Лекционный курс (1134109)
Текст из файла
Ëåêöèÿ 1Ðåàëüíîå ÿâëåíèåÌàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü Âûâîäû â ðàìêàõ ìîäåëèñîïîñòàâëåíèåÝòàïû ðàçâèòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåéI. P(A) - âåðîÿòíîñòè íåêîòîðûõ ñîáûòèéII. X=X(ω ) - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûIII.  ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà ââåäåí ôàêòîð âðåìåíèÈç èñòîðèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé:1827 Îòêðûòèå Áðîóíà äâèæåíèÿ ÷àñòèö ïûëüöû â êàïëå âîäû...1900...1997 Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ýêîíîìèêå âðó÷åíà Ìåðòîíó è Øîóõñó... êóðñå â îñíîâíîì èçó÷àþòÿ íåïðåðûâíûå, íî íèãäå íå äèôôåðåíöèðóåìûåôóíêöèè. Íàïðèìåð, òðàåêòîðèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû.Ìû íàõîäèìñÿ â ðàìêàõ (Ω, F ,P)Îïð.: Ñëó÷àéíûé ýëåìåíò - ôóíêöèÿ X: Ω → S, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ F | B èçìåðèìûì.
(Ò.å. ∀B∈ B x−1 (B) = { ω : X(ω ) ∈ B} ∈ F )Åñëè Ì - íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ S, òî σ (M) - ýòî íàèìåíüøàÿσ -àëãåáðà (ñ åäèíèöåé S), êîòîðàÿ ñîäåðæèò M.S - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. B (S) = σ {îòêðûò. ìí-âà S}Óïðàæíåíèå. S - ñåïàðàáåëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òîãäà B(S) =σ (îòêðûòûõ øàðîâ) = σ (çàìêíóòûå øàðû)Ë Å Ì Ì À. Ïóñòü X: Ω → S. Ïóñòü M - íåêîòîðàÿ ñèòñåìà ïîäìíîæåñòâS. Ââåäåì â Ω σ -àëãåáðó A = X −1 (σ {M}).
Òîãäà X ÿâëÿåòñÿ A|σ {M} èçìåðèìûì îòîáðàæåíèåì.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ D:= { D⊂S : X −1 (D)∈ A} - σ - àëãåáðà. M⊂ D •Ñëåäñòâèå.Ïóñòü X: Ω → S, B=σ {M}, (X: (Ω, F ) → (S, B )), òîãäà X ∈ F | B , åñëèX −1 (M) ⊂ F , ò.å. X −1 (B)∈ F ∀B∈MÒî åñòü äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íà ìíîæåñòâàõ, ïîðîæäàþùèõ σ -àëãåáðó.(Ò.å. íà áîëåå "ñêóäíîé"ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ.1Èçìåðèìûå îòîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò "ïåðåêèíóòü"ìåðó ñ îäíîãî ïðîñòðàíñòâàíà äðóãîå.Îïð.: Ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà X: Ω → S (X ∈ F | B) íàçûâàåòñÿìåðà Px (B):=P(X −1 (B)). Ò.å. âîçíèêàåò ìåðà íà (S, B)Èçó÷åíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìåð íà ïðîñòðàíñòâå (S, B) è èçó÷åíèå ðàñïðåäåëåíèéñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ ïî ñóòè îäíî è òîæå.Ë Å Ì Ì À.
Ïóñòü Q - âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà (S, B ). Òîãäà ∃(Ω, F ,P) èñëó÷àéíûé ýëåìåíò X: Ω → S, òàêîé ÷òî Px = Q.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ Âîçüìåì Ω = S, F = B, P = Q, X = I (òîæäåñòâåííîå) •Îïð.: Ïóñòü (St , Bt )t∈T - ñåìåéñòâî èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâ. Ñëó÷àéíîéôóíêöèåé [çàäàííîé íà Ω è T] íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâX={X(t,ω ), t∈T, ω ∈ Ω}Xt : Ω → St , ∀t∈T, ÿâëÿþòñÿ F | B - èçìåðèìûìèÍàèáîëåå âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà St =S, Bt = BX=X(t,ω ), t∈T, ω ∈ Ω- ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t X - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà- ïî òðàäèöèè àðãóìåíò ω â çàïèñè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îïóñêàåòñÿ, à ïèøåòñÿX(t) èëè XtXt6tÎïð.: Ôóíêöèÿ X(·,ω ) ïðè ôèêñèðîâàííîì ω íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðèåé (ðåàëèçàöèåéèëè âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé).Åñëè T⊂ Rd , òî ãîâîðÿò î ñëó÷àéíûõ ïîëÿõÎïð.: Ñèñòåìû ìíîæåñòâ M1 , .
