Ответы на вопросы теормина (1133529), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðèìåð ïîäîáíîé çàìåíû ïåðåìåííîé â çàäà÷å ñîðáöèè. ñèñòåìå (40) - (44) ñäåëàåì çàìåíó:τ = t − xνξ=x(45)(46)Óðàâíåíèå (45) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåõîä ê ëîêàëüíîìó âðåìåíè. Òî åñòü â òî÷êå x âðåìÿîòñ÷èòûâàåòñÿ îò ìîìåíòà ïðèõîäà â ýòó òî÷êó ãàçîâîçäóøíîé ñìåñè.14×òî òàêîå èçîòåðìà ñîðáöèè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Èçîòåðìà ñîðáöèè - çàâèñèìîñòü êîëè÷åñòâà ãàçà, ïîãëîùåííîãî åäèíèöåé îáúåìà ñîðáåíòà, îòêîíöåíòðàöèè ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â ðàâíîâåñèè ñ ñîðáèðîâàííûì êîëè÷åñòâîì ãàçà.(47)a = f (y)Ïðèìåðû èçîòåðì ñîðáöèè:1.
èçîòåðìà Ëåíãìþðàf (y) =yu0γ(u0 + py)(48)1yγ(49)2. èçîòåðìà Ãåíðèf (y) =ãäå151γ- êîýôôèöèåíò Ãåíðè. Ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà â îáëàñòè ìàëûõ êîíöåíòðàöèé.Êà÷åñòâåííîå ðàçëè÷èå ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîðáöèè â ëèíåéíîì è íåëèíåéíîì ñëó÷àå. ëèíåéíîì ñëó÷àå ôðîíò âîëíû ðàñïëûâàåòñÿ íåëèíåéíîì ñëó÷àå ôðîíò áóäåò íàîáîðîò çàîñòðÿòüñÿ, íî óäàðíîé âîëíû íå âîçíèêíåò, òàêêàê ðåøåíèå ïî âèäó ïðèáëèæàåòñÿ ê áåãóùåé âîëíå.16Ïîâåäåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ïðè ðàçëè÷íûõ çíàêàõêîýôôèöèåíòà Ñ.Óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà:∆u + cu = f(50)ãäå f 6= 0 â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D, c = const1.
c < 0 ⇒ κ2 ≡ −cu1,2 (M ) = −14πZDf (P )e±κRM PdVPRM P(51)Óñëîâèå: u(M ) ⇒ 0 ïðè R → ∞ ⇒ âûáèðàåòñÿ ðåøåíèå ñ "ìèíóñîì". Ïðè äàííîì óñëîâèèðåøåíèå åäèíñòâåííî. (Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà).2. c > 0 ⇒ k 2 ≡ cu1,2 (M ) = −14πZDf (P )e±ikRM PdVPRM P(52)Îáà ðåøåíèÿ ñõîäÿòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Ôèçè÷åñêè < + > ñîîòâåòñòâóåò ñõîäÿùåéñÿ âîëíå,< − > - ðàñõîäÿùåéñÿ.717Ñôîðìóëèðóéòå äëÿ íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî êîýôôèöèåíòà Ñ.Óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà ∆u − κ2 u = f â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå íå ìîæåò èìåòü áîëååîäíîãî ðåøåíèÿ, ðàâíîìåðíî ñòðåìÿùåãîñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.18Íàïèøèòå óñëîâèå èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà â òðåõìåðíîì è äâóìåðíîì ñëó÷àÿõ.
Äëÿ÷åãî ñòàâÿòñÿ óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ?Óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà (ïðè âðåìåííîé çàâèñèìîñòè eiωt ):1. 3D2. 2D 1r→∞u = O r ∂u1r→∞+ iku = o∂rr1r→∞u = O √r√ ∂ulim r+ iku = 0 r→∞∂r(53)(54)(55)(56)Óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà (ïðè âðåìåííîé çàâèñèìîñòè e−iωt ):1.
3D2. 2D 1r→∞u = O r ∂u1−iku=or→∞∂rr1u = O √r→∞r√ ∂ulim r− iku = 0 r→∞∂r(57)(58)(59)(60)Äëÿ óäîáñòâà çàïîìèíàíèÿ, ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî çíàê â óñëîâèÿõ Çîììåðôåëüäà ñîâïàäàåòñî çíàêîì â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â ñîîòâåòñòâóþùåé âðåìåííîé çàâèñèìîñòè.Óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà íåîáõîäèìû äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ∆u + k 2 u = f â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè19Ñôîðìóëèðóéòå ïðèíöèï ïðåäåëüíîãî ïîãëîùåíèÿ.Ôóíêöèÿ u(M ) - ðåøåíèå∆u + k 2 u = −fñîîòâåòñòâóþùåå ðàñõîäÿùèìñÿ âîëíàì äîëæíà áûòü ïðåäåëîì îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ∆u + q 2 u = −fñ êîìïëåêñíûì êîýôôèöèåíòîì q (q 2 = k 2 + iωβ ) ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïîãëîùåíèÿ β ,ïðè÷åì çíàê Im{q} äîëæåí áûòü ñîãëàñîâàí ñ âûáðàííîé âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ20Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïîñòàíîâêè ïàðöèàëüíûõ óñëîâèé èçëó÷åíèÿ.8Ðàññìîòðèì ïëîñêèé âîëíîâîä ñ ëîêàëüíîé íåðåãóëÿðíîñòüþ.
