Ответы на вопросы теормина (1133529), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

ïðåäûäóùèé ïóíêò (ñèñòåìà (223)).57Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìîå ñïåêòðàëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè Íåéìàíà äëÿ ðåøåíèÿðàçíîñòíîé çàäà÷è Êîøè.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà: ∂u − ∂u = 0 x ∈ R1 , t ∈ (0, T ]∂t∂xu(x, 0) = µ(x) x ∈ R1Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà: s+1syn+1− ynsyn − yns−=0τhyn0 = φn n = 0, ±1, ... , s = 0, 1, ..., S||y s || 6 M ||y 0 || , s = 0, 1, ..., S(238)(239)(240)(241)(242)(243)s2ãäå ||y || = max |yns |(n)Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì íåîáõîäèìî, ÷òîáû óñëîâèå (242)âûïîëíÿëîñü , â ÷àñòíîñòè, åñëè íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ φn åñòü ãàðìîíèêà:yn0 = eiαn , n = 0, ±1, ...(244)yns = λs etαn(245)ãäå α - âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð.Òîãäà ðåøåíèå ïðèìåò âèäãäåλ(α) = 1 −ττ+ eiαh hmax |yns | = |λ(α)|s max |yn0 |(n)(n)(246)(247)Äëÿ âûïîëíåíèÿ (242) íåîáõîäèìî, ÷òîáû|λ(α)|s 6 M , s = 0, 1, ..., S(248)λ(α) 6 1 + C1 τ , s = 0, 1, ..., S(249)èëè26òàê êàê(1 + C1 τ )s 6 eC1 τ s < eC1 T = MÎïðåäåëèì îïåðàòîð ïåðåõîäà íà ñëåäóþùèé ñëîé:τ s τ syns+1 = 1 −y + yh n h n+1(250)Îòìåòèì, ÷òî eiαn - ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà ïåðåõîäà íà ñëåäóþùèé ñëîé, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ(α).

Åñëè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé λ(α) ïðè α ∈ R1 (ò. å. ñïåêòðîïåðàòîðà ïåðåõîäà) íå çàâèñèò îò τ , òî óñëîâèå (249) ðàâíîñèëüíî òðåáîâàíèþ|λ(α)| 6 1(251)Íåîáõîäèìîå ñïåêòðàëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè Íåéìàíà: (249) ñïåêòð îïåðàòîðàïåðåõîäà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ, äîëæåí ëåæàòü â êðóãå ðàäèóñà 1 + C1 τ íàêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.58Ñõåìû ìåòîäà áåãóùåãî ñ÷åòà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðåíîñà:∂u∂u+c= f (x, t)∂x ∂tu(x, 0) = µ1 (x) x ∈ [0, a]u(0, t) = µ2 (x) t ∈ [0, T ](252)(253)(254)(255)Ðèñ.

9:alexandrows.narod2.ru27 ïðÿìîóãîëüíèêå Ḡ = [0 6 x 6 a] × [0 6 t 6 T ] ââåäåì ïðÿìîóãîëüíóþ (äëÿ ïðîñòîòûðàâíîìåðíóþ) ñåòêó (hτ ).Çàïèøåì ðàçíîñòíûå ñõåìû: (φn = f (xn − h2 , t+ τ2 ), äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè íà ñëîå s+1 ôóíêöèÿñ êðûøå÷êîé ˆ·, íà ñëîå s - áåç)1.1c(ŷn − yn ) + (yn − yn−1 ) = φnτh(256)1c(ŷn−1 − yn−1 ) + (ŷn − ŷn−1 ) = φnτh(257)c1(ŷn − yn ) + (ŷn − ŷn−1 ) = φnτh(258)c1(ŷn + ŷn−1 − yn − yn−1 ) +(ŷn + yn − ŷn−1 − yn−1 ) = φn2τ2h(259)2.3.4.Óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü:1.cτ 6 h (êðèòåðèé Êóðàíòà) ; O(τ + h)(260)cτ > h ; O(τ + h)(261)óñòîé÷èâà áåçóñëîâíî ; O(τ + h)(262)óñòîé÷èâà áåçóñëîâíî ; O(τ 2 + h2 )(263)2.3.4.59Êðèòåðèé Êóðàíòà äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà.ñì.

