Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Боголюбов Н.А.ОММ( МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ)ОГЛАВЛЕНИЕ:Глава 1. Гельмгольц в неограниченной области ................................ 1- 41Глава 2. Задачи с данными на характеристиках................................. 42-68Глава 3. Линейный и нелинейный случаи задачи сорбции...............69-97Глава 4. Нелинейные задачи................................................................. 98-112Глава 5.

Введение в разностные схемы...............................................113-134Глава 6. Метод прогонки.Экономичные и консервативные схемы-135-170Глава 7. Иттерационные методы.Схема бегущего счета.................171-191Глава 8. Вариационные методы. Метод Ритца................................. 192-208Глава 9. Асимптотические методы.

Метод малого параметра........ 209-221Глава 10. Метод усреднения Крылова-Боголюбова..........................222-2361ГЛАВА 1Гельмгольцв неограниченной областиРассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца следующего вида:Δu + cu = f .Постановка задач в неограниченной области , в которую входит данноеуравнение и его свойства решения зависят от знака коэффициента c .1) Рассмотрим случай, когда коэффициент c отрицательный:типичной физической задачей, приводящей к уравнению Гельмгольца сотрицательным значением коэффициента является решение уравнениядиффузии вещества после распада неустойчивого радиоактивного газа приналичии стационарных источников:∂u= a 2 Δu − ku + F(M ) .∂tC течением времени система выходит на стационарный режим , прикотором :∂u=0 .∂tЕму соответствует неволновое уравнение Гельмгольца :Δu − ϑ 2u = f,ϑ2 =kF,.f=22aa2Cформулируем принцип максимума: в замкнутой области решение неможет достигать положительного максимума или отрицательного минимумаво внутренней точке.На базе принципа максимума можно показать, что решение задачи,равномерное по углу, единственно:Δu − ϑ 2u = f,{u → 0, r → ∞ .Доказательство:Пусть u1 и u2 - два различных решения поставленной задачи.И пусть w = u1 − u2 удовлетворяет условиям:Δw − ε 2w = 0, w ⇒ 0, r → ∞ .Пусть w ≠ 0 в некоторой точке M0 .

Тогда рассмотрим сферу CRбольшого радиуса R , с центром в начале координат , включающую M0внутри себя.Из принципа максимума и условий на бесконечности следует:w(M0) ≤ max w(M ) → 0, R → ∞ ⇒M∈CR⇒ w(M0) = 0 . M0 - произвольная точка ⇒ w ≡ 0 решение задачиединственно!2) рассмотрим случай, когда коэффициент c положительный:c = k 2,Δu + k 2u = f .3Полученное волновое уравнение возникает при решении уравненияколебаний:∂2 v2iwt)e=aΔv+F(M.∂t 2Будем искать решение в следующем виде:v = u(M )e iwt .Подставляем вид нашего решения в наше уравнение и сокращаем на e iwt:Δu + k 2u = f ( для функции u(M ) ) .Для полученного уравнения принцип максимуманеприменим!Пусть функция f - финитная ( то есть : отличная от нуля в некоторойконечной области D ).С помощью объемных потенциалов строим два вида решения , которыебудут стремиться к нулю при R → ∞.Запишем фундаментальные решения нашего однородного уравненияколебаний:e ±ikRMPu(M, P) =.RMPСледовательно, решение:1 e ±ikRMPu1,2(M ) =f (p)dVp .4π ∫ RMPDПри любом выборе знака в показателе экспоненты нашерешение убывает, когда точка удаляется от области D ⇒условие u → 0 при r → ∞ недостаточно для выделенияединственного решения.4Тогда рассмотрим уравнение колебаний в следующем виде:∂2 w2=aΔw .2∂tБудем искать решение в следующем виде:v(r, t)w(r, t) =rПодставляем вид решения в наше уравнение:2∂2 v2 ∂ v.=a∂t 2∂r 2Получим решение через произвольные функции (r ± at) :w1(r, t) =f1(r + at)→ возмущение, уходящее от источника наrбесконечность.w2(r, t) =f2(r − at)→ сходящаяся волна.rТолько w1(r, t) имеет физический смысл!От второй волны нужно избавиться.Будем считать временную зависимость гармонической :−ikrew1(r, t) = u1(M )e iwt =e iwt .rw2(r, t) = u2(M )eiwte ikr iwt=e .rТогда мы получаем два решения:e −ikre ikr,.rrВыделим единственное решение, имеющее физический смысл и темсамым представляет для нас интерес:5u1 → w1 и для достижения нужного нам результата введем условия,которые мы будем называть условиями излучения Зоммерфельда :∂u11.+ iku1 = o(r)∂rПодставляем условие в наше выражение:∂e −ikr e −ikre −ikre −ikr1.u