. ., Mn ⊂ F íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè (âñîâîêóïíîñòè), åñëè âûïîëíÿåòñÿ ∀A1 ∈ M1 , . . . , An ∈ Mn P(A1 , . . . , An ) =P(A1 ), . . ., P(An ).Ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ Mt , t∈T íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìûì, åñëè ∀n≥2 ∀t1 , . . . , tn ∈T , M1 , . . . , Mn - íåçàâèñèìûå ñèñòåìû.2Îïð.: Ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû X1 , .
. . , Xn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè (â ñîâîêóïíîñòè),åñëè íåçàâèñèìû σ -àëãåáðû σ{X1 }, . . . , σ{Xn }. (σ{X1 } = {X −1 (B), B ∈ B1 })X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìûå äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. (Ω, F , P).Îïð.: Ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Xn íàçûâàåòñÿ FXn (x) = P (ω : Xn (ω) ≤x).
Äàëåå ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü çàïèñü Px è FxÂîçüìåì Ω = [0,1], B = B ([0,1]), P=µ (ìåðà Ëåáåãà). µ([a,b]) = b - a.ω ∈ [0, 1]P∝Ðàññìîòðèì ω = k=1 ak (ω)2−k , ak =0 èëè 1. Åñëè çàïèñü íåîäíîçíà÷íà, òîâûáèðàåì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî a1 , a2 , . . . - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû P(an =0)== P(an =1)=1/2 (∗)Îáðàòíî. Åñëè a1 , a2 , . . . -Píåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå ÷òî∝ñïðàâåäëèâî (∗), òî ξ(ω) = k=1 ak (ω)2−k ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîéâåëè÷èíîé íà [0,1].
Åñëè F - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ââåäåì F inv (x)=inf{y :F (y) > x} ∀x ∈ [0, 1]Îò ñëîâà invert.F (x)16xÏîëîæèì X(ω ) = F inv (ξ(ω)), ãäå ξ - ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà [0,1] (ò.å.∼R[0,1]). Òîãäà P(F inv (ξ) ≤ z) = P (ξ ≤ F (z)) = F (z), ò.ê. ξ - ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåíà ∀z ∈ R.P∝Èòàê, áåðåì ðàçëîæåíèå ω = k=1 ak (ω)2−k , ω ∈ [0, 1]Çàïèñûâàåì ak â âèäå ìàòðèöûa1 a3 a4 . . .a2 a5 a9 . .
.a6 a8 . . .............Îáîçíà÷èì çà bnkb11b11ýëåìåíò ñòîÿùèé íà (n,k) ìåñòå b11...b12b12b12...b13b13b13...............Îáõîäèì áåñêîíå÷íóþ ìàòðèöó îò b11 ê b21 , ïîòîì ê b12 ïî äèãîíàëèè ò.ä.,P∝−kòàê ìû îáîéäåì âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû. Ââåäåì ξn (ω) =b(ω)2k=1 nk- íåçàâèñèìûå ðàâíîìåðíî-ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xn (ω) =3Fninv (ξn (ω))Óïðàæíåíèå. Xt , t∈T íà [0,1] íåëüçÿ ïîñòðîèòü êîíòèíóàëüíîå ñåìåéñâîíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ çàäàííûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿìèÒ Å Î Ð Å Ì À.
(Ëîìíèöêèé-Óëàì)Ïóñòü (St , Bt )t∈T - ëþáîå ñåìåéñòâî èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü Qt âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà (St , Bt ). Òîãäà ∃(Ω, F, P ) è ñåìåéñòâî íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ Xt : Ω → St F| Bt -èçìåðèìî.Áåç äîêàçàòåëüñòâà.Ïðèìåðû1. Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå.ξ1 , . . . - ïîñëåäîâàòåëüíîñòüPíåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ äåéñòâèòåëüíûõnñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Sn = k=1 ξk , S0 = 02. Ïðîöåññ âîññòàíîâëåíèÿ.ξ1 , .
