Лекционный курс (1134109), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ÒîãäàXt = W (t + τ ) − W (τ ), t > 0 ÿâëÿåòñÿ áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì, ïðè÷¼ìX = {Xt , t ≥ 0} è Fτ = {A : A∩{τ ≤ t} ∈ Ft } íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ Âîçüìåì ∀A ∈ Fτ è ∀0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tm (m ∈ N). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàíåçàâèñèìîñòè Fτ è X äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî P (A∩((X(t1 ), . . . , X(tm )) ∈B)) = P (A)P (ξ ∈ B) Çäåñü ξ = (X(t1 ), . . . , X(tm )), à B ∈ B(Rn ).Óïðàæíåíèå.
Åñëè A1 è A2 íåçàâèñèìû ⇒ σ(A1 ) è σ(A2 ) íåçàâèñèìû.Åñëè A - àëãåáðà, òî ∀ε > 0 è ∀A ∈ σ(A) ∃A² ∈ A : |P (A) − P (A² )| < εX(t, ω) = W (t + τ (ω), ω) − W (τ (ω), ω)Ñ÷èòàåì, ÷òî åñëè τ (ω) = ∞ (ñ âåðîÿòíîñòüþ 0), òî X(t, ω) = 0Ðàññìîòðèì tk,n = k2−n , k = 0, 1, . . . . Ïóñòü:A1,n = {τ ≤ 2−n }...Ak,n = {(k − 1)2−n < τ ≤ k2−n }Ââåäåì τn∞Pk=1k2−n IAk,n , n = 1, 2, . .
. . Î÷åâèäíî, τn → τ ï.í. n → ∞Êðîìå òîãî, τn - ìàðêîâñêèé ìîìåíò, ò.ê. {τn ≤ t} = {τ ≤ k2−n }, ãäåk = max{l : l2−n ≤}.WÏîòîìó, ÷òî {τn ≤ t} ∈ Fk,n⊂ Ftn→∞W (t+τ (ω), ω) → W (t+τ (ω), ω) ï.í. [â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ï.í. òðàåêòîðèé∞SW]. {W (t + τn (ω), ω) ≤ z} ={W (t + k2−n , ω) ≤ z, τn = k2−n }. Âûðàæåíèåâ ñêîáêàõ ïðèíàäëåæèò Fk=1Íà âòîðîì êóðñå ìû äîëæíû áûëè óñâîèòü, åñëè åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñë.â., áóäåò ëè ïðåäåë èõ ñë.â.?(Ω, F, P ).
ηn → η ï.í., ηn ∈ F|B(R), òîãäàη ∈ F|B(R), åñëè ïðîñòðàíñòâî ïîïîëíåíî, òîãäà ïðåäåë - ñ.â.18Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî P (A ∩ {ξ ∈ B}) = P (A)P (ξ ∈ B),ãäå ξ = (X(t1 ), . . . , X(tm )).E(IA I{ξ∈B} ) = EIA EI{ξ∈B}(∗)Äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ëèøü çàìêíóòûå B ∈ B(Rn )Óïðàæíåíèå. (Ñâîéñòâî ðåãóëÿðíîñòè) ∀B (áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà) â ìåòðè÷åñêîìïðîñòðàíñòâå è ∀ε > 0 ∃Fε (çàìêíóòîå), Gε (îòêðûòîå), ò.÷. Fε ⊂ B ⊂ Gε èP (Gε \Fε ) < ε.Äëÿ ïðîâåðêè (*) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òîE(IA f (ξ)) = EIA Ef (ξ)Ãäå f íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà: f : Rn → RÏî÷åìó æå ìîæíî èñïîëüçîâàòü f âìåñòî I{ξ∈B} ? Ââåäåì ϕ(t):61@1−t@ 1tè ðàññìîòðèì gk (x) = ϕ(kρ(x, B)), ãäå ρ(x, B) = inf{ρ(x, y) : y ∈ B}.Ðàññòîÿíèå äî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
g - ÿâëÿåòñÿk→∞íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé, êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî gk (x) → IA .(Âñïîìíèì, òó ñàìóþ "øëÿïêó", êîòîðóþ ÷àñòî ðèñóåò ëåêòîð). Ïî òåîðåìåî ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè Ëåáåãà, èç ñîîòíîøåíèÿ EIA f (ξ) = EIA Ef (ξ)("âðîäå ñêàçêè î Êàùåå: äóá → ñóíäóê . . ..")IA f (ξ), ââåäåì âåêòîðξn = (W (t1 + τn ) − W (τn ), . . . , W (tm + τn ) − W (τn ))ξn → ξ ï.í. â ñèëó íåïðåðûâíîñòè áð.äâ.Ñíîâà ïî òåîðåìå Ëåáåãà:EIA f (ξ) = lim EIA f (ξn )n ñèëó ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà:EIA f (ξn ) =∞XEIA f (ξn )I{τn =k2−n } =k=1=∞XEIA∩{τn =k2−n } f ((W (t1 +k2−n )−W (k2−n ) . . .