Ïðè x 6 0 è x > a âîëíîâîä ðåãóëÿðíûé, òî åñòüåãî çàïîëíåíèå îäíîðîäíî è ãåîìåòðèÿ ñå÷åíèÿ ïîñòîÿííà.Ïîëå â âîëíîâîäå ïîä÷èíÿåòñÿ îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà:Ðèñ. 2:∆u + k 2 u = 0ãäå (x, y) ∈ V = R1 × (0, b), k 2 (x, y) ∈ C:2k1 = const , x < 0k 2 (x, y) = k 2 (x, y) , 0 < x < a 2k2 = const , x > a(61)(62)Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðîäèíàìèêå â ñëó÷àå èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ ñòåíîêu(x, 0) = u(x, b) = 0 x ∈ R(63)Íîðìàëüíûìè âîëíàìè (ìîäàìè) íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäàu(x, y) = eiγx ψ(y)(64)(ψ 00 (y) + λψ(y) = 0 0 < y < b(65)Äëÿ ψ(y) ïîëó÷àåì çàäà÷óψ(0) = ψ(b) = 0(66)ãäå λ = k 2 − γ 2 .Ðåøåíèå, êàê èçâåñòíî, ñëåäóþùåå:rψn (y) = πn 22πnysin, λn =bbbÑóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî íîðìàëüíûõ âîëí (ìîä) âèäàpun (x, y) = eiγn x ψn (y) , γn = k 2 − λn(67)(68)Ïóñòü íà íåîäíîðîäíîñòü ñëåâà ïàäàåò íîðìàëüíàÿ âîëíà èíäåêñà n0 ñ àìïëèòóäîé An0 / Âñå÷åíèè x = 0 ïàðöèàëüíûå óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ ïðè âðåìåííîé çàâèñèìîñòè èìåþò âèä:Zb 0∂u1− iγn uψn (y)dy = An0 δn,n0∂xx=0(69)n = 1, 2, ....Àíàëîãè÷íî ñòàâÿòñÿ óñëîâèÿ â ñå÷åíèè x = aZb 0∂u2+ iγn uψn (y)dy = 0∂xx=a(70)- îçíà÷àåò îòñóòñòâèå âîëí, ïðèõîäÿùèõ èç +∞.
Ïðåäñòàâèì u(x, y) â ñëåäóþùåì âèäåu(x, y) =∞Xn=19Zn (x)ψn (y)(71)ãäåZbZn (x) =(72)u(x, y)ψn (y)dy0n = 1, 2, ...Èç (69) - (72) ñëåäóåò , ÷òî ïàðöèàëüíûåíàêëàäûâàþòñÿ íà êîýôôèöèåíòû Ôóðüå Zn (x)óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ- ýòî óñëîâèÿ, êîòîðûåZn0 (0) + iγn1 Zn (0) = An0 δn,n021(73)Êàê ñòàâèòñÿ çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè äèôðàêöèè? íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ ðÿä îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé Ti ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè pi è ρi ; ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà T0 , âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòÿì Ti , òàêæå îäíîðîäíà(p0 = const, ρ0 = const).
Âîëíîâîå óðàâíåíèå âíóòðè êàæäîé îáëàñòè Ti ïðèíèìàåò îáû÷íûé âèä:∆vi + ki2 vi = −fiãäåki2 =(74)ρi ω 2f¯fi =i = 0, 1, 2, ...pipiÊ ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî äîáàâèòü óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ íà Σi - ãðàíèöàõ Ti :vi = 0∂v0∂vi= p0pi∂n∂níà Σi .Òàêæå íåîáõîäèìî äîáàâèòü óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ: 1r→∞u = O r ∂u1+ iku = or→∞∂rr(75)(76)(77)(78)äëÿ âðåìåííîé çàâèñèìîñòè eiωt .