ïðåäûäóùèé ïóíêò (260). Äîêàçûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè ïðèíöèïà ìàêñèìóìà (äîñòàòî÷íîñòü) èñïåêòðàëüíîãî óñëîâèÿ Íåéìàíà (íåîáõîäèìîñòü).60×òî òàêîå ìîíîòîííàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà. Êàêèå ñõåìû äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè.Ñîõðàíåíèå ìîíîòîííîñòè ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ñâîéñòâîì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà. Åñëè äëÿ íåãî ïîñòàâëåíà çàäà÷à Êîøè ñ ìîíîòîííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè u(x, 0) = µ(x),−∞ < x 6 a, òî â ëþáîé ìîìåíò t ïðîôèëü u(x, t) òîæå áóäåò ìîíîòîííûì. Ìîíîòîííîñòüñîõðàíÿåòñÿ è â ñìåøàííîé çàäà÷å Êîøè, åñëè ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå u(, t) òîæå ìîíîòîííî çàâèñèòîò t è ñîãëàñîâàíî ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè.Ìîíîòîííûìè íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû, ñîõðàíÿþùèå ìîíîòîííîñòü ïðîôèëÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ.

Òî åñòü èç òîãî, ÷òî ïðîôèëü yn ìîíîòîíåí, ñëåäóåò, ÷òî ïðîôèëü ŷnòàêæå áóäåò ìîíîòîííûì.Ïðèçíàê ìîíîòîííîñòè. ßâíàÿ äâóõñëîéíàÿ ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ñõåìàXŷn =βl yn+l(264)lìîíîòîííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå βl > 0.Çàìå÷àíèå. Ïðèçíàê ìîíîòîííîñòè îòíîñèòñÿ ê ðàçíîñòíûì ñõåìàì, àïïðîêñèìèðóþùèì êàêóðàâíåíèå ïåðåíîñà, òàê è ëþáûå äðóãèå òèïû óðàâíåíèé.Òåîðåìà. Äâóõñëîéíàÿ ëèíåéíàÿ ìîíîòîííàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ut + cux = 0 íåìîæåò èìåòü âòîðîé èëè áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê òî÷íîñòè.2861×òî â àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ïîíèìàåòñÿ ïîä âîçìóùåíèåì? ×òî òàêîå ðåãóëÿðíîå èñèíãóëÿðíîå âîçìóùåíèå?Ðàññìîòðèì çàäà÷ó:dy= f (y, t, µ)dty(0, µ) = y 0(265)(266)ãäå µ èçìåíÿåòñÿ â â íåêîòîðîé äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè 0.Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà ôóíêöèþ f ðåøåíèå áóäåò íåïðåðûâíûì ïî t è µ ïðè äîñòàòî÷íîìàëûõ µ Óðàâíåíèå (265) íàçûâàåòñÿ âîçìóùåííûì.

Óðàâíåíèådȳ= f (ȳ, t, 0)dt(267)y(t, µ) = ȳ(t) + ε(t, µ)(268)íàçûâàåòñÿ íåâîçìóùåííûì.Èç íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîãäå ε(t, µ) ⇒ 0 ïðè µ → 0. ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ôóíêöèÿ f (y, t, µ) îáëàäàåò âñåìè íåîáõîäèìûìè ïðîèçâîäíûìè, îíà ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà îêîëî òî÷êè µ = 0 è ðåøåíèå òàêæå èùåòñÿ â âèäå ôîðìàëüíîãîñòåïåííîãî ðÿäày(t) = y0 (t) + µy1 (t) + µ2 y2 (t) + ...(269)êîòîðûé íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðÿäîì èëè àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ïîìàëîìó ïàðàìåòðó µ äëÿ y(t, µ). Ñ÷èòàÿ, ÷òî y è t èçìåíÿþòñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D è|µ| < µ0 , ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿsk =kXµi yi(270)i=0Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî εk+1 = O(µk+1 ) ïðè ôèêñèðîâàííîì k è µ → 0.

Åñëè æå µ ôèêñèðîâàíîè k → ∞, òî εk+1 ìîæåò ïðåäåëà íå èìåòü, òî åñòü ïîñòðîåííûé ðÿä ìîæåò , â îáùåì ñëó÷àå,íå áûòü ñõîäÿùèìñÿ Ìàëûå ÷ëåíû, îòáðàñûâàåìûå â óðàâíåíèè, íàçûâàþòñÿ âîçìóùåíèÿìè.Åñëè µ âõîäèò â f (y, t, µ) íåïðåðûâíûì (ðåãóëÿðíûì) îáðàçîì, òî âîçìóùåíèå íàçûâàåòñÿðåãóëÿðíûì.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â ñðåäå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. (µ = I ìîìåíò èíåðöèè)µy 00 + αy 0 + ky = f (t) t > 0(271)c óñëîâèÿìèy(0) = y00 è y 0 (0) = y10(272) ñëó÷àå µ = 0 ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ (271) ìåíÿåòñÿ è óñëîâèÿ (271) óæå íå ìîãóò áûòü (âîáùåì ñëó÷àå) âûïîëíåíû îäíîâðåìåííî.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î íåðåãóëÿðíîé (ñèíãóëÿðíîé)çàâèñèìîñòè îò µ è î ñèíãóëÿðíûõ âîçìóùåíèÿõ.62×òî òàêîå àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà. Ìîæåò ëè àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä áûòü ðàñõîäÿùèìñÿ?Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà -???Àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä ìîæåò áûòü ðàñõîäÿùèìñÿ.

