Ответы на вопросы теормина (1133529)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Âîïðîñû ê ïèñüìåííîé ÷àñòè ýêçàìåíà ïî êóðñó¾Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ¿ (2-é ïîòîê, 2009 ã.)Koptsow Dmitriy22 èþíÿ 2009 ã.Ðåäàêöèÿ  6Î âñåõ çàìå÷åííûõ îïå÷àòêàõ è íåòî÷íîñòÿõ ïðîñüáà ñîîáùàòü ïî àäðåñó suslic2012@gmail.comèëè â ãîñòåâîé êíèãå íà ñàéòå phys-osc2009.narod.ruÄîêóìåíò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâîáîäíî, âíîñèòü èçìåíåíèÿ çàïðåùàåòñÿ! 1N.B.!Ïîðÿäîê ïðîâåäåíèÿ ýêçàìåíîâ.Ýêçàìåí ïî êóðñó ¾Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ¿ áóäåò ñîñòîÿòü èç òðåõ ýòàïîâ.1. Ñòóäåíòû ïèñüìåííî îòâå÷àþò íà 5 âîïðîñîâ èç ïðåäñòàâëåííîãî ñïèñêà. Íà îòâåòû äàåòñÿïîë÷àñà. Íå ñïðàâèâøèìñÿ ñ ýòèì çàäàíèåì ïðîñòàâëÿåòñÿ îöåíêà ¾íåóäîâëåòâîðèòåëüíî¿.2. Ïðîâåðêà è îáñóæäåíèå äâóõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.3. Îïðîñ ïî âñåé ïðîãðàììå êóðñà. Íà ýòîì ýòàïå, êðîìå îòâåòà ñòóäåíòà, áóäóò ó÷èòûâàòüñÿðåçóëüòàòû åãî ïðîõîæäåíèÿ êîëëîêâèóìîâ.1THERE IS NO WARRANTY FOR THIS DOCUMENT, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLELAW.

EXCEPT WHEN OTHERWISE STATED IN WRITING THE COPYRIGHT HOLDERS AND/OR OTHERPARTIES PROVIDE THE DOCUMENT AS IS WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EITHER EXPRESSEDOR IMPLIED, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITYAND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. YOU USE THIS DOCUMENT AT YOUR OWN RISK.1Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå - èññëåäîâàíèå îáúåêòà èëè ÿâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà èëè ÿâëåíèÿ è åå ïîñëåäóþùåãî èçó÷åíèÿ.Îïð1:1Îñíîâíûå ýòàïû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà.1. Ñîçäàíèå (ïîñòðîåíèå) êà÷åñòâåííîé ìîäåëèÏðèìåíèòåëüíî ê èññëåäîâàíèþ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé - ýòî ôîðìóëèðîâêà ôèçè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé ÿâëåíèÿ èëè ïðîöåññà íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòà.Îñíîâíàÿ çàäà÷à íà ýòîì ýòàïå: âûÿâëåíèå ãëàâíûõ è îñíîâíûõ ÷åðò ÿâëåíèÿ2.

Ñîçäàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (ïîñòàíîâêà ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è)Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷:(a)äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè:çàäàíû óñëîâèÿ (íà÷àëüíûå, ãðàíè÷íûå è.ò.ä.) , èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå ìîäåëè â ðàçëè÷íûõ ñèòóàöèÿõ.(b)ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè:ðîÿòíîñòåé.îïèñûâàþò ïðîöåññû, ïîä÷èíÿþùèåñÿ çàêîíàì òåîðèè âå-Çàäà÷è íà äàííîì ýòàïå(a) Âûäåëåíèå ñóùåñòâåííûõ ôàêòîðîâ.N.B. Ôàêòîðû, îêàçûâàþùèå âëèÿíèå îäíîãî ïîðÿäêà, äîëæíû áûòü ëèáî îäíîâðåìåííî ó÷òåíû, ëèáî îòáðîøåíû(b) Ïîñòàíîâêà äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé (íà÷àëüíûõ, ãðàíè÷íûõ, ñîïðÿæåíèÿ è.ò.ä.).3. Èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè(a) Ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ìîäåëè, èññëåäîâàíèå âíóòðåííåé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè,äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ.(b) Êà÷åñòâåííîå èññëåäîâàíèå ìîäåëè, èçó÷åíèå ïîâåäåíèÿ â êðàéíèõ è ïðåäåëüíûõ ñèòóàöèÿõ.(c) ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ìîäåëè:i.ii.iii.iv.v.ðàçðàáîòêà àëãîðèòìàðàçðàáîòêà ÷èñëåííûõ ìåòîäîâñîçäàíèå è ðåàëèçàöèÿ ïðîãðàììûîòëàäêàêîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò4.

Ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ è èõ èíòåðïðåòàöèÿ.Ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííûõ äàííûõ ñ ðåçóëüòàòàìè êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà, íàòóðíîãî ýêñïåðèìåíòà è äàííûìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ. Óòî÷íåíèåè ìîäèôèêàöèÿ ìîäåëè è ìåòîäîâ åå èññëåäîâàíèÿ.5. Èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.2Ïðÿìûå è îáðàòíûå çàäà÷è, âîçíèêàþùèå ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.1.Ïðÿìàÿ çàäà÷à:èçâåñòíû âñå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå ñèñòåìû.2.Îáðàòíàÿ çàäà÷à:Èçâåñòíû âíåøíèå ïàðàìåòðû (óñëîâèÿ è ðåçóëüòàò).

Òî åñòü èçâåñòíîïîâåäåíèå. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè ÿâëåíèÿ (îáúåêòà)Îáðàòíûå çàäà÷è:(a) Çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿÏðèìåð: ðàñïîçíàòü èçîáðàæåíèå - ðåçóëüòàò äèôðàêöèè2(b) Çàäà÷è ñèíòåçàÏðèìåð: ñîçäàòü âîëíîâîä ñ çàäàííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè(c) Çàäà÷è ïðîåêòèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì : îñîáàÿ îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ àâòîìàòèçèðîâàííûìè èíôîðìàöèîííûìè ñèñòåìàìè è àâòîìàòèçèðîâàííûìè ñèñòåìàìè óïðàâëåíèÿ.N.B.3Áîëüøèíñòâî îáðàòíûõ çàäà÷ - íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå.Ïðèâåäèòå ïðèìåðû, äåìîíñòðèðóþùèå óíèâåðñàëüíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è ïðèíöèï àíàëîãèé.Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äîëæíà îïèñûâàòü íå òîëüêî îòäåëüíûå êîíêðåòíûå ÿâëåíèÿ èëè îáúåêòû, à äîñòàòî÷íî øèðîêèé êðóã ðàçíîðîäíûõ ÿâëåíèé è îáúåêòîâ.Ïðèìåð: Îäíà è òà æå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (ìîäåëü êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû) îïèñûâàåòêîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû àáñîëþòíî ðàçëè÷íîé ïðèðîäû: êîëåáàíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîì êîíòóðå,ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, êîëåáàíèÿ ÷èñëåííîñòè õèùíèê-æåðòâà è.ò.ä.4×òî òàêîå èåðàðõèÿ ìîäåëåé.

Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Ïðèíöèï "îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó": ïîñòðîåíèå öåïî÷êè (èåðàðõèè) âñå áîëåå è áîëåå ïîëíûõìîäåëåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáîáùàåò ïðåäûäóùóþ, âêëþ÷àÿ åå â êà÷åñòâå ñîñòàâíîãî ñëó÷àÿ.Ïðèìåð: ìîäåëèðîâàíèå ìíîãîñòóïåí÷àòîé ðàêåòû.Ñíà÷àëà ìîäåëèðóåòñÿ îäíîñòóïåí÷àòàÿ ðàêåòà, çàòåì ìíîãîñòóïåí÷àòàÿ.5Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ãóðñà è åå ðåøåíèå äëÿ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ.Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à Ãóðñà:uxy = f (x, y) x > 0; y > 0u(0, y) = φ (y)(1)u(x, 0) = φ2 (x)φ (0) = φ (0) = u(0, 0)(3)(2)11(4)2Ïóñòü ðåøåíèå çàäà÷è (1)-(4) ñóùåñòâóåò.