(èëè àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ e−iωt ) (ñì. (53))22Ðàññìîòðèì çàäà÷ó òåïëîïðîâîäíîñòè â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè. Åñëè êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, òîìîæíî ðàññìàòðèâàòü ôèíèòíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è. Åñëè æå óðàâíåíèå ëèíåéíî, òî ôèíèòíûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàòü íåëüçÿ. Ïî÷åìó? Ïðèâåäèòå ïðèìåð çàäà÷è, â êîòîðîéðåøåíèå áóäåò ôèíèòíûì. ñëó÷àå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, ôèíèòíûå ðåøåíèÿ ïðîòèâîðå÷àò çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà òåïëà Ëèíåéíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè:∂2u∂u= a2 2∂t∂x(79)Ïóñòü ðåøåíèå ôèíèòíî, òî åñòü äîïóñòèì u(x, t) = 0 ïðè |x| > x0 . Òîãäà ïðè x < x0 q ≡ aux > 0,à ïðè x > x0 q = 0 - ïðîòèâîðå÷èå (íàðóøàåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà òåïëà q )Ðàññìîòðèì íåëèíåéíóþ çàäà÷ó (âûðîæäåííîå êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè):cρ ∂u = ∂ k(u) ∂u(80)∂t∂x∂xk(u) = k uα(81)010Ñóùåñòâóåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è âèäà áåãóùåé âîëíû (u(x, t) = u(x − σt)):(x 1/αu0 t1/α 1 − σt0 6 x 6 σtu(x, t) =(82)0 x > σtãäåu0 =ασ 2 cρk01/α(83)Òåïëîâîé ïîòîê ïðè äàííîì ðåøåíèè ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.23×òî òàêîå àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå? ×òî òàêîå ðåæèìû ñ îáîñòðåíèåì? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû, ïðèâîäÿùèå ê òàêèì ðåøåíèÿì.Àâòîìîäåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ - ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ñïåöèàëüíîãî âèäà, êîòîðûå ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,àðãóìåíò èñêîìûõ ôóíêöèé êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé êîìáèíàöèåé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõx è t.Ðåæèì ñ îáîñòðåíèåì - òàêîé çàêîí èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåòåå íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñòàíèå â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè.Ïðèìåðû:1.
 ïðåäûäóùåì ïóíêòå áûëî ïðèâåäåíî àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (80) - (81).2. Óðàâíåíèå ãîðåíèÿ(84)ut = (uux )x + uβíàïðèìåð ïðè β = 3 èìååò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå (√3πx|x| <cos12LsuA (x, t) = p(T0 − t) 0 |x| > L2sLs2(85)êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñ îáîñòðåíèåì, òàê êàê íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè t → T024Ïðèâåäèòå ïðèìåð çàäà÷è ñ óðàâíåíèåì Áóññèíåñêà (îïèñûâàþùèì óðîâåíü ãðóíòîâûõâîä íàä ãèäðîóïîðîì ), ðåøåíèå êîòîðîé èìååò àâòîìîäåëüíûé âèä.Ïóñòü u(x, t) - óðîâåíü ãðóíòîâûõ âîä. Ïóñòü òàêæåu(0, t) = kt(86)Ïîòîê âîäû ÷åðåç ãðóíò:q ≡ −DuÐèñ. 3:∂P∂x(87)ãäå ∂P∂x - ãðàäèåíò äàâëåíèÿ, D - êîýôôèöèåíò ïðîâîäèìîñòè, P = ρg(u − z) , z = const äàâëåíèå.Ñëåäîâàòåëüíîq = −Duρgux(88)Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè:ut ∆x = q|x − q|x+∆x(89)ut − Dρr (uux )x = 0(90)Ñëåäîâàòåëüíî11Èëè, ïåðåõîäÿ ê íîâîìó âðåìåíè τ = Dρgt, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:uτ = (uux )xu|τ =0 = 0kτu|x=0 =Dρg(91)(92)(93)Àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èùåòñÿ â âèäå u = f (x − vτ ).25Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðîöåññîâ, ïðèâîäÿùèõ ê ìîäåëè Âîëüåððà õèùíèê-æåðòâà.
Êàêèññëåäóåòñÿ ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè.Ìîäåëü Âîëüòåððà-Ëîòêè.Ïóñòü åñòü äâà áèîëîãè÷åñêèõ âèäà, êîòîðûå ñîâìåñòíî îáèòàþò â èçîëèðîâàííîé ñðåäå. Ñðåäàñòàöèîíàðíà è îáåñïå÷èâàåò â íåîãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå âñåì íåîáõîäèìûì äëÿ æèçíè îäèí èçâèäîâ, êîòîðûé áóäåì íàçûâàòü æåðòâîé. Äðóãîé âèä - õèùíèê òàêæå íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíûõ óñëîâèÿõ, íî ïèòàåòñÿ ëèøü îñîáÿìè ïåðâîãî âèäà.
Ïóñòü ýòî áóäóò êàðàñè è ùóêè.Êàðàñè è ùóêè æèâóò â íåêîòîðîì èçîëèðîâàííîì ïðóäó. Ñðåäà ïðåäîñòàâëÿåò êàðàñÿì ïèòàíèå â íåîãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå, à ùóêè ïèòàþòñÿ ëèøü êàðàñÿìè. Îáîçíà÷èìx - ÷èñëî êàðàñåéy - ÷èñëî ùóê.Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî x è y äîñòàòî÷íî âåëèêè, ÷òîáû èõ ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûìèôóíêöèÿìè.Áóäåì íàçûâàòü ïàðó ÷èñåë (x, y) ñîñòîÿíèåì ìîäåëè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
