А.А. Шкаликов - Конспект лекций (1135008), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Во-первых, теорема утверждает, что спектр компактного самосопряженного оператора состоит из собственных значений оператора конечной кратности, которые имеют “единственную предельную точку в нуле” (слова лектора).

Во-вторых, здесь используется факт, который часто игнорируется студентами, а именно, что ядро оператора – это тоже собственные вектора, отвечающие собственному значению 0.

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4я лекция

Для доказательства сформулированной теоремы нам понадобятся вспомогательные утверждения. Приступим к их доказательству. В формулировках лемм будем вместо “ - самосопряженный” писать “ ”.

ЛЕММА1. Пусть , - компактный и . Тогда, если , - собственное значение.

Доказательство: имеем , т.к. и . Тогда, если , - собственное значение. И все доказано.

Пусть , тогда . Если : ,то замкнут. Следовательно, и , т.е. - обратим по теореме Банаха об обратном операторе (в самой первой лекции у нас было соображение о том, что если и , то - биекция). Но тогда получили противоречие с тем, что . Т.е. такого .

Тогда : и , т.е. (*). Но по условию - предкомпактно : . И тогда, учитывая (*), или, по-другому, . А т.к. - ограниченный оператор, то . Откуда очевидно следует: . При этом , т.к. . Т.о. мы нашли собственный вектор для собственного значения . ЧТД

ЛЕММА2. Пусть - компактный. Тогда , , имеем: .

Доказательство: пусть и ( - собственное подпространство, т.е. , т.к., если бы , тогда бы , который, очевидно, не является компактным (т.к. по договоренности - бесконечномерно)). Допустим, что . Тогда , - мы взяли сужение оператора на подпространство . В нем тождественный (как и гомотетичный) оператор не является компактным противоречие. ЧТД

Замечание: По завершении доказательства лектором была брошена фраза о том, что компактные операторы есть почти то же самое, что и матрицы. Заметим также, что это означает, что любое собственное значение для компактного самосопряженного оператора имеет конечную кратность.

ЛЕММА3. Если и - собственные значения оператора , то .

Доказательство: пусть , а , т.е. и . Далее, , т.к. - самосопряженный. Но тогда (в последнем переходе должно было стоять сопряжение, но ведь у самосопряженного оператора спектр вещественен, поэтому сопряжения нет). А т.к. , то . ЧТД

ТЕОРЕМА (Гильберта). Пусть и - компактный. Тогда , , Каждое собственное значение нумеруется столько раз, какова его кратность. Тогда ОНС из собственных векторов оператора , отвечающих собственным значениям . А если - ПОНС в , то есть ПОНС в , где .

Доказательство: т.к. и - компактный, то - числовой образ.

Если , то , т.е. , и справедливость утверждения очевидна, т.к. любая ПОНС будет удовлетворять утверждению теоремы.

Пусть, например, (для случая будет все аналогично). Тогда обозначим - максимальное по модулю собственное значение конечной кратности. Выберем ПОНС в . Таким образом, и инвариантно относительно . Далее рассмотрим , инвариантное относительно . Далее рассмотрим сужение оператора на : - он самосопряжен в и компактен. Теперь не есть его собственное значение, и , где (если бы оказалось, что , это бы означало, что ).

Повторим процесс далее. В качестве следующего значения берем . Тогда либо , либо – собственное значение конечной кратности. Не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда , . Выберем в ПОНС . Продолжая так и далее, получим последовательность собственных значений: , при это мы построим ОНС (*)

Если имеет конечное число собственных значений (т.е. он конечномерный), то процесс оборвется на -ом шаге, и мы получим конечную ОНС собственных векторов оператора , которая очевидно будет полной в . В конце получим (после последнего сужения) нулевой оператор. Выбираем на ПОНС , можно так сделать т.к. - есть гильбертово пространство. И тогда (*) вместе с образуют ПОНС в .

Пусть процесс не оборвется, тогда число СЗ бесконечно. Докажем, что .

Предположим, что , тогда и , т.к. - ОНС и . А тогда , т.к. вектора и ортогональны, поэтому . А значит, образ оператора непредкомпактен. Противоречие с определением компактного оператора. .