Ïðîèíòåãðèðóåì (1) ïî ïðÿìîóãîëüíèêó D =0 < x < x 0 , 0 < y < y0 :Zy0 Zx0Zuxy dS =Duxy dxdy =00= u(x0 , y0 ) − u(x0 , 0) − u(0, y0 ) + u(0, 0) == u(x0 , y0 ) − φ2 (x0 ) − φ1 (y0 ) + u(0, 0)(5)Ñëåäîâàòåëüíî:Zu(x0 , y0 ) = φ2 (x0 ) + φ1 (y0 ) − φ1 (0) +f (x, y)dS(6)DÎáùàÿ çàäà÷à Ãóðñà:uxy + aux + buy + cu = f (x, y) x > 0; y > 0a ≡ a(x, y) ; b ≡ b(x, y) ; c ≡ c(x, y)u(0, y) = φ1 (y)u(x, 0) = φ2 (x)φ1 (0) = φ2 (0) = u(0, 0)ãäå φ1,2 è f - ãëàäêèå ôóíêöèè3(7)(8)(9)(10)6Ïîñòàíîâêà îáùåé çàäà÷è Êîøè äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.

Êàêèìè ñâîéñòâàìèäîëæíà îáëàäàòü êðèâàÿ Ñ, íà êîòîðîé ñòàâÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ..Îáùàÿ çàäà÷à Êîøè:+L[u] ≡ uxy + aux + buy + cu = f (x, y) (x, y) ∈ Da ≡ a(x, y) ; b ≡ b(x, y) ; c ≡ c(x, y)u(x, y) = φ(x, y) (x, y) ∈ C∂u(x, y)= ψ(x, y) (x, y) ∈ C∂n(11)(12)(13)ãäå1. áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ êðèâàÿ C íå ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (11)2. ëþáàÿ õàðàêòåðèñòèêà óðàâíåíèÿ (11) ïåðåñåêàåò êðèâóþ C íå áîëåå ÷åì â 1 òî÷êå3. D+ è D− - êðèâîëèíåéíûå ïîëóïëîñêîñòè, íà êîòîðûå êðèâàÿ C äåëèò ïëîñêîñòü (x, y)4.∂∂n- ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê êðèâîé C , íàïðàâëåííîé âíóòðü îáëàñòè D+Åñëè èçâåñòíà ôóíêöèÿ Ðèìàíà v(M ) (ðåøåíèå çàäà÷è (16) - (19)), òî ðåøåíèå çàäà÷è (11) (13) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:ZZ1φ(A)v(A) + φ(B)v(B)+ v(x, y)f (x, y)dxdy −Pdx + Qdy(14)u(M ) =22DABãäå M A, M B - îòðåçêè ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé õàðàêòåðèñòèê ñîîòâåòñòâåííî (A ∈ C, B ∈C) èP[u, v] = uvx − ux v − 2buvQ[u, v] = vuy − vy u + 2auvÐèñ.

1:7×òî ïðîèçîéäåò, åñëè õàðàêòåðèñòèêà óðàâíåíèÿ îáùåé çàäà÷è Êîøè ïåðåñå÷åò êðèâóþÑ, íà êîòîðîé çàäàíû äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå?Åñëè õàðàêòåðèñòèêà ïåðåñåêàåò êðèâóþ C â äâóõ òî÷êàõ è M1 (cì. ðèñ. 1), òî çíà÷åíèå u(M1 )íå ìîæåò áûòü çàäàíî ïðîèçâîëüíî, à îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (14)ZZu(A)v(A) + u(B1 )v(B1 )1+ v(x, y)f (x, y)dxdy −Pdx + Qdy(15)u(M1 ) =22D14AB18Îïðåäåëåíèå è ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè Ðèìàíà.Îïð:Ôóíêöèåé Ðèìàíà íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è Ãóðñà:Kv = 0P̂[v]AM = 0Q̂[v]BM = 0v(M ) = 1(16)(17)(18)(19)ãäå K - îïåðàòîð,ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó L èç (11), v = v(M 0 , M ), ïðè÷åì M - ïàðàìåòðKv ≡ vxy − (av)x − (bv)y + cvP̂[v] = vx − bvQ̂[v] = v − avy(20)(21)(22)à M A, M B - îòðåçêè ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé õàðàêòåðèñòèê ñîîòâåòñòâåííî (A ∈ C, B ∈C)Îïð: Äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðà L è K íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè, åñëè ðàçíîñòüvLu − uKvÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïî x è y îò íåêîòîðûõ âûðàæåíèé P è Q :1 ∂Q ∂P−vLu − uKv =2 ∂x∂y(23)(24)ïðè÷åì P íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé uy , à Q íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé uxÔèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè Ðèìàíà.Ôóíêöèÿ v(M 0 , M ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âëèÿíèÿ åäèíè÷íîãî èìïóëüñà, ïðèëîæåííîãî â òî÷êå M .9Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ôóíêöèè Ðèìàíà.Ôóíêöèÿ v ≡ 1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Ãóðñà (16) - (19) ïðè a = b = c ≡ 010Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ñòåôàíà.

