Ответы на вопросы теормина (1133529), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Óëó÷øåííîå ïåðâîå ïðèáëèæåíèåÓëó÷øåííîå ïðèáëèæåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà äàåòñÿ ôîðìóëîé)(∞µ α0 (r) Xy = r(t) cos φ(t) + 2+[αk (r) cos kφ(t) + βk (r) sin kφ(t)]ω2(318)k=2ãäå r(t) è φ(t) îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (315) - (316), àZ2π1f (r cos λ, −rω sin λ) cos kλdλ , k = 0, 1, ...αk (r) =π(k 2 − 1)(319)0Z2π1βk (r) =f (r cos λ, −rω sin λ) sin kλdλ , k = 2, 3, ...π(k 2 − 1)(320)068×òî òàêîå âåéâëåò-àíàëèç? Äëÿ ÷åãî îí ïðèìåíÿåòñÿ?Îñíîâíàÿ èäåÿ: èñïîëüçîâàíèå áàçèñà, êàæäàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåò êàê îïðåäåëåííóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ (âðåìåííóþ) ÷àñòîòó, òàê è ìåñòî åå ëîêàëèçàöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (âðåìåíè).Âåéâëåòû - ñåìåéñòâî ôóíêöèé, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1.ÄîïóñòèìîñòüÀíàëèçèðóþùèé âåéâëåò ψ(t) (ìàòåðèíñêèé) äîëæåí èìåòü íóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå:Z∞ψ(t)dt = 0−∞33(321)2.Ïîäîáèå3.Îáðàòèìîñòü4.ÐåãóëÿðíîñòüÂñå ôóíêöèè ñåìåéñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç àíàëèçèðóþùåãî âåéâëåòà ïóòåì ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà:t−bψa,b (t) = ψ()(322)aÑóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàþùåãî èñõîäíóþ ôóíêöèþ ïî åå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèþ.Ôóíêöèÿ ψ(t) äîëæíà áûòü õîðîøî ëîêàëèçîâàíà è â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå.Âåéâëåò-àíàëèç èñïîëüçóåòñÿ â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ àíàëèçîì ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëåéñî ñëîæíîé ìíîãîìàñøòàáíîé ñòðóêòóðîé (òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ), ëèáî âðåìåííûõ ñèãíàëîâ ñìåíÿþùèìñÿ ñî âðåìåíåì ñïåêòðàëüíûì ñîñòàâîì (ñåéñìè÷åñêèå ñèãíàëû).69 ÷åì ñîñòîÿò ïðåèìóùåñòâà è íåäîñòàòêè âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåä Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì?Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ âåéâëåò-àíàëèçà..Ïðåèìóùåñòâî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåä ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíîïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâ ñèãíàëà ñî âðåìåíåì è óêàçàòü, êàêèå÷àñòîòû (ìàñøòàáû) äîìèíèðóþò â ñèãíàëåÏðèìåíåíèå âåéâëåò àíàëèçà: àíàëèç ñåéñìè÷åñêîé àêòèâíîñòè, ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè, ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ, êîäèðîâàíèå èçîáðàæåíèé è äð.70×òî òàêîå ôðàêòàë?Ôðàêòàë - ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà, â êîòîðîé îäèí è òîò æå ôðàãìåíò ïîâòîðÿåòñÿ ïðè êàæäîìóìåíüøåíèè ìàñøòàáàÔðàêòàëû:1.
Êîíñòðóêòèâíûé - ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîñòîé ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðû ( êîìáèíàöèèëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé)2. Äèíàìè÷åñêèé:îòîáðàæåíèåzn+1 = zn2 + c(323)íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãîïðèáëèæåíèÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò ëèáî íîëü (àòòðàêòîð), ëèáî áåñêîíå÷íîñòü (àòòðàêòîð). Ãðàíèöà, ðàçäåëÿþùàÿ îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ýòèõ äâóõ àòòðàêòîðîâ áåñêîíå÷íî èçðåçàíà è ÿâëÿåòñÿ ôðàêòàëîì - ìíîæåñòâîì Æþëèà. Ìàíäåëüáðîò ïðîñëåæèâàë ¾ñóäüáó¿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè z ïðè ðàçëè÷íûõ C :(a) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæàåòñÿ ê íóëþ (àòòðàêòîð)(b) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæàåòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (àòòðàêòîð)(c) ñïåöèôè÷åñêèé ñëó÷àé: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåæèò íà ãðàíèöå äâóõ îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ.Ýòà ãðàíèöà - ñòðàííûé àòòðàêòîð äëÿ äàííîãî ïðîöåññà.
Ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ äàííîé ãðàíèöåé - ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà.3. Ðåãóëÿðíûé - íà êàæäîì ýòàïå ìàñøòàáèðîâàíèå â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò îáúåêò â öåëîì4. Íåðåãóëÿðíûé - íà êàæäîì óðîâíå ìàñøòàáà ñòðóêòóðà ôðàêòàëà ïîäîáíà, íî íå èäåíòè÷íàîáúåêòó â öåëîìÄåíäðèòû - äðåâîïîäîáíûå ôðàêòàëû.34Ðèñ. 11: Mandelbrot fractal71×òî èçó÷àåò ñèíåðãåòèêà?Ñèíåðãåòèêà èçó÷àåò ïðîöåññû îáðàçîâàíèÿ ñòðóêòóð â ñëîæíûõ ñàìîîðãàíèçóþùèõñÿ ñèñòåìàõ72Íàïèøèòå óðàâíåíèå Êîðòåâåãà - äå Ôðèçà. Èçëîæèòå ñõåìó ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷èðàññåÿíèÿ.Êàíîíè÷åñêèé âèä óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà - äå Ôðèçà(324)ut − 6uux + uxxx = 0- ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé çàäà÷è î íàõîæäåíèè êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõóðîâíåé ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé è çàäà÷è ðàññåÿíèÿ ïëîñêîé âîëíû åäèíè÷íîé àìïëèòóäûíà ïîòåíöèàëå u(x, t).Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ: ïî çàäàííûì äàííûì ðåøåíèÿ îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèéïîòåíöèàë.Çàìå÷àíèå: äàííûõ ðàññåÿíèÿ äîñòàòî÷íî äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà.Äàííûå ðåøåíèÿ73×òî òàêîå ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð çàäà÷è, ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿñîëèòîíû.Ñîëèòîíàìè (èëè ñîëèòîííûìè ðåøåíèÿìè) íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà - äå Ôðèçà âèäà11u(x, t) = − α2(325)2 ch2 1 α(x − x ) − α3 t23502Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ñ äàííûìè ðåøåíèÿb(k, t) = 0√3C1 (t) = 2e4κ1 t− κ21 = λ1 = −1èìååò ñîëèòîííîå ðåøåíèåu(x, t) = −742ch (x − 4t)2(326)(327)(328)(329)(330)Íåêîòîðûå ïîëåçíûå îïðåäåëåíèÿ1.
Îïåðàòîð Lh , ïðåîáðàçóþùèé ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ y â ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ Y = Lh y , íàçûâàþò ñåòî÷íûì èëè ðàçíîñòíûì îïåðàòîðîì.2. Lh un − (Lu)n -ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèèîïåðàòîðà L ðàçíîñòíûì îïåðàòîðîì Lh .Çàìå÷àíèå: ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà çàâèñèò îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè u.3. Ìíîæåñòâî óçëîâ, çíà÷åíèÿ ñåòî÷íîé ôóíêöèè â êîòîðûõ âõîäÿò â âûðàæåíèå Lh un , íàçûâàþò øàáëîíîì îïåðàòîðà Lh â òî÷êå xn .4.Íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò âõîäíûõ äàííûõ:Ñâîéñòâî íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è îò âõîäíûõ äàííûõ íàçûâàåòñÿ òàêæå óñòîé÷èâîñòüþ ðàçíîñòíîé çàäà÷è (ñõåìû).
Ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è yhðàññìàòðèâàåòñÿ íå ïðè îäíîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè h, à ïðè ëþáûõ h 6 h0 , ò. å. íà ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ äîñòàòî÷íî ìåëêèõ ñåòîê. Ðàâíîìåðíàÿ ïî h íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü yh îò âõîäíûõ äàííûõ îçíà÷àåò, ÷òî ñâîéñòâî íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ñîõðàíÿåòñÿïðè h → 0. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ðåøåíèå îöåíèâàòü ïî íîðìå || · ||(1) , à âõîäíûå äàííûå,íàïðèìåð, ïðàâóþ ÷àñòü φ ïî íîðìå || · ||(2) , òî óñòîé÷èâîñòü (ðàâíîìåðíàÿ ïî h ) ñõåìû ïîïðàâîé ÷àñòè îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîñòîÿííîé M > 0, íå çàâèñÿùåé îò h, ÷òî||yh ||(1) 6 M ||φ||(2) ∀h 6 h05.Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû6.Àñèìïòîòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó7.Àòòðàêòîð(331)- ïîëó÷åíèå ôîðìóëû, îïèñûâàþùåé êà÷åñòâåííîå ïîâåäåíèåðåøåíèÿ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå.íàçûâàþòñÿ ôîðìóëû, â êîòîðûõ ÷ëåíû, íàçûâàåìûå îñòàòî÷íûìè, âûïèñûâàþòñÿ íå òî÷íî, à óêàçûâàþòñÿ ëèøü èõñâîéñòâà ïðè µ → 0.- ìíîæåñòâî, ê êîòîðîìó ñõîäÿòñÿ ôàçîâûå êðèâûå.8.
Ïóñòü íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò îáëàñòü (íåíóëåâîãî îáúåìà), ÿâëÿþùàÿñÿ àòòðàêòîðîì.Íî ôàçîâûå òðàåêòîðèè íå ñòðåìÿòñÿ íè ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ, íè ê ïðåäåëüíîìó öèêëó.Âíóòðè äàííîé îáëàñòè ôàçîâûå òðàåêòîðèè îáðàçóþò "êëóáîê îíè èçìåíÿþòñÿïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íî íèãäå íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ýòà îáëàñòü íàçûâàåòñÿ "ñòðàííûìàòòðàêòîðîì".36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