. . - í.î.ð.ñ.â. (çäåñü è äàëåå: íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûåâåëè÷èíû (-à))PnX0 = 0 è äëÿ t>0 ïîëîæèì Xt (ω) = max{n : k=1 ξk (ω) ≤ t}ξ1 (ω) ξ2 (ω) + ξ1 (ω) tξ3 (ω) + ξ2 (ω)ξ1 (ω) ýêñïîíåíöèàëüíûåξ +èìåþòiðàñïðåäåëåíèÿ . Ìû âèäèì, ÷òî ìåíüøå t òîëüêî äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,ò.å. Xt (ω).
Íàïðèìåð, âîññòàíîâëåíèå ñãîðåâøèõ ëàìïî÷åê çà âðåìÿ t. Êñòàòè,Xn (ω) ≤∝ (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1). y0 - íà÷àëüíûé êàïèòàë. ct - âçíîñû. {ηi }í.î.ð. {ξi } è Xt (ω) - èç ïðîøëîãî ïðèìåðà3. Ìîäåëü Êðàìåðà-Ëóíäáåðòà.Xt (ω)Yt = y0 + ct −Xηj (ω)j=1t ≥ 0.{ξj } è {ηj } - íåçàâèñèìû. (Ìîäåëü ñòðàõîâàíèÿ)η1 Iη2 Iξ1 (ω) ξ2 (ω) + ξ1 (ω) t¾âûïëàòûξ3 (ω) + ξ2 (ω) + ξ1 (ω)ct - âçíîñûη3 I4.Ýìïèðè÷åñêèå ìåðû4ξ1 , .
. . - í.î.ð. âåêòîðû â Rm .Pn∗ (B, ω) = 1/nnXIB (ξk (ω))k=1B - áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî â Rm . Pn∗ (B, ω) - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.5.Ïóàññîíîâñêèå ñëó÷àéíûå ìåðû.(S, B), ξ1 , . . . - í.î.ð. ñî çíà÷åíèÿìè â S, λ - êîíå÷íàÿ ìåðà íà (S, B). Ââåäåìñëó÷àéíûé ïðîöåññ Y ∼ P ois(λ(s)), Y è {ξk } íåçàâèñèìûY è ξk ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ â ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâàõY (ω)Z(B, ω) :=XIB (ξk (ω))k=1- ïóàññîíîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ìåðà.Çàäà÷è.1.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ìîäåëè Êðàìåðà-Ëóíäáåðòà.2.Ïóñòü B1 , . . . , Br ⊂ Rm .
Bi ∩ Bj = ∅à)Z(B1 ), . . . , Z(Br ) - íåçàâèñèìûá)Z(·, ω) - öåëî÷èñëåííàÿ ìåðà ïðè ω ôèêñèðîâàííîìâ)Z(B) ∼ P ois(µ(B))3.ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∼ N (aI, C)m∀c ∈ Rn , (ξ, ) ∼ N (·, ·)Ëåêöèÿ 2Íà (Ω, F, P ) ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X={Xt , t ∈ T }Xt : (Ω, F, P ) → (St , Bt )XT (ω)ωω06t{z}TÑëó÷àéíûé ïðöåññ ïîðîæäàåò îòîáðàæåíèå X(ω) : ω → X(·, ω) (X : Ω →ST , ãäå ST = ⊗t∈T St - ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé. X(·, ω) - òðàåêòîðèÿ ïðèôèêñèðîâàííîì ω .ω - ôèêñèðîâàíà ⇒ òðàåêòîðèÿ, åñëè ôèêñèðóåì ω0, òî äðóãàÿ òðàåêòîðèÿ.|5Îïð.: CT (t, Bt ) = {y ∈ ST : yt ∈ Bt } - ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìöèëèíäðîì.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìû ðàññìàòðèâàåì âñå ôóíêöèè, â çàäàííûéìîìåíò T, êîòîðûå â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t ïðîõîäÿò ÷åðåç"âîðîòà"Bt .XT (ω)6BtBt ∈ Btt|{zT-}Ðàñìîòðèì BT := σ{ýëåìåíòàðíûõ öèëèíäðîâ}. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî îòîáðàæåíèåX(ω) : Ω → ST ÿâëÿåòñÿ F|BT - èçìåðèìûì. Äîêàæåì ýòîò îòäåëüíûé ôàêò.Äîêàçàòåëüñòâî.Âîçüìåì ýëåìåíòàðíûé öèëèíäð CT (t, Bt ).X(ω)−1 (CT (t, Bt )) ={ω : X(ω) ∈ CT (t, Bt )} == {ω : Xt (ω) ∈ Bt },íî Xt (ω) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðè êàæäîì t ⇒ X(ω)−1 (CT (t, Bt )) == {ω : Xt (ω) ∈ Bt } ∈ F •Èòàê, ïî ñëåäñòâèþ (èç ëåêöèè 1) ⇒ X(ω) ∈ F|Bt - èçìåðèìîÂâåäåì îòîáðàæåíèå πT,t : ST → St . Ò.÷. πT,t y = y(t), y ∈ St .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî πT,t ∈ BT |Bt , ò.ê.