W (tm +k2−n )−W (k2−n ))) =k=1Ak,n ∈ Fk2nïî ìàðêîâñêîìó ñâîéñòâó áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ:D(W (t1 +k2−n )−W (k2−n ), . . . , W (tm +k2−n )−w(k2−n )) = (W (t1 ), . . . , W (tm ))19íåçàâèñèò îò Fk2−nÑëåäîâàòåëüíîE(f (W (t1 ), . . . , W (tm )))∞XEIA∩{τk=1k =k2−n }== E(f (W (t1 ), . . . , W (tm )))EIAÒàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî EIf (ξ) = EIA Ef (W (t1 ) .
. . W (tm )). Íåçàâèñèìîñòü:Fτ è X äîêàçàíà.DÂîçüìåì A = Ω ⇒ ξ = (W (t1 ) . . . W (tm ))Ef (ξ) = Ef (W (t1 ) . . . W (tm )) •Ïðèíöèï îòðàæåíèÿÏóñòü τ - ì.î. îòíîñèòåëüíî F WÒ Å Î Ð Å Ì À. "Îòðàæåííûé ïðîöåññ"{Z = Zt , t ≥ 0} ÿâëÿåòñÿáðîóíîâñêèì äâèæåíèåì. Åñëè τ = ∞ (ñ âåð. 0), òî ïîëàãàåì Z(t, ω) =W (t, ω) (Ò.å.
îòðàæåííûé ïðîöåññ ðàâåí ïåðâîíà÷àëüíîìó)Äîêàçàòåëüñòâî.◦ Z(t, ω) = W (t, ω)I{τ ≥t} + (2W (τ (ω), ω) − W (t))I{τ, t}Î÷åâèäíî, ÷òî Z(t) ïðè êàæäîì t ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Êðîìåòîãî, òðàåêòîðèè Z ëåæàò â ïðîñòðàíòñòâå (C0 [0, ∞), ρ), ÿâëÿþùååñÿ ïîëüñêèìïðîñòðàíñòâîì.Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî, ïîñêîëüêó òðàåêòîðèè Z íåïðåðûâíû, òî Zÿâëÿåòñÿ ñë. ýëåìåíòîì ñî çíà÷åíèÿìè â C0 [0, ∞]Ââåäåì îòîáðàæåíèå "ñêëåèâàíèÿ"â òî÷êå b ∈ [0, ∞) - h(b, f, g), ãäå f, g ∈C0 [0, ∞) h(b, f, g) = f (b) + g(t − b), t ≥ bÎòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì [0, +∞) × C0 [0, +∞) ×C0 [0, +∞) → C[0, +∞) Îïðåäåëèì ïðîöåññ U (t) = W (t∧τ ) (= W (min(t, τ )))W = h(τ, U, X)Z = h(τ, U, −X)D(τ, U, X) = (τ, U, −X) ← íóæíî äîêàçàòüÄåëî â òîì, ÷òî (τ, U ) ÿâëÿåòñÿ (äîêàçàòü ýòî â êà÷åñòâå Óïðàæíåíèÿ) F èçìåðèìûì âåêòîðîì, à ïî ñòðîãî ìàðêîâñêîìó ñâîéñòâó X è Fτ ,−X è Fτ- íåçàâèñèìû.
