Лекционный курс (1134109), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , n). ×òî ìîæíî ñêàçàòü ïðî (*) Pti1 ,...,tin (Bti1 ×. . . × Btin )?Îäíîâðåìåííî âñå èíäåêñû âíèçó è ââåðõó ïåðåñòàâèëè ⇒ î÷åâèäíî, ÷òîôóíêöèÿ íå èçìåíèòñÿ.TnTn(*) = Pti1 ,...,tin (Bti1 ×. . .×Btin ) = P ( k=1 {Xtk ∈ Btk }). À k=1 {Xtk ∈ Btk }nnTT= = {Xtk ∈ Btk } ={Xtik ∈ Btik }) = Bt1 × . . . × Btnk=1k=12. Pti1 ,...,tin (Bti1 × . . . × Btin−1 × Stn ) = Pt1 ,...,tn−1 (Bti1 × .
. . × Btin−1 ), ò.ê.âûðàæåíèå ýòî ðàâíîP(n\{Xtk ∈ Btk }\{Xtn ∈ Stn })k=1ýòè óñëîâèÿ íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè ñèììåòðèè (1) è ñîãëàñîâàííîñòè(2)7Åñëè èìååòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, òî åãî ê.-ì.ð. îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ñèììåòðèèè ñîãëàñîâàííîñòè.Îïð.: Èçìåðèìûå ïðîñòðàíñòâà (S,B) è (V,A) íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè(∼), åñëè ∃ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå h : S → V ò,÷ h ∈ B | A - èçì,à h−1 ∈ A | B - èçì.Îïð.: Ïðîñòðàíñòâî (S,B) íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêèì, åñëè îíî èçîìîðôíîáîðåëåâñêîìó ïîäïðîñòðàíñòâó îòðåçêà [0,1].Õîòÿ ÷òî òàêîå áîðåëåâñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî îòðåçêà [0,1] íåÿñíî∀ ïðîñòðàíñòâî Rm ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì.
Ïîëüñêîå - ïîëíîå, ñåïàðàáåëüíîå,ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. ∀ áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî ïîëüñêîãî ïðîñòðàíñòâàÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì.Ò Å Î Ð Å Ì À.(Êîëìîãîðîâ). Ïóñòü (St , Bt )t∈T - ñåìåéñòâî áîðåëåâñêèõïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü íà ïðîñòðàíñòâàõ (St1 ,...,tn , Bt1 ,...,tn ) (n ∈ N, t1 , . . . , tn ∈T ) çàäàíû ìåðû Pt1 ,...,tn , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿìñèììåòðèèè ñîãëàñîâàííîñòè (1 è 2), òîãäà ∃ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P )è ñëó÷àéíûé ïðîöåññ: X = {Xt , t ∈ T } (ò.å. Xt ∈ F|Bt - èçìåðèìû ∀t ∈ T ),ò.÷.
ìåðû Pt1 ,...,tn ÿâëÿþòñÿ ê-ì.ð.-ìè ïðîöåññà X.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ åãî íå áóäåò ââèäó åãî ñëîæíîñòè (à çðÿ - çàì.)Äî ýòîé òåîðåìû Äàíèýëü äîêàçàë äëÿ T-ñ÷åòíîãî ýòó òåîðåìó. •Âñïîìíèì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. ξ = (ξ1 , . .
. , ξn )ñëó÷àéíûé âåêòîð ñî çíà÷åíèÿìè â RnÎïð.: Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé âåêòîðà ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿinPλk ξkϕξ (λ):=E exp{i < λ, ξ >}= Ee k=1, ãäå λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn , i2 = −1 ìíèìàÿ åäèíèöà, < ·, · > - ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.g∈F |BÂñïîìíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ â èíòåãðàëå Ëåáåãà. Åñëè åñòü (Ω, F, P ) →RRh∈B|B(R)(S, B)→(R, B(R)), òî h(g(u))dP= h(z)P g −1 (dz).
Êàê, ïîëüçóÿñüΩSRýòèì ñâîéñòâîì, çàïèñàòü õ. ôóíêöèþ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â âèäåïîïðîñòðàíñòâó R?Z=ei<λ,z> Pξ (dz)Rn-ãäå Pξ (dz) - ðàñïðåäåëåíèå ñ.âåêòîðà. Ò.å. ãëàâíûé âûâîä òàêîé: õ.ô. âåêòîðà≡ õ.ô. ìåðû, ÿâëÿþùåéñÿ åãî ðàñïðåäåëåíèåì.8Ò.î., åñëè Q - ìåðà íà (Rn , B(Rn )), òî ϕQ (λ) =RRnei<λ,z> Q(dz) - õ.ô. ìåðûQ =⇒ âûâîä: õ.ô. ñë. âåêòîðà ξ ñîâïàäàåò ñ õ.ô.