Далее, возьмем - ПОНС по построению, . Рассмотрим . Ясно, что инвариантно относительно оператора , как, собственно, и . Теперь вспомним тот общий факт, что если некоторое пространство инвариантно относительно оператора , то пространство инвариантно относительно . Но в этом случае тогда инвариантно относительно , при этом в нет ненулевых собственных значений (мы их все загнали в ). . Возьмем в любую ПОНС, она вместе с будет образовывать по построению ПОНС в . ЧТД.

Замечание: Чем же мы занимались при доказательстве этой довольно важной теоремы? Попросту, брали крайние точки числового образа, которые в случае компактного и самосопряженного оператора являются его собственными значениями.

ПРИМЕР. 1) Рассмотрим оператор в . Его числовой образ , спектр . Однако не имеет собственных значений, т.е. спектр не состоит из собственных значений, стремящихся к 0. Доказать.

2) Рассмотрим оператор правого сдвига . Найти его спектр.

Теперь вспомним один факт из прошлого семестра:

Напомним, что любой конечномерный оператор имеет вид , где . И действительно, по определению конечномерного оператора , тогда , где - ПОНС в . При этом очевидно, что .

/////////////////////////////////////////////////// 5я лекция

Определение: Оператор называется проектором, если .

Определение: Проектор называется ортогональным, если .

Используя соображения, похожие на те, что приведены чуть выше про вид конечномерного оператора, легко получим, что . Далее, если рассмотреть - ПОНС в и , то окажется ортопроектором . Это так, поскольку:

Факт1.

Факт2.Если , то , т.к.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть , где - ПОНС в . Тогда .

Доказательство: Действительно, , т.к. этот ряд при фиксированном сходится. ЧТД.

ТЕОРЕМА. Пусть и - компактный, - собственные значения, - соответствующие им собственные вектора. Тогда , причем ряд сходится в равномерной операторной топологии.

Доказательство: , тогда и его спектр . ЧТД.

ТЕОРЕМА(о конечномерном приближении). компактен в гильбертовом пространстве конечномерные операторы такие, что .

Доказательство: в это сторону включение было в конце прошлого семестра

пусть компактный оператор тоже будет компактным, а еще самосопряженным. Пусть, далее, - собственные значения (они будут больше нуля, т.к. если , то , но с другой стороны, , т.е. ), а - ОНС из собственных векторов в . Рассмотрим - ортопроекторы, и - дополнительные ортопроекторы. Рассмотрим конечномерные операторы , . Тогда . Но тогда т.к. - очевидно, компактный и самосопряженный, то . . Таким образом, мы в явном виде построили приближение. ЧТД.

Замечание: По окончании доказательства этой теоремы Андрей Андреевич рассказал, что банаховы пространства, в которых эта теорема не верна, т.е. в них нет аппроксимации (компактных операторов конечномерными). Видимо, в этом смысле и понималась лектором его фраза о том, что компактные операторы суть почти то же, что и матрицы.

Переходя к новой теме, лектор позволил себе небольшой исторический экскурс. Он рассказал, что начало нижеследующей теории было положено в 1901 году работами Гильберта. В то время стояла задача решения систем интегральных уравнений. Проблема решалась, но “дикими методами”. Под это дело стала подгоняться теория, уравнения математической физики (урчпы) стали решаться функциональными методами. Важной вехой в этой работе были труды шведского математика Эрика Ивара Фредгольма (1866—1927).

Определение: Оператор называется фредгольмовым, если:

1) ,

2) ,

3) замкнут.

ПРИМЕР: Рассмотрим оператор правого сдвига: в пространстве . Он фредгольмов. Т.к. , оператор , сопряженный к оператору правого сдвига, - это оператор левого сдвига. Поэтому и , замкнут, как ортогональный к первому базисному вектору.

ТЕОРЕМА. Пусть , где компактный в гильбертовом пространстве . Тогда фредгольмов.

Доказательство: 1) Пусть . Тогда имеем , т.е все элементы суть собственные вектора, соответствующие значению . По сути , где компактный, а . А по Лемме2 перед Теоремой Гильберта .

2) . Но тогда по Теореме о конечномерном приближении - компактный, поскольку если - конечномерные (тогда и будут конечномерными) и , то и а по Теореме о конечномерном приближении приближается конечномерными, т.е. компактен. Но тогда по пункту 2) имеем, что

3) Теперь докажем, что замкнут.

Характеристики

Список файлов лекций