Ïðèìåðû ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ çàäà÷åé Ñòåôàíà.Çàäà÷à Ñòåôàíà (çàäà÷à î ôàçîâîì ïåðåõîäå, çàäà÷à î ïðîìåðçàíèè):2∂u12 ∂ u1=a0<x<ξ1∂t∂x2∂u2∂ 2 u2= a22ξ<x<∞∂t∂x2u1 (0, t) = T1u2 (x, 0) = T2u1 (ξ, t) = u2 (ξ, t) = 0∂u1∂u2dξ− k2= λρ k1 ∂x∂x x=ξdtx=ξ(25)(26)(27)(28)(29)(30)Çàäà÷à Ñòåôàíà îïèñûâàåò ïðîöåññ ïðîìåðçàíèÿ (òàÿíèÿ) âîäû (ëüäà). (25)-(25) - óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ ôàç; (27) - (28) - íà÷àëüíûå òåìïåðàòóðû; (29) - ðàâåíñòâîíóëþ òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ôàç; (30) - óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà; λ - ñêðûòàÿòåïëîòà ïëàâëåíèÿ; k1 , a1 è k2 , a2 - êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòèòâåðäîé è, ñîîòâåòñòâåííî, æèäêîé ôàç.511 ÷åì ñîñòîèò ìåòîä ïîäîáèÿ? Ïðèìåðû çàäà÷, ïðè ðåøåíèè êîòîðûõ öåëåñîîáðàçíîèñïîëüçîâàòü ìåòîä ïîäîáèÿ.Ìåòîä ïîäîáèÿ (ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè):ut = a2 uxx(31)x0 = kx(32)Ïðè çàìåíå:02t =k x(33)âèä óðàâíåíèÿ (31) íå èçìåíèòñÿ.

ÑëåäîâàòåëüíîÏðè k =u(x, t) = u(kx, k 2 t)(34)xx 1u(x, t) = u( √ , ) = f ( √ ) ≡ f (z)2 t 42 t(35)1√2 txãäå z = 2√. Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à ñâåëàñü ê îäíîìåðíîé.tÌåòîä ïîäîáèÿ óäîáåí ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.12Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ïåðåíîñà âåùåñòâà â äâóõôàçíîé ñðåäå. Çàäà÷à ñîðáöèè.Ïóñòü åñòü òðóáà ñ ñîðáåíòîì (îñü x ñîâïàäàåò ñ îñüþ òðóáû), a(x, t) - êîëè÷åñòâî ãàçà, ïîãëîùåííîãî åäèíèöåé îáúåìà ñîðáåíòà, u(x, t) - êîíöåíòðàöèÿ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â ïîðàõ ñîðáåíòàâ ñëîå õ, ν - ñêîðîñòü ãàçà.Óðàâíåíèå áàëàíñà âåùåñòâà äëÿ ñëîÿ ñîðáåíòà îò x1 äî x2 â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè îòt1 äî t2 :{νu|x1 − νu|x2 } S∆t = {(a + u)|t2 − (a + u)|t1 } S∆x(36)Ïðè ∆x → 0 ∆t → 0 ïîëó÷àåì−ν∂u∂= (a + u)∂x∂t(37)Óðàâíåíèå êèíåòèêè ñîðáöèè:∂a= β(u − y)(38)∂tãäå β - êèíåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò.y - êîíöåíòðàöèÿ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â ðàâíîâåñèè ñ ñîðáèðîâàííûì êîëè÷åñòâîì ãàçà.Èçîòåðìà ñîðáöèè:a = f (y)(39)Çàäà÷à ñîðáöèè:∂u∂−ν= (a + u)∂x∂t ∂a = β(u − y)∂ta(x,0) = 0u(x, 0) = 0u(0, t) = u0ãäå u0 - êîíöåíòðàöèÿ ãàçà íà âõîäå.6(40)(41)(42)(43)(44)13Ïåðåõîä ê ëîêàëüíîìó âðåìåíè â óðàâíåíèÿõ ïåðåíîñà.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)