Ответы на вопросы теормина (1133529), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èññëåäîâàòü äèíàìèêó ìîäåëèóäîáíî íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè Oxy , îòìå÷àÿ íà íåé ñîñòîÿíèÿ ìîäåëè.Ðàññìîòðèì ẋ - ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè êàðàñåé. Åñëè ùóê íåò, òî ÷èñëî êàðàñåéóâåëè÷èâàåòñÿ è òåì áûñòðåå, ÷åì áîëüøå êàðàñåé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü ëèíåéíàÿ:ẋ ∼ ε1 x, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ε1 çàâèñèò òîëüêî îò óñëîâèé æèçíè êàðàñåé, èõ åñòåñòâåííîéñìåðòíîñòè è ðîæäàåìîñòè.Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ẏ ÷èñëà ùóê (åñëè íåò êàðàñåé), çàâèñèò îò ÷èñëà ùóê y .
Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ẏ ∼ −ε2 y . Åñëè êàðàñåé íåò, òî ÷èñëî ùóê óìåíüøàåòñÿ (ó íèõ íåò ïèùè) è îíè âûìèðàþò. ýêîñèñòåìå ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè êàæäîãî âèäà òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé åãî ÷èñëåííîñòè, íî òîëüêî ñ êîýôôèöèåíòîì, êîòîðûé çàâèñèò îò ÷èñëåííîñòè îñîáåéäðóãîãî âèäà. Òàê, äëÿ êàðàñåé ýòîò êîýôôèöèåíò óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ùóê, à äëÿùóê óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà êàðàñåé.
Áóäåì ñ÷èòàòü ýòó çàâèñèìîñòü òàêæå ëèíåéíîé.Òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó èç äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẋ = ε1 x − κ1 xy(94)ẏ = −ε2 y + κ2 xy(95)(96)Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ Âîëüòåððà-Ëîòêè.×èñëîâûå êîýôôèöèåíòû ε1 , ε2 , κ1 , κ2 íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè ìîäåëè.Èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíûõ, ëåãêî íàõîäèòñÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ - òî÷êà(x0 , y0 ) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè, ãäåε2ε1x0 =; y0 =(97)κ2κ1Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ:x = x0 + ξ(98)y = y0 + η(99)12 íîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìà (94)-(95) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:ξ˙ = −κ1 η(x0 + ξ)(100)η̇ = κ2 ξ(y0 + η)(101)(102)Óðàâíåíèÿ (100)-(101) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Âîëüòåððà-Ëîòêè.Ïîëàãàÿ ξ è η ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ x0 è y0 , ïîëó÷èì:ε2ξ˙ = −κ1 ηκ2ε1η̇ = κ2 ξκ1(103)(104)(105)Ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ êîëåáàíèé, ðåøåíèÿ ξ è η ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìèêîëåáàíèÿìè, ñäâèíóòûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà π2 è íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàþòñÿýëëèïñàìè âîêðóã òî÷êè (x0 , y0 ).(ðèñ.
4)Ðèñ. 4:Áîëåå àêêóðàòíûé ðàñ÷åò (áåç ïðåíåáðåæåíèÿ ÷ëåíàìè ïîðÿäêà ξη ) äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò (ðèñ. 5)Ðèñ. 5:26Íàïèøèòå ëèíåéíîå, ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå è êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ.Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà:∂t u + a∂x u + bu = f (x, t) a = a(x, t); b = b(x, t)13(106)Óðàâíåíèå îäíîðîäíî, åñëè f (x, t) ≡ 0. Óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê:dtdx=1a(107)∂t u + a(u, x, t)∂x u = f (u, x, t)(108)dxdudt==1af(109)Êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñàÓðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê:27Ìîãóò ëè ïåðåñåêàòüñÿ õàðàêòåðèñòèêè â ñëó÷àå ëèíåéíîãî è êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿïåðåíîñà? Ê êàêîìó êà÷åñòâåííîìó õàðàêòåðó ðåøåíèé è ôèçè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì ýòîïðèâîäèò? ñëó÷àå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèêè ïåðåñåêàòüñÿ íå ìîãóò.  ñëó÷àå êâàçèëèíåéíîãîóðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòèêè ìîãó ïåðåñåêàòüñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê äèñïåðñèè â âîëíå, îáðàçîâàíèþóäàðíîãî ôðîíòà è îïðîêèäûâàíèþ.28 êàêèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ñòðîèòü îáîáùåííîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî è êâàçèëèíåéíîãîóðàâíåíèÿ ïåðåíîñà? ñëó÷àå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ ñòðîèòñÿ îáîáùåííîå ðåøåíèå.29Íàïèøèòå óñëîâèå íà ðàçðûâå (óñëîâèå Ãþãîíèî) äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà.Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàçðûâà v(t) è çíà÷åíèÿ ñëåâà u− è ñïðàâà u+ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:v(t) =30u+ + u−2(110) ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà?Ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ, íà êîòîðûõðåøåíèå u(x, t) îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì.
Ýòî ïîçâîëÿåò ïî íà÷àëüíîé ôóíêöèè u0 îïðåäåëèòüôóíêöèþ u(x, t) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.31Ñâåäåíèå äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ñ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì ê âàðèàöèîííîéçàäà÷å?ïîèñê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ∂f∂−∂u ∂x∂f∂ux−∂∂y∂f∂uy=0ðàâíîñèëåí îòûñêàíèþ ôóíêöèè, ðåàëèçóþùåé ìèíèìóì ôóíêöèîíàëàZD[u(x, y)] = F (x, y, u, ux , uy )dxdy(111)(112)D ÷àñòíîñòè, ïðèíöèïîì Äèðèõëå íàçûâàåòñÿ ìåòîä ñâåäåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿËàïëàñà ê ýêâèâàëåíòíûì èì âàðèàöèîííûì çàäà÷àì.1432Êàê ñòàâèòñÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ?Äîïóñòèìàÿ ôóíêöèÿ: ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â D̄ , êóñî÷íî-íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ âD̄, ïðèíèìàþùàÿ çàäàííîå íåïðåðûâíîå çíà÷åíèå φ(P ) P ∈ Γ íà êðèâîé Γ èçíóòðè D è èíòåãðàëÄèðèõëåZu2x + u2y dxdy(113)D[u(x, y)] =Dîò êîòîðîé êîíå÷åí.Çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:(114)∆u + λu = 0 M ∈ Du(P ) = 0 P ∈ Γu(M ) ∈ C (2) (D) ∩ C (1) (D̄)(115)(116)(117)Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à: Ñðåäè äîïóñòèìûõ ôóíêöèé, òàêèõ ÷òî u(P ) = 0 P ∈ Γ? íàéòè òó, äëÿêîòîðîé ôóíêöèîíàë J(u):D(u)H(u)ZH(u) = u2 (x, y)dxdy(118)J(u) =(119)Dïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.Òåîðåìà: Åñëè u0 (x, y) ðåàëèçóåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà J(u) è min J(u) = λ0 (ãäå P - êëàññu∈Päîïóñòèìûõ ôóíêöèé), òî u0 - ðåøåíèå (114) - (116) è ñðåäè âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîéçàäà÷è λ0 - ìèíèìàëüíîå.33×òî òàêîå âàðèàöèîííûå è ÷òî òàêîå ïðîåêöèîííûå àëãîðèòìû? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Âàðèàöèîííûå àëãîðèòìû: ñóòü âàðèàöèîííûõ àëãîðèòìîâ ñîñòîèò â çàìåíå èñõîäíîé êðàåâîéçàäà÷è ðàâíîñèëüíîé âàðèàöèîííîé çàäà÷åé.
Ïðèìåð: ïðèíöèï Äèðèõëå (31)Ïðîåêöèîííûå àëãîðèòìû: ñóòü ïðîåêöèîííûõ àëãîðèòìîâ ñîñòîèò â çàìåíå èñõîäíîé çàäà÷è çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïî íåêîòîðîé ñèñòåìå áàçèñíûõ ôóíêöèé.Ïðèìåð: ìåòîä Ðèòöà.34 ÷åì ñîñòîèò ìåòîä Ðèòöà? Ïðèâåäèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñõîäèìîñòü ðåøåíèé, íàéäåííûõ ïî ìåòîäó Ðèòöà, ê òî÷íîìó.Ìåòîä Ðèòöà:Ïóñòü åñòü çàäà÷à:Au = f(120)(Au, v) = (u, Av) u, v ∈ D(A)(121)ãäå A - îïåðàòîð, òàêîé ÷òî22(Au, u) > γ ||u|| γ > 0(122)òî åñòü ñàìîñîïðÿæåííûé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé.
Àëãîðèòì:1. âûáèðàåòñÿ áàçèñ {φi } : φi ∈ D(A) , i = 1...N2. ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäåuN =NX115ai φi(123)3. êîýôôèöèåíòû ai íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé(AuN , φi ) = (f, φi ) i = 1...N(124)Âa = b(125)ãäå  = Aij , Aij = (Aφi , φj ),a = (a1 , ..., aN )T ,b = (f1 , ..., fN )T , fi = (f, φi ), i, j = 1...NÒåîðåìà:Åñëè ∀u ∈ D(A) ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâũN =NXãi φi ,i=1ũN ∈ HNN = 1, 2, ..., òàêóþ ÷òî ||A(u − ũN )|| −−−−→ 0, òî ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ũNN →∞ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (120) ïðè N → ∞, ïðè÷åì(126)||(u0 − ũN )|| 6 min ||A(u0 − ũN )||ãi(N )ãäå C > 0 íå çàâèñèò îò u0 è ũN , à HN - ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà φi, i = 1, 2, ..., N .P.S. Îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà Ðèòöà â òîì, ÷òî îí ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ ñàìîñîïðÿæåííûõïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ îïåðàòîðîâ.35 ÷åì ñîñòîèò ìåòîä Ãàëåðêèíà è ìåòîä ìîìåíòîâ?Ìåòîä Ãàëåðêèíà.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó:Lu = Au + Bu = f , f ∈ H(127)ãäå â ýòîì è ñëåäóþùåì ïóíêòàõ A è B - ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå,ïðè÷åì D(A) (- îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ A) - ïëîòíî â H.
Àëãîðèòì:1. âûáèðàåòñÿ áàçèñ {φi } : φi ∈ D(A) , i = 1...N2. ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäåuN =NXai φi(128)13. êîýôôèöèåíòû ai íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè íåâÿçêè LuN − f ê φ1 ...φN(LuN − f, φi ) = 0 , i = 1...N(129)Çàìå÷àíèå: Åñëè êîýôôèöèåíòû ai îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ(LuN − f, ψi ) = 0 , i = 1...N,(130)ãäå ψi ⊂ H - íåêîòîðûé áàçèñ, òî ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîä Ãàëåðêèíà - Ïåòðîâà.Îáîáùåííûé ìåòîä ìîìåíòîâ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó:Lu = Au + Bu = f , f ∈ H(131)ãäå u ∈ D(A) ⊂ D(K) è îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ K -ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì, ò.å.(132)(Au, Ku) > γ 2 ||u||222(Au, Ku) > β ||Ku|| γ, β > 0Àëãîðèòì:16(133)1. âûáèðàåòñÿ áàçèñ {φi } : φi ∈ D(A) , i = 1...N2.
ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäåuN =NXai φi(134)13. êîýôôèöèåíòû ai íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:(LuN − f, Kφi ) = 0 i = 1...N36(135) ÷åì ñîñòîèò ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ?Ðàññìîòðèì çàäà÷ó:(136)Au = fãäå ó îïåðàòîðà A ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé îïåðàòîð A−1 . Àëãîðèòì:1. âûáèðàåòñÿ áàçèñ {φi } : φi ∈ D(A) , i = 1...N2. ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäåuN =NXai φi(137)13. êîýôôèöèåíòû ai íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé(AuN , Aφi ) = (f, Aφi ) i = 1...N(138)Âa = b(139)ãäå  = Aij , Aij = (Aφi , φj ),  = ÂTa = (a1 , ..., aN )T ,b = (f1 , ..., fN )T , fi = (f, φi )А, i, j = 1...NÇàìå÷àíèå:íàëà íåâÿçêè37Ñîîòíîøåíèÿ (138) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèî-J(u) = ||Au − f ||2 íà HN(140)Äàéòå îïðåäåëåíèå àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé çàäà÷åé èñõîäíîé äèôôåðåíöèàëüíîéçàäà÷è.Ïóñòü äàíà äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à:(Lu(x) = f (x) x ∈ D(141)lu(x) = µ(x) x ∈ Γ(142)ãäå L - ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, l - îïåðàòîð äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, D̄ =D + Γ.Ïóñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð Ph îñóùåñòâëÿåò îòîáðàæåíèå èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà H0 íà ïðîñòðàíñòâî Hh .
Ñîîòâåòñòâåííî D̄ çàìåíÿåòñÿ ñåòêîé ωh , φh (x) = Ph f (x) x ∈ ωh , χh (x) = Ph µ(x) x ∈ γh ,ω̄h = ωh + γh , uh (x) = Ph u(x)Îïð: Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà(Lh yh (x) = φh (x) x ∈ ωh(143)lh yh (x) = χh (x) x ∈ γh17(144)àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (141) - (142) è èìååò ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè m, åñëè||ψh ||(2h) = O(|h|m )m||νh ||(3h) = O(|h| )(145)(146)(147)ãäå ψh , νh (ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè):(Lh zh (x) = ψh (x) x ∈ ωh(148)lh zh (x) = νh (x) x ∈ γh(149)ãäå zh = yh − uh .Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà.Ðàçíîñòíûé îïåðàòîð Lhàïïðîêñèìèðóåò èñõîäíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð L ñ k -òûì ïîðÿäêîì òî÷íîñòè, åñëè||Lu − Lh u|| 6 chk(150)ãäå c çàâèñèò îò âûáîðà u, íî íå çàâèñèò îò âûáîðà h.Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ïî íåâÿçêå.u = ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Lu = f .ξh ≡ Lh u − fh(151)ηh ≡ lh u − µh(152)Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó ñ ïîðÿäêîì òî÷íîñòè m, åñëè||ξh || 6 chm ||ηh || 6 c1 hm38(153)Äàéòå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû.Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (143) - (144) óñòîé÷èâà, åñëè ðåøåíèå yh ðàâíîìåðíî ïî h íåïðåðûâíî çàâèñèòîò âõîäíûõ äàííûõ.
Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ êàæäîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ(ε), íå çàâèñÿùåå îòøàãà h (ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h), ÷òîåñëè||y I − y II ||yh 6 ε(154)||φI − φII ||φh 6 δ(ε) , ||χI − χII ||χh 6 δ(ε)(155)Íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ îò φ íàçûâàþò óñòîé÷èâîñòüþ ïî ïðàà íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò χ - óñòîé÷èâîñòüþ ïî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.Óñòîé÷èâîñòü ïî ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ ïðè t = t0 íàçûâàþò óñòîé÷èâîñòüþ ïî íà÷àëüíûìäàííûì.âîé ÷àñòè,39Äàéòå îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû.Cì. ñëåäóþùèé ïóíêò.40×òî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à èìååò ê-ûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè?Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (143) - (144) ñõîäèòñÿ è èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè k , åñëè:||yh − uh ||(1h) = O(|h|k )18(156)41Äàéòå îïðåäåëåíèå êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè ðàçíîñòíîé ñõåìû.Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (143) - (144) êîððåêòíà (ïîñòàâëåíà êîððåêòíî), åñëè ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ|h| 6 h0 :1.
ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà ïðè ëþáûõ âõîäíûõ äàííûõ φh , χh2. ðàçíîñòíàÿ ñõåìà îáëàäàåò ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè.( cì ï. 38)42Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè, óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû?Åñëè ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (143) - (144) óñòîé÷èâà è àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (141) - (142), òî îíàñõîäèòñÿ, è ïîðÿäîê òî÷íîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè.43×òî òàêîå øàáëîí ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Øàáëîí ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà - ìíîæåñòâî óçëîâ, íà êîòîðîì çàïèñûâàåòñÿ îïåðàòîð.Äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè:(σ)Lhτ ω = ωτ − (σ ω̂xx + (1 − σ)ωxx )(157)ãäåω(x, t + τ ) − ω(x, t)τω(x + h, t) − 2ω(x, t) + ω(x − h, t)=h2ω(x + h, t + τ ) − 2ω(x, t + τ ) + ω(x − h, t + τ )=h2ωt =ωxxω̂xx44(158)(159)(160)Ïðèâåäèòå ïðèìåð ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