ïðîîáðàç ∀ ìíîæåñòâà èç Bt áîëüøîãîåñòü ýëåìåíòàðíûé öèëèíäð. Åñëè X(ω) : Ω → ST ;X(ω) ∈ F|BT , òî πT,t X(ω) = Xt (ω). Âûâîä: πT,t Xt (ω) ÿâëÿåòñÿ F|Bt èçìåðèìûì îòîáðàæåíèåì.XT (ω)6Èòàê, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒ Å Î Ð Å Ì À. X = {Xt ; t ∈ T } ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì F|BT - èçìåðèìûõîòîáðàæåíèé ⇔bf X(ω) ÿâëÿåòñÿ F|Bt - èçìåðèìûì.
Ïîëó÷èëè äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿñëó÷àéíîãî ïðîöåññà6Ìû âèäåëè, ÷òî åñëè ξ : Ω(Ω, F, P ) −→ S(S, B), ξ ∈ F|B , òîãäà âîçíèêàåòðàñïðåäåëåíèå ξ : Pξ (B) := P (ξ −1 (B)), ãäå B ∈ SÈòàê, åñëè X = {Xt , t ∈ T } - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, òî âîçíèêàåò ìåðà Px íàBT (ìåðà ïîðîæäåííàÿ ñëó÷àéíûì ýëåìíòîì X), ò.å. ìû ìîæåì ãîâîðèòü îâåðîÿòíîñòÿõ, êîòîðûå ïðè ýòîì âîçíèêàþò.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Ïóñòü ST - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Äëÿ òî÷åê t1 , . . . , tn ∈ T ðàññìàòðèâàåì"ïðÿìîóãîëüíèê" C = Bt1 × .
. . × Btn - ýòî ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâåSt1 , . . . , Stn . Îáîçíà÷èì St1 ...tn = St1 × . . . × Stn . (Ñóæåíèå òðàåêòîðèéîïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå {t1 , . . . , tn } ⊂ T )Èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü òî÷êè t1 , . . . , tn - ðàçëè÷íûå (íå ñîâïàäàþòäðóã ñ äðóãîì). Âîçüìåì ξ = (Xt1 , . . . , Xtn ) è ðàññìîòðèì σ - àëãåáðó:Bt1 ,...,tn = σ{"âñå ïðÿìîóãîëüíèêè"}, òî ξ ∈ F |Bt1 ,...,tn , ò.ê.
åñëè âçÿòü ∀ïðÿìîóãîëüíèê C = Bt1 × . . . × Btn è ðàññìîòðåòü ξ −1 (C).ξ −1 (C) =n\{Xtk ∈ Btk }({Xtk ∈ Btk } ∈ F)k=1ò.ê. ïðÿìîóãîëüíèêè - ýòî ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ äëÿ Bt1 ,...,tn , òî ξ ∈ F|Bt1 ,...,tn .Íà St1 ,...,tn âîçíèêàþò ìåðû Pt1 ,...,tn (D) = P ((Xt1 , . . . , Xtn ) ∈ D)Îïð.: Ìåðû Pt1 ,...,tn ( íà (St1 ,...,tn , Bt1 ,...,tn )) íàçûâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìèðàñïðåäåëåíèÿìè (ê.-ì.ð.) ïðîöåññà X.Ñâîéñâà ýòèõ ìåð:1. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíèê C = Bt1 × . . . × Btn . Ïóñòü (i1 , . . . , in ) ïåðåñòàíîâêà íàáîðà (1, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
