим нетривиальную финитную функцию:

Характеристики

Список файлов лекций