åãî ðàñïðåäåëåíèÿ Pξ .Êàê óñëîâèÿ ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïðîöåññàìîæíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ õ.ô.? Ñì. Óïàæíåíèå íèæå. Åñëè åñòü ξ =nPi(ξ1 , . . . , ξn ), òî ϕξ (λ) := Eeíàáîðà (1, . . . , n), òîξk λkk=1; äàëåå åñëè (j1 , .
. . , jn ) ïåðåñòàíîâêà(A) ϕPt1 ,...,tn (λj1 , . . . , λjn ) = ϕPtσ(1) ,...,tσ(n) (λ1 , . . . , λn )(B) ϕPt1 ,...,tn (λ1 , . . . , λn−1 , 0) = ϕPt1 ,...,tn−1 (λ1 , . . . , λn−1 ) êóðñå Ò.Â. äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìåæäó ìåðàìè íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâåè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè åñòü áèåêöèÿ.Îïð.: Ïðîöåññ X = {Xt , t ≥ 0} ñ äåéñòâèòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè íàçûâàåòñÿïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè ∀n ∈ N, ∀0 ≤ t0 < t1 <. . .
< tn âåëè÷èíû Xt0 , Xt1 − Xt0 , Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1 - íåçàâèñèìû âñîâîêóïíîñòè.Åñëè åñòü ïðîöåññ {Xt , t ∈ N} ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, òî (Çàïèøåìâåëè÷èíó Xt òàê: Xt = X+ (X1 − X0 ) + (X2 − X1 ) + . . . + (Xt − Xt−1 ) âñå ñëàãàåìûå ñóììû íåçàâèñèìû) òîãäà Xt = St - ïðîöåññ ÷àñòíûõ ñóììíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Çäåñü â êà÷åñòâå tk âçÿëè k, tk = k .Ò Å Î Ð Å Ì À. Ïóñòü ϕ(s, t, ·) - õàð. ôóíêöèè ìåð Qs,t , ãäå 0 ≤s < t < ∞.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå(Ω, F, P ) ∃ -ë äåéñòâèòåëüíûé ïðîöåññ X = {Xt , t ≥ 0} ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìè, ò.÷. õ.ô. Xt − Xs åñòü ϕ(s, t, ·); íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîâûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ:ϕ(s, t, ·) = ϕ(s, u, ·)ϕ(u, t, ·)-ïðè âñåõ 0 ≤ s < u < t. Ïðè ýòîì íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ò.å. ðàñïðåäåëåíèåâåëè÷èíû X0 ìîãëî áûòü ñäåëàíî ïðîèçâîëüíûì.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ íåîáõîäèìîñòü⇒ î÷åâèäíî, ò.ê. õ.ô. ñóììû íåçàâèñèìûõ ñë. âåëè÷èí≡ ïðîèçâåäåíèå õ.ô. ñëàãàåìûõ, ò.å. Xt − Xs = (Xt − Xu ) + (Xu − Xs )äîñòàòî÷íîñòü⇐ Äîïóñòèì, ÷òî óæå ∃ òðåáóåìûé ïðîöåññ X = {Xt , t ≥ 0}.Òîãäà õ.ô. âåêòîðà ξ = (Xt0 , Xt1 − Xt0 , .
. . , Xtn − Xtn−1 ) ïðèîáðåòàåò âèä âò. (λ0 , . . . , λn ):ϕξ (λ0 , . . . , λn ) = ϕXt0 (λ0 )ϕXt1 −Xt0 (λ1 ) · . . . · ϕXt1 −Xtn−1 (λn ) =Âîçüìåì t0 = 0, òîãäà ϕXt0 (λ0 ) = ϕQ (λ0 )= ϕQ (λ0 ) · ϕ(t0 , t1 , λ1 ) . . . ϕ(tn−1 , tn , λn )91 0 ... 0Xt0.. . . . . . . . . Xt1 − Xt0 . .Òîãäà = . (y = Aξ)... .... 0.XtnX−Xtntn−11 ... ... 1∗Åñëè èìååòñÿ ξ è êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A, òî ϕAξ (λ) = Eei<Aξ,λ> = Eei<ξ,A λ> =ϕξ (A∗ λ).