Ñëåäîâàòåëüíî,NLaw(τ, U, X) = Law(τ, U ) Law(X) (Law(X) = Law(W )).Àíàëîãè÷íî ðàñêëàäûâàåòñÿ â ñèëó íåçàâèñèìîñòè Law(τ, U, −X).Ò Å Î Ð Å Ì À. (Áàøåëüå). ∀z > 0 P ( sup W (t) > z) = 2P (W (T ) > z)t∈[0,T ]20Ò Å Î Ð Å Ì À. (Õèí÷èí). Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 :lim sup √t→∞lim inf √t→∞W (t)=12tlnlntW (t)= −12tlnlntËèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå. Ïðîèçîøåë ïîæàðâ áîëüíèöå, ïîòóøèëè åãîè íà÷àëüíèê ðàñ÷åòà äîêëàäûâàåò: "4 ÷åëîâåêà ïîñòðàäàëî- 2 îòêà÷àëè".Ãëàââðà÷: "Ñòðàííî, ãîðåëî ïàòàëîãîàíàòîìè÷åñêîå îòäåëåíèå, à ñîòðóäíèêîââ íåì íå áûëî..."Ë Å Ì Ì À.
∀t, x, y ≥ 0 P (W (t) < y − x, M (t) ≥ y) = P (W (t) > Y + x),ãäå M (t) = max W (s).s∈[0,t](Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò â ñëåäóþùåé ëåêöèè.)Ëåêöèÿ 6Äîêàçàòåëüñòâî. (ëåììû)◦τy = inf{s : W (s) = y}. τy - ìîìåíò ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ â çàìêíóòîåìíîæåñòâî {y} íåïðåðûâíîãî ïðîöåññà W. τy - ìîìåíò îñòàíîâêè (âîïðîñëåêöèè 4). {M (t) ≥ y} = {τy ≤ t}. Ïóñòü σy = inf{t ≥ 0, Z(t) = y}.DÎ÷åâèäíî, τy = σy . Çàìåòèì, ÷òî (τy , W ) = (σy , Z)P (τy ≤ t, W ∈ B) = P (M (t) ≥ y, W ∈ B) = P (W ∈ Gt ∩ B). Ñ äðóãîéñòîðîíû, P (σy ≤ t, Z ∈ B) = P (Z ∈ Gt ∩ B) = P (W ∈ Gt ∩ B)P (τy ≥ t, W (t) < y −x) = P (σy ≤ t, Z(t) < y −x) = P (σy ≤ t, W (t) > y +x) == P (τy ≥ t, W (t) > y+x) = P (W (t) > y+x). Çàìåòèì, ÷òî åñëè W (t) > y+x,òî M (t) ≥ y . À {M (t) ≥ t} ∼ {τy ≥ t} •Ñëåäñòâèå.
(Áàøåëüå) P (M (t) ≥ y) = 2P (W (t) ≥ y)Äîêàçàòåëüñòâî.◦ P (M (t) ≥ y, W (t) < y − x) = P (W (t) > y + x)Ïîëîæèì x = 0P (M (t) ≥ y, W (T ) < y) = P (W (t) > y)ÄàëååP (M (t) ≤ y) = P (M (t) ≥ y, W (T ) < y) + P (M (t) ≥ y, W (T ) ≥ y) == P (W (t) > y) + P (W (t) ≥ y) = 2(W (t) ≥ y) •Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð.Îïð.: Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð Qn , çàäàííûõ íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå(S, ρ) ñ áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîéB(S)RR , íàçûâàåòñÿ ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ê ìåðåQ (íà (S, B(S))), åñëè f dQN → f dQ (*)S21∀f ∈ Cb (S, R) (ìîæíî C), ò.å. äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîéôóíêöèè f : S → RR×àñòî ïèøóò hf, Qi âìåñòî f dQ.SË Å Ì Ì À.
Åñëè Qn ⇒ Q è Qn ⇒ Q0 , òî Q = Q0Äîêàçàòåëüñòâî.◦ èç (*) âûòåêàåò, ÷òîZZf dQ0 ∀f ∈ Cb (S, R)f dQ =SSÑëåäîâàòåëüíî,ZZIF dQ0IF dQ =SSÄëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî F. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî Q(B) = Q0 (B) ∀B ∈ B(S).Ò Å Î Ð Å Ì À. (À.Ä. Àëåêñàíäðîâ). Qn ⇒ Q òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âûïîëíåíî ëþáîå èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1o lim sup Qn (F ) ≤ Q(F ) ∀ çàìêíóòîãî Fn2o lim inf Qn (F ) ≥ Q(F ) ∀ îòêðûòîãî Gn3o lim Qn (B) = Q(B) ∀B ∈ B(S) : Q(∂B) = 0nÄîêàçàòåëüñòâî.◦ Çàìåòèì, ÷òî èñõîäíîå îïðåäëåíèå (*) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìólim sup < f, Qn >≤< f, Q > ∀f ∈ Cb (S, R)nÄîñòàòî÷íî âçÿòü (−f ) ∈ Cb (S, R).lim suph−f, Qn i ≤ h−f, Qinlim inf h−f, Qn i ≥ h−f, QinÏîêàæåì, ÷òî (*) ⇒ 1o .
Ïóñòü F - çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â S. Ââåäåì ôèêñèðîâàííûåfFε (x) = ϕ(ερ(x, F )). fFε (x) - íåïðåð. è îãð. IF (x) ≤ fFε (x), ∀x ∈ S ∀ε > 0Òîãäà hIF , Qn i ≤ hfFε (x), Qn i. Ïîýòîìó lim sup Qn (F ) ≤ lim suphfFε (x), Qn i ≤nhfFε (x), Qinε↓0Ïî òåîðåìå Ëåáåãà hfFε (x), Qi → hIf , Qi = Q(F ).Èòàê, lim sup Qn (F ) ≤ Q(F ) ∀ çàìêíóòûõ F. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî 1o ⇒ (∗).nÄîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òîlim suphf, Qn i ≤ hf, Qin∀ íåïðåðûâíîé ô. f, òàêîé ÷òî 0 < f (x) < 1 ∀x ∈ S . Äëÿ äðóãèõ f ïîëó÷àåìëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì af+b.22Ââåäåì äëÿ k ∈ N ìíîæåñòâà Fi = {x : f (x) ≥ ki } i = 0, 1, .
. . , k.. Fi çàìêíóò êàê ïðîîáðàç çàìêíóòîãî ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè. ÏîëîæèìCi = Fi−1 \ Fi i = 1, . . . , kiÍà ìíîæåñòâå Ci i−1k ≤ f (x) < kkXi−1i=1kZQ(ci ) ≤f dQ ≤SkXiQ(ci )ki=1Q(ci ) = Q(Fi−1 ) − Q(Fi ), òîãäàZk1X11XQ(Fi ) ≤ f dQ ≤ +i = 1k Q(Fi )k i=1k kSÀíàëîãè÷íî ìîæíî íàïèñàòüZkk1X1X1Qn (Fi ) ≤ f dQn ≤ +Qn (Fi )k i=1k k i=1SÑëåäîâàòåëüíî, hf, Qn i ≤â ñèëó 1o ≤1k+ k1kPi=11k+ k1Q(Fi ) ≤1kkPi=1Qn (Fi ), ò.å. lim suphf, Qn i ≤ lim sup(. . .) ènn+hf, Qi, ò.ê.
F çàìêíóòî. Îñòàëîñü óñòðåìèòük â áåñêîíå÷íîñòü.  èòîãålim suphf, Qn i ≤ hf, Qin∀ íåïðåð. f ∈ (0, 1).(∗)lÈìïëèêàöèÿ èç 1 â 2 è îáðàòíî î÷åâèäíà.1o ↔ 2oÄîêàæåì, ÷òî 1o (2o ) 7→ 3oÏóñòü [B] - çàìûêàíèå BB o - âíóòðåííîñòü BB o ⊂ B ⊂ [B] ñèëó 1o è 2o èìååì äëÿ ∀B ∈ B(S)Q(B o ) ≤ lim inf Qn (B o ) ≤ lim inf Qn (B) ≤ lim sup Qn (B) ≤ lim sup Qn ([B]) ≤ Q([B])nnnonÅñëè Q(∂B) = 0, òî Q(B ) = Q([B]).
Ñëåäîâàòåëüíî ∃ lim Qn (B) = Q(B).nÈòàê, 3o äîêàçàíî. Ïîêàæåì 3o 7→ 1o . Ïóñòü F- çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â S.Ðàññìîòðèì F (ε) = {x ∈ S : ρ(X, F ) < ε}. ∂F (ε) ∩ ∂F (δ) = ∅ ε 6= δ .Ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåò íå áîëåå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî εn : Q(∂F (εn ) ) > 0Âîçüìåì {νn } ν ↓ 0 Q(∂F (νm ) ) 6= 0 Ïî ñâîéñòâó 3o , Qn (F (νm ) → Q(F (νm ) )lim sup Qn (F ) ≤ lim sup Qn (F (νm ) ) = Q(F (νm ) )nn23Óñòðåìèì m → ∞. Òîãäà Q(F (νm ) ) → Q(F ).  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ìåðû,ò.ê.
F (νm ) → F .Îïð.: {Qα }α∈Λ íàçûâàåòñÿ ñëàáî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Qn } ìîæíî èçâëå÷ü ñëàáî ñõîäÿùóþñþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Óïðàæíåíèå. Qn ⇒ Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà1. {Qn } ñëàáî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì.2. ñóù. H ⊂ Cb (S, R)2.a. ∀h ∈ H ñóù. limhh, Qn in2.b. åñëè hQ, hi = hQ0 , hi∀h ∈ H, òî Q = Q0 íà B(S).Îïð.: Ñåìåéñòâî ìåð {Qα }α∈Λ íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì, åñëè ∀ε > 0, ∃ êîìïàêòKε ⊂ S , òàêîé ÷òî Qα (Kε ) > 1 − ε ∀α ∈ Λ.Ò Å Î Ð Å Ì À. (Ïðîõîðîâ).
Åñëè {Qα }α∈Λ ïëîòíî, òî {Qα }α∈Λÿâëÿåòñÿ ñëàáûì îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì. È íàîáîðîò, åñëè ñåìåéñòâîìåð {Qα }α∈Λ ñëàáî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå è ïðîñòðàíñòâî (S, ρ) - ïîëüñêîå,òî {Qα }α∈Λ - ïëîòíî.Îïð.: Ñ.ý. Xn(Xn : Ωn → S ) íàçûâàåòñÿ ñõ-ñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñë.ýëåìåíòó X (X : Ω → S ), åñëèPn Xn−1 ⇒ P X −1ò.å. ðàñïðåäåëåíèå Xn ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ X. Èíà÷å ãîâîðÿDXn → X , åñëè En f (Xn ) → Ef (x) n → ∞ ∀f ∈ Cb (S, R).DÓïðàæíåíèå. Ïóñòü Xn → X è h : S → R - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå.DÒîãäà h(Xn ) → h(X)Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà. Qn ⇒ Q, òîãäà Qn h−1 ⇒ Qh−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
