Лекционный курс (1134109), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Îá ýòîìãîâîðèëè íà ïåðâîé ëåêöèè: X = {Xt , t ∈ T } : ω 7→ X(ω). Âîçíèêàåò ìåðàPx íà BT . Âñÿ òåîðèÿ "ñòðîéíî"ðàáîòàåò, åñëè BT = áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðåâ ïðîñòðàíñòâå (ST , B(ST ).Óïðàæíåíèå.  ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] âûïîëíåíî BT = B(ST ).Óïðàæíåíèå. Qn ⇒ Q â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà1). {Qn } ïëîòíî (ïî ò. Ïðîõîðîâà ýòî ðàâíîñèëüíî ñëàáîé îòíîñèòåëüíîéêîìïàêòíîñòè)2). Ñëàáî ñõ-ñÿ âñå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìåð Qn ê ê.ì.ð. Q, ò.å.Qn πt−1⇒ Qπt−1, ãäå πt1 ,...,tk (x) = (x(t1 ), . . . , x(tk )) - íåïðåðûâíîå1 ,...,tk1 ,...,tkîòîáðàæåíèå C[0, 1] â Rk , à x ∈ C[0, 1].(n)Äëÿ ïðîöåññîâ X (n) = {Xt , t ∈ [0, 1]} ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè24DX (n) → X1. Ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé X (n) ïëîòíî.(n)(n) D2.

(Xt1 , . . . , Xtk ) → (Xt1 , . . . , Xtk ) ∀t1 , . . . , tk ∈ [0, 1] ∀k ∈ Λ.Ó íàñ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , ... - í.î.ð.ñ.â., Eξ1 = 0, Eξ12 = 1.Ðàçäåëèì îòðåçîê [0,1] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé. Sk (w) = ξ1 (w) + ... + ξk (w). √Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè Sk (w)/ n.Ïîëó÷àåì ñëó÷àéíóþ ëîìàííóþ S (n) (t, w).ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèêDPS (n) ⇒ W, S (n) → {Wt , t ∈ [0, 1]} (ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè).Ïðè êàæäîì t òðàåêòîðèÿ S (n) - íåïðåðûôâíûå ôóíêöèè → S (n) ÿâëÿåòñÿñëó÷àéíûì ýëåìåíòîì ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] (ïîëüñêîå).ρ(x(t), y(t)) = sup |x(t) − y(t)|, - ìåòðèêà.

Îáîçíà÷åíèå: Pn = Law(S (n) ) t∈[0,1]ðàñïðåäåëåíèå íà B(C[0, 1]).Ëåêöèÿ 7Ò Å Î Ð Å Ì À. (Äîíñêåð). Pn ⇒ W ïðè n → ∞,ãäå W = Law({Wt , t ∈ [0, 1]}) - ìåðà Âèííåðà, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå áðîóíîâñêîãîäâèæåíèÿ.Íàïîìèíàíèå: Pn ⇒ P íà (S, ρ), åñëèRSf dPn →Rsf dP, ∀ f : S → R, f -íåïðåð. è îãð.Dξn → ξ (ñëó÷àéíûé ýëåìåíò), åñëè Pξn ⇒ Pξ , ò.å. En f (ξn ) → Ef (ξ), n → ∞.Çäåñü En - óñðåäíåíèå ïî Pn íà òîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå çàäàíûξn .

E - óñðåäíåíèå ïî P íà òîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå çàäàíû ξ .Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà h : C[0, 1] → RDâûïîëíåíî h(S (n) ) → h({Wt , t ∈ [0, 1]}).Ïðè ïîñòðîåíèè S (n) ìû ðàññìàòðèâàëè X1 , X2 , ... -í.î.ð.; EX1 = 0, EX12 =1 (*). Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Xi ìîæåò áûòü ëþáûì, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿìD(*). Òîãäà äëÿ ëþáîãî íåïðåð.

ôóíêöèîíàëà h âåðíî h(S (n) ) → h({Wt , t ∈[0, 1]}). ýòîì è ñîñòîèò èíâàðèàíòíîñòü.Ýòîò ðåçóëüòàò ñîäåðæèò ÖÏÒ.Sn D→ Z ∼ N (0, 1). Ïî÷åìó òîãäà ÖÏÒÄëÿ òàêèõ Xi ÖÏÒ óòâåðæäàåò: √nÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðèíöèïà èíâàðèàíòíîñòè? Âîçüì¼ì ôóíêöèîíàë h :h(x(·)) = x(1), ãäå x ∈ C[0, 1]. Î÷åâèäíî, ÷òî h - íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë.DÈòàê, åñëè ìû ðàññìîòðèì h(S (n) ) → h(W) = W (1), W = {Wt , t ∈ [0, 1]}, S (n)25- ëîìàííàÿ. Çíà÷èò, òàê êàêSnh(S (n) ) = √è W (1) ∼ N (0, 1) , òî =⇒ ÖÏÒ.nÝòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðàñïðåäåëåíèå h(W ), îòïðàâëÿÿñü îò ðàñïðåäåëåíèÿh(S (n) ).Ò.å. èìååòñÿ ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè è ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ëþáûåëîìàííûå, òîãäà âûáåðåì X1 , X2 , ... - ïðîñòûìè, à èìåííî: P (Xk = 1) =P (Xk = −1) = 1/2, EXk = 0, EXk2 = 1.Ïî ýòîé ñõåìå ìîæíî íàéòè sup S (n) (t), òîãäà ïî ïðèíöèïó èíâàðèàíòíîñòèt∈[0,1]Dsup S (n) (t) → sup Wt è sup S (n) (t) =t∈[0,1]t∈[0,1]t∈[0,1]Óïðàæíåíèå.

Ïîêàçàòü, ÷òîmax SkD√→n0≤k≤nmax Sk√n0≤k≤n.sup Wt .t∈[0,1]Ïóñòü Xn,i , i = 1, ..., mn - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ò.,÷. EXn,i =mPn 2220, EXn,i= σn,i> 0. Ïóñòüσn,i = 1 - óñëîâèå íîðìðèîâêè (åñëè ýòîi=1íå âûïîëíåíî, òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ðàçäåëèòü âñå ñ.â. íàêîíñòàíòó). Îïðåäåëèì ñëó÷àéíóþ ëîìàííóþ áîëåå îáùèì ñïîñîáîì:Çàìå÷àíèå: åñëè X1 , X2 , ... - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî Xn,i =ýòî äåéñòâèòåëüíî áîëåå îáùàÿ ñõåìà.Xi√,in= 1, ..., n, =⇒Ò Å Î Ð Å Ì À. (Ïðîõîðîâ).

Ïóñòü ñåðèè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí Xn,i , i = 1, 2, ...òàêîâû, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå Ëèíäåáåðãà:mPn∀ε > 0E|Xn,k |2 I{|Xn,k | > ε} → 0 (n → ∞), òîãäàk=1DUn → W = {Wt , t ∈ [0, 1]} - áðîóíîâñêîå äâèæåíèå.Èç ýòîé òåîðåìû òàêæå âûòåêàåò ÖÏÒ (îïÿòü áåð¼ì h(x(·)) = x(1)).Ýòè óñëîâèÿ (Ëèíäåáåðãà) îïòèìàëüíû: îíè ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè èäîñòàòî÷íûìè, åñëè ñëàãàåìûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ðàâíîìåðíîé ìàëîñòè:2max σn,k→ 0, n → ∞.

(Ýòî óñëîâèå Ôåëëåðà)1≤k≤mnÂâåä¼ì ìåòðèêó Ëåâè-Ïðîõîðîâà :π(P, Q) := inf{ε > 0 : P (B) < Q(B ε ) + ε è Q(B) < P (B ε ) + ε, ∀B ∈B(S)}, ãäå (S, ρ) - ïîëüñêîå ïðîñòðàíñòâî, à B ε = {x ∈ S : ρ(x, B) <ε}, ρ(x, B) = inf ρ(x, y).y∈Bn→∞Ò Å Î Ð Å Ì À. Pn ⇒ P òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà π(PN , P ) −→ 0.26Ò Å Î Ð Å Ì À (Áîðîâêîâ). Ïóñòü E|Xn,i |s < ∞ äëÿ íåêîò. s ∈ (2, 3].Äëÿ ñåðèé Xn,i , i = 1, ..., mn - íåç.

è EXn,i = 0, E|Xn,i |s < ∞ ââåä¼ì äðîáümPnËÿïóíîâà: Ln,s :=E|Xn,k |s . (Ïî÷åìó äðîáü? Òàê êàê åñëè áû ñóììàmPnk=1k=12σn,k= 1, èíà÷å áû ïîäåëèëè.) Èòàê, òåîðåìà:1/(s+1)π(Law(Un ), W) ≤ CLn,s.Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè. Óëó÷øåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, òîëüêî óëó÷øèâconst, à òàê ñêîðîñòü ïðàâèëüíàÿ, â ñìûñëå, ÷òî ïðàâèëüíûé ïîðÿäîê.Ò Å Î Ð Å Ì À (Ñêîðîõîä). Ïóñòü X1 , X2 , ...

- íåç. è EXi = 0, E|Xi |2 = 1.Òîãäà íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P ) ìîæíî ïîñòðîèòüíîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y1 , Y2 , ... òàêóþ, ÷òî Law(X1 , X2 , ...) = Law(Y1 , Y2 , ...)è ïîñòðîèòü áðîóíîâñêîå äâèæåíèå W = {Wt , t ≥ 0} òàêèì îáðàçîì, ÷òînnPPYk = Sn = W (Tk ), ãäå ñë. âåë. Tk ≥ 0, ETk = EXk2 .k=1k=1(Ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áðîóíîâñêîåäâèæåíèå, îñòàíîâëåííîå â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè.)√Ò Å Î Ð Å Ì À (Øòðàññåí). Sn − W (n) = O( n ln ln n) ï.í. ïðè n → ∞.(Ñóììó íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ïðèáëèçèòü ãàóññîâñêèìçàêîíîì, ñèëüíûé ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè.)Ò Å Î Ð Å Ì À (Øòðàññåí, ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãîëîãàðèôìà).

Ïóñòü X1 , X2 , ... - íåç. è EXi = 0, E|Xi |2 = 1. ÐÈÑÓÍÎÊ!!!Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ìíîæåñòâî {Vn (t)} ïðåäêîìïàêòíî â C[0, 1] è ìíîæåñòâîïðåäåëüíûõ òî÷åê ýòîãî ñåìåéñòâà ñîâïàäàåò ñ "øàðîì Øòðàññåíà", ò.å.RtR1ìíîæåñòâîì K = {x(t) = y(s)ds, y 2 (s)ds ≤ 1, t ∈ [0, 1]}.00Èç ýòîé òåîðåìû ëåãêî âûâåñòè îáû÷íûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà.ÌÀÐÒÈÍÃÀËÛ.Ïóñòü åñòü ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ), ξ− ñëó÷. âåë.

A−σ−àëãåáðà è A ⊂ F.Îïð.: η = E(ξ|A) - óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, åñëè1) η ∈ A/B(R) - èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî σ−àëãåáðû A;2) ∀G ∈ A : EηI{G} = EξI{G}.Åñëè E|ξ| < ∞, òî η = E(ξ|A)∃ è îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äîçíà÷åíèé íà ìíîæåñòâå ìåðû 0.27Îïð.: ïóñòü F=(Ft )t∈T - íåêîòîðàÿ ôèëüòðàöèÿ â (Ω, F, P ). Ïðîöåññ {Xt , t ∈T } íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàëîì (îòíîñèòåëüíî ôèëüòðàöèè), åñëè1. Xt ∈ Ft /B(R), t ∈ T - èçì. îòí.

Ft ;2. E|Xt | < ∞ (èíòåãðèðóåìîñòü âñåõ ñ.â.);3. E(Xt |Fs ) = Xs ï.í., ∀ s ≤ t; s, t ∈ T.Óïðàæíåíèå. Ïóñòü Eξ 2 < ∞. Òîãäà E(ξ|A) = P rojL2 (Ω,A,P ) ξ.×àñòî ïèøóò (Xt , Ft )t∈T , ïîä÷¼ðêèâàÿ ðîëü ôèëüòðàöèè â îïðåäåëåíèèìàðòèíãàëà.Îïð.: FtX = σ{Xs , s ≤ t, s ∈ T } - ïîðîæäåíà òå÷åíèåì ïðîöåññà X äîìîìåíòà âðåìåíè t. FtX - åñòåñòâåííàÿ ôèëüòðàöèÿ.Ïðèìåðû.1) Ïóñòü {Xt , t ≤ 0} - ïðîöåññ ñ íåç. ïðèðàùåíèÿìè. Ïóñòü EXt = a ∀t.Òîãäà (Xt , FtX )t≥0 - ìàðòèíãàë.Ïðîâåðêà. Ïåðâûå äâà óñëîâèÿ, î÷åâèäíî, âûïîëíåíû. Ïðîâåðèì òðåòüå:E(Xt |FtX ) = E(Xt − Xs + Xs |FsX ) = E(Xt − Xs |FsX ) + E(Xs |FsX ).(*)Âñïîìíèì, ÷òî E(ξ|A) = ξ , åñëè ξ - èçì.

îòí. A ; E(ξ|A) = Eξ , åñëè ξ íåçàâèñèò îò A, E|ξ| < ∞. Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå ñëàãàåìîå â (*) E(Xs |FsX ) =Xs , à ïåðâîå E(Xt − Xs |FsX ) = EXt − Xs = a − a = 0, ò.ê. ïðîöåññ - ñíåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, ò.å. Xt − Xs íå çàâèñèò îò FSX .Îòñþäà âèäíî, ÷òî áðîóíîâñêîå äâèæåíèå - ìàðòèíãàë, à ïóàññîíîâñêèéïðîöåññ - íåò, ò.ê. E() çàâèñèò îò t.Åñëè (Xt , Ft )t∈T - ìàðòèíãàë, òî EXt = E(E(Xt |Fs )) = EXs , ∀s, t ∈ T.Sn = ξ1 + ... + ξn - ñóììà íåç. ñë.â.; Fn = σ{ξ1 , ..., ξn }, E|ξk | < ∞. Ñóììûíåçàâèñèìûõ ñë. âåëè÷èí. îáðàçóþò ìàðòèíãàë ⇐⇒ öåíòðèðîâàíû.2) Ïóñòü P è Q - ìåðû íà (Ω, F ). Ïóñòü (Ft )t∈T - íåêîòîðàÿ ôèëüòðàöèÿ.dPtÏðåäïîëàãàåì, ÷òî ∃Xt = dQ- ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà-Íèêîäèìà, ãäå Pt =tP |Ft , Qt = Q|Ft .

Òîãäà (Xt , Ft ) - ìàðòèíãàë,ò.ê.RR∀s ≤ t; s, t ∈ T, E(Xt |Fs ) = Xs ⇐⇒ Xt dP = Xs dP.AA3) Ïóñòü ξ1 , ξ2 , ... - íåç.ñë.âåë; Eξk = 1, k ≥ 1. Ïîëîæèì Xn =Òîãäà (Xn , Fn )n≥1 - ìàðòèíãàë, ãäå Fn = {ξ1 , ..., ξn }.nQξk .k=14) Ìàðòèíãàë Ëåâè. Ïóñòü (Ft )t∈T - íåêîòîðàÿ ôèëüòðàöèÿ. Ïóñòü ξ- ñë.âåë. ò.,÷. E|ξ| < ∞. Ïîëîæèì Xt = E(ξ|Ft ), t ∈ T . Òîãäà (Xt , Ft ) ìàðòèíãàë.Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî íå êàæäûé ìàðòèíãàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â28âèäå ìàðòèíãàëà Ëåâè.Îïð.: Ñåìåéñòâî ñëó÷. âåëè÷èí {ξα , α ∈ Λ} íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìûì,åñëè lim sup{ E |ξα |I{|ξα | > c} } = 0.c→∞ α âèäå ìàðòèíãàëà Ëåâè ïðåäñòàâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå ìàðòèíãàëû,êîòîðûå ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóþòñÿ.Îïð.: (Xt , Ft )t∈T - ñóáìàðòèíãàë, åñëè:1.

Xt ∈ Ft /B(R), t ∈ T - èçì. îòí. Ft ;2. E|Xt | < ∞;3. E(Xt |Fs ) ≥ Xs , ∀ s ≤ t; s, t ∈ T.Îïð.: (Xt , Ft )t∈T - ñóïåðìàðòèíãàë, åñëè:1. Xt ∈ Ft /B(R), t ∈ T - èçì. îòí. Ft ;2. E|Xt | < ∞;3. E(Xt |Fs ) ≤ Xs , ∀ s ≤ t; s, t ∈ T.Åñëè (Xs , Fs ) - ñóïåðìàðòèíãàë, òî (−Xs , Fs ) - ñóáìàðòèíãàë.Ïðèìåð. Ïóñòü (Xt , Ft )t∈T - ìàðòèíãàë è h - âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà(h(Xt ), Ft )t∈T - ñóáìàðòèíãàë.Îïð.: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ξn , Fn )n≥0 íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ,åñëè E(ξn |Fn−1 ) = 0 ï.í.(Ïðîèñõ. íàçâàíèÿ.

Характеристики

Список файлов лекций