Ãäå A∗ - òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê A ìàòðèöà. Ñëåäîâàòåëüíî, õ.ô.ϕXt0 ,...,Xtn (λ0 , . . . , λn ) = ϕξ (A∗ λ). •Xt0Xt1...Åñëè ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî T ⊂ R è èìåþòñÿ ìåðû Pt1 ,...,tn , ãäåt1 < . . . < tn (tk ∈ T ∀k). È âûïîëíåíî óñëîâèå (3) âìåñòî (2), à èìåííî:(3) : Pt1 ,...,tm ,...,tn (. . . R . . .) = Pt1 ,...,tm−1 ,tm+1 ,...,tn (. . . R/ .
. .)Òîãäà ïðèìåíèìà òåîðåìà Êîëìîãîðîâà.(ïî ëåêöèè, çäåñü èäåò óïðàæíåíèå, íî âñå ïîäîáíîãî ðîäà çàäà÷è èíîãäàáóäóò âûíåñåíû çà ïðåäåëû ëåêöèè - ïðèì.ðåä.)Îïð.: Ïðîöåññ N = {Nt , t ≥ 0} íàçûâàåòñÿ ïóàññîíîâñêèì, åñëè1. N0 = 0 ï.í.2. Ïðîöåññ N èìåååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ.3. Nt − Ns - ïðèðàùåíèå ðàñïðåäåëåíî ∼ πλ (t − s), 0 ≤ s < t. Ãäå π ïóàññîíîâñêèé çàêîí.Ïðîöåññ òàêæå íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì ïóàññîíîâñêèì èíòåíñèâíîñòèλ.Ãðàôèê òðàåêòîðèè ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà (ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ ).6-|{z -} | {z } |{zξ1 (u) ξ2 (u)ξ3 (u)-}Çäåñü ξ1 (u), ξ2 (u), .
. . - íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìóçàêîíó. Äîêàæåì, ÷òî ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñóùåñòâóåò.ζ ∼ π(a)∞∞PPiλ(aeiλ )k= e−a eaeiλ = ea(e −1) ϕζ (λ) = Eeiζλ =eikλ P (ξ = k) = e−ak!k=0k=0õ.ô. ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.10Óïðàæíåíèÿ.Óïðàæíåíèå 1. Åñëè äëÿ Pt1 ,...,tn (ìåð) èõ õ.ô. îáëàäàþò óñëîâèÿìè (A) È(B) (ñì.ëåêöèþ 2), òî èìåþò ìåñòî ñâîéñòâà ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàííîñòèäëÿ ìåð Pt1 ,...,tn .Óïðàæíåíèå 2. Ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ õ.ô. ϕXt0 ,...,tn (λ0 , .
. . , λn ) âûïîëíåíîñâîéñòâî (3)Óêàçàíèå. Íàäî ïîäñòàâèòü 0 â õ.ô. íà k-îå ìåñòî è óâèäåòü, ÷òî ïîëó÷èëèõ.ô. óêîðî÷åííîãî ðàíãà. Ïðè ýòîì âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé (ϕ(s, t, ·) =ϕ(s, u, ·)ϕ(u, t, ·)), ò.ê. áóäåò õ.ô.Óïðàæíåíèå 3. Ïðîâåðèòü, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèèïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà.Çàäà÷è.1. Ïóñòü X = {Xt , t ∈ T } ñë. ïðîöåññ ñî çíà÷åíèÿìè â ïîëüñêîì ïðîñòðàíñòâåS ïðè êàæäîì t. Ïóñòü òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû.
Òîãäà X ÿâëÿåòñÿ ñë. ýëåìåíòîìñî çíà÷åíèÿìè â C(T,S), ò.å. F|B(C(T, S)) - èçì. (Òåïåðü ïî-ðóññêè, S = R,òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû. Òîãäà X- ñë. ýëåìåíò ñî çíà÷åíèÿìè â C[0, 1]).d?2. ηn → η ⇔ ϕηn (λ) → ϕη (λ).122(ϕηn (λ) = eian λ− 2 σn λ )Ëåêöèÿ 3Îïð.: Ïðîöåññ W = {Wt , t ≥ 0} íàçûâàåòñÿ âèííåðîâñêèì (èëè áðîóíîâñêèìäâèæåíèåì), åñëè1. W0 = 0 ï.í.2. Ïðîöåññ W èìååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ.3. Wt − Ws - ïðèðàùåíèå ðàñïðåäåëåíî ∼ N (0, t − s), t > s ≥ 04.
Òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû.ξ ∼ N (a, σ 2 ), ϕξ (λ) = Eeiλξ = eiaλ−σ 2 λ22λ2 (t−s)λ2ϕ(s, t, λ) = ϕ(s, u, λ)ϕ(u, t, λ) - áóäóò âûïîëíåíû, ò.ê. e− 2= e− 2ooïî äîêàçàííîé òåîðåìå ïðîöåññ ñî ñâîéñòâàìè 1 − 3 ñóùåñòâóåò.eÎïð.: Âåêòîð ζ ñî çíà÷åíèÿìè â Rn íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì (íîðìàëüíûì ),åñëè ϕζ (λ) := Eei<ζ,λ> = exp{i < a, λ > − 21 < Cλ, λ >} = [ïî êîîðäèíàòíî] =nnPP=exp{iak λk − 12ckl λk λl }. ζ ∼ N (a, C), a ∈ Rn , C = {ckl }nk,l=1k=1k,l=1ak = Eζk , ckl = cov(ζk , ζl ) = E(ζk − Eζk )E(ζl − Eζl )C = C ∗ , C ≥ 0, ò.å. < Cλ, λ >≥ 0∀λ ∈ Rn (ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî112(u−s) − λ2 (t−u),îïðåäåëåííîé).
Åñëè C > 0, òî ∃ ïëîòíîñòü, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé1< C −1 (x − a), (x − a) >}2nnnPPPλk λn cov(ζk , ζl ) = (≥ 0) = cov( λl ζl ,λk ζk ) = cov(η, η) = Dη ≥ 0 npζ (x) = (2π)− 2 |C|− 12k,lexp{−l=1÷.ò.ä.k=1Îïð.: Ôóíêöèÿ r(s, t), s, t ∈ T íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé,åñëè ∀n ≥ 1, ∀t1 , . . . , tn ∈ T ìàòðèöà (r(tk , tl ))nk,l=1 íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.Ò Å Î Ð Å Ì À. Ïóñòü a = a(t) ëþáàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ,îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå T. Ïóñòü r = r(t, s) = - ñèììåòðè÷íà, ò.å.r(s, t) = r(t, s) è ∀s, t ∈ T íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà T × T .
Òîãäàíà íåêîòîðîì (Ω, F, P ) ∃ ãàóññîâñêèé ïðöåññ X = {Xt , t ∈ T }, ò.÷. a(t) =EXt , r(s, t) = cov(Xs , Xt )Çàìå÷àíèå. Âûäåëåííûå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè.Äîêàçàòåëüñòâî.◦ Äëÿ ∀n ≥ 1∀t1 , . . . , tn ∈ T ðàññìîòðèì âåêòîð (a(t1 ), . . . , a(tn )) è ìàòðèöó(r(tk , tl ))nk,l=1 , â ñèëó âûäåëåííûõ óñëîâèé ìû ìîæåì ââåñòè õ.ô.ϕt1 ,...,tn (λ1 , . . . , λn ) := exp{inXk=1λk a(tk ) −n1 Xλk λl r(tk , tl )}2k,l=1. Òåïåðü ïðîâåðèì ñîãëàñîâàííîñòü ìåð (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, åñëè ïîäñòàâèòü0 âìåñòî λn , íàïðèìåð, ìû ïîëó÷èì "óêîðî÷åííóþ"õ.ô.
- ïðèì.ðåä.) •Îïð.:∗ Ïðîöåññ W = {Wt , t ≥ 0} íàçûâàåòñÿ âèííåðîâñêèì (èëè áðîóíîâñêèìäâèæåíèåì), åñëè1. EWt = 0 ∀t2. cov(Wt , Ws ) = min(s, t) ∀t, s ≥ 03. W - ãàóññîâñêèé ïðîöåññ4. Òðàåêòîðèè íåïðåðûâíû.Íàïîìíèì, ãàóññîâîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ∀n ≥ 0∀t1 , . . . , tn − (Wt1 , .
. . , Wtn ) ãàóññîâñêèé âåêòîð.Óïðàæíåíèå Ä-òü, ÷òî îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíûÄîêàæåì, ÷òî ïðîöåññ ñóùåñòâóåò. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü r(s, t) = min(s, t)- ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé (ïî Çàìå÷àíèþê òåîðåìå). Ìû óæå âèäåëè, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîöåññ â ñìûñëå èñõîäíîãî12îïðåäåëåíèÿ (ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè) cov(Ws , Wt ) = cov(Ws , Wt −Ws + Ws ) = cov(Ws , Wt − Ws ) + cov(Ws , Ws ) = D(Ws − W0 ) = s, ò.ê. âîïåðâûõ, ïðîöåññ ñ íåçàâèìñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, à âî-âòîðûõ, W0 = 0.Èòàê, ôóíêöèÿ r(s, t) - ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíà îïðåäåëåíà, êàê êîâàðèàöèîííàÿôóíêöèÿ ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