ñì ïðåäûäóùèé ïóíêò. 612963 ñëó÷àå çàäà÷è ñ ñèíãóëÿðíûì âîçìóùåíèåì, êàêîé êîðåíü âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì? ×òî òàêîå îáëàñòü âëèÿíèÿ êîðíÿ âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ?Êîðåíü ŷ = φ(t) âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ f (y, t) = 0 íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè∂f(φ, t) < 0∂φ(273)φ - îáëàñòü, â êîòîðîé èíòåãðàëüíûå êðèâûå íà-Îáëàñòü âëèÿíèÿ (ïðèòÿæåíèÿ) êîðíÿïðàâëåíû ê êîðíþ.Ðèñ. 10:64Îïèøèòå àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé çàäà÷è. ñèíãóëÿðíîì ñëó÷àå àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå áóäåò ñîäåðæàòü ò.í. ïîãðàíè÷íûå ÷ëåíû,çàâèñÿùèå îò µ íåñòåïåííûì îáðàçîì. Îíè çíà÷èòåëüíû ïî âåëè÷èíå ïðè t = 0 è áûñòðî óáûâàþòñ ðîñòîì t.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøèµ dy = f (y, t) , 0 < t 6 T(274)dty(0) = y 0(275)Èùåì ðåøåíèå â âèäå:y(t, µ) = y0 (t) + µy1 (t) + µ2 y2 (t) + ...

+ Π0 (τ ) + µΠ1 (τ ) + ...(276)ãäå τ = µt .Ïðåäñòàâèì f â âèäå f = F + F , ãäåF = f (y0 (t) + µy1 (t) + ..., t)(277)F = f (y0 (µτ ) + µy1 (µτ ) + ... + Π0 (τ ) + µΠ1 (τ ) + ..., µτ )−− f (y0 (µτ ) + µy1 (µτ ) + ..., µτ )(278)F = F0 (t) + µF1 (t) + ...(279)F = F0 (τ ) + µF1 (τ ) + ...(280)Òîãäà èñõîäíóþ çàäà÷ó Êîøè ìîæíî çàïèñàòü òàê:dyµ=F +FdtÏîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷èì öåïî÷êó: dΠi = f (y (0) + Π (τ ), 0) Π (τ ) + Q , τ > 0y00iidτΠi (0) = yi0 − yi (0) , i = 1, 2, ...ãäå Qi - èçâåñòíûå âûðàæåíèÿ, à yi (t) îïðåäåëÿþòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.30(281)(282)(283)65 ÷åì ñîñòîèò ìåòîä ÂÊÁ?Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäàµ2 y 00 + Q2 (x)y = 0 , a < x < b(284)ãäå Q2 (x) ∈ C (2) (a, b)Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ íîñèò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð.Ñäåëàåì çàìåíó:φφxφQxy = √ ⇒ yx = √ −QQ 2Q3/2(285)φxxφx QxφQxx3 φQ2xyxx = √ − 3/2 −+QQ2Q3/2 4 Q2/5Ïåðåéäåì ê íîâîé ïåðåìåííîé t:Zx1t=Q(ξ)dξµ(286)(287)aÑîîòâåòñòâåííî:φx = φtQQ2Q0; φxx = φtt 2 + φtµµµ 00 3 φ(Q0 )2φQ2−⇒ µ yxx = φtt −µ2 Q3/22Q34 Q4(288)(289)(290)⇒ φtt + φ − µ2 Pφ = 0ãäå â ïîñëåäíåìP=3 (Q0 )2Q00−2Q3 4 q 4(291)- íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå ïðè µ = 0: φ̄tt + φ̄ = 0 èìååò ðåøåíèå:(292)φ̄ = A sin t + B cos t¯ ( ãäå φ - ðåøåíèå, äëÿ êîòîðîãî φ(a) = φ̄(a)) ïîëó÷èì óðàâíåíèå:Äëÿ r(t) = φ(t) − φ(t)(293)rxx + r = µ2 Pr + µ2 P φ̄ðåøåíèå êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ:r(t) = µ2Zt(294)sin(t − τ )P(τ )r(τ )dτ + F(τ )0ãäåF(τ ) = µ2Zt(295)sin(t − τ )P(τ )φ̄(τ )dτ0Ðåøåíèå (294) çàâåäîìî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè µ2 tC < 1 ãäå C = sup |P|.

Ó÷èòûâàÿâûðàæåíèå äëÿ t, ïîñëåäíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:µ<1CQ0 (b − a)x∈[a,b](296)ãäå Q0 = sup Q(x).x∈[a,b]Ïðè ýòîì óñëîâèè!r0 ≡sup |r|x∈[a,b]31= O(µ)(297)Ñëåäîâàòåëüíî: x xZZ111y(x) = pA sin Q(ξ)dξ  + B cos Q(ξ)dξ  + O(µ)µµQ(x) aÄëÿ óðàâíåíèÿ µ266a= 0 ìîæíî àíàëîãè÷íî ïîëó÷èòü:RxRx11Q(ξ)dξ− µ Q(ξ)dξ1µy(x) = pAe a+ Be a+ O(µ)Q(x) y 00−(298)Q2 (x)y(299)Äëÿ ðåøåíèÿ êàêèõ çàäà÷ ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ Êðûëîâà-Áîãîëþáîâà? Îáúÿñíèòå íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ Âàí-äåð-Ïîëÿ.Ìåòîä Êðûëîâà-Áîãîëþáîâà îñíîâàí íà ïðèíöèïå óñðåäíåíèÿ, çàìåíÿþùèì òî÷íîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ óñðåäíåííûì.

Îí îñîáåííî óäîáåí äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ.Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Ïîëÿ îïèñûâàåò àâòîêîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû â ëàìïîâîì ãåíåðàòîðå(ÿ − ε(1 − y 2 )ẏ + y = 0 t > 0(300)y(0) = y0 , ẏ(0) = 0(301)ãäå ε - ìàëûé ïàðàìåòð. Åñëè èñêàòü ðåøåíèå â âèäåy(t) = ȳt) + εy1 (t) + ...(302)òî ïîëó÷àåòñÿ ÷òî y1 (t) ∼ t + q1 (sin(t)), òî åñòü íå îãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó â ýòîìñëó÷àå íåîáõîäèì ìåòîä Êðûëîâà-Áîãîëþáîâà.Ìåòîä Êðûëîâà-Áîãîëþáîâà. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåẋ(t) = εX(x, t)(303)- ãäå X(x, t) - äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïî x è t è îáëàäàåò ñâîéñòâîì "âîçâðàùàåìîñòè"ïî t, ò.å. ñóùåñòâóåò èíòåãðàë:ZT1X̄(x) ≡ limX(x, t)dt(304)T →∞ T0ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ÿâíî âõîäÿùåìó â X(x, t) âðåìåíè, à x ðàññìàòðèâàåòñÿ êàêïàðàìåòð.Äàëåå, x èùåòñÿ â âèäåx = ξ + εu1 (ξ, t) + ...

+ εm um (ξ, t)(305)ãäå ξ = ξ(t) - ðåøåíèå óñðåäíåííîãî óðàâíåíèÿ:ξ˙ = εA1 (ξ) + ... + εm Am (ξ)(306)ãäå ôóíêöèè ui (ξ, t) è Ai (ξ) âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûðàæåíèå äëÿ x óäîâëåòâîðÿëî èñõîäíîìó óðàâíåíèþ ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà εm+1Ïðàâóþ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåì â âèäåX(x, t) = X1 (x, t) + εX2 (x, t) + ...Òîãäà äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ:x1 = ξξ˙ = εA1 (ξ)x˙1 = εX1A1 (ξ) = X̄1 (ξ)∂u 1 = X1 (ξ, t) − X̂1 (ξ)∂t32(307)(308)(309)(310)(311)(312)67Îïèøèòå àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ïåðâîãî è óëó÷øåííîãî ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ìåòîäóóñðåäíåíèÿ.1.

Ïåðâîå ïðèáëèæåíèåÐåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäàd2 ydy+ ω 2 y + µf (y, ) = 0dt2dt(313)ãäå µ - ìàëûé ïàðàìåòð, òàê ÷òî ïîñëåäíèé ÷ëåí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàëîå íåëèíåéíîåâîçìóùåíèå, èùóò â âèäåy = r(t) cos φ(t)(314)Ïðåíåáðåãàÿ îøèáêîé ïîðÿäêà µ2 , íàõîäèì àìïëèòóäó r(t) è ïîëíóþ ôàçó φ(t) èç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:Z2π drµr(315)=f (r cos λ, −rω sin λ) sin λdλ = − a1 (r)2πω2 dt0Z2πpµdφ=ω+f (r cos λ, −rω sin λ) cos λdλ = a2 (r) dt2πrω(316)0Ïðè äàííîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè r(0) = r0 ðåøåíèå ýêâèâàëåíòíîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿd2 ydy+ a1 (r0 ) + a2 (r0 )y = 0(317)2dtdtàïïðîêñèìèðóåò ðåøåíèå äàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (313) ñ îøèáêîé ïîðÿäêàµ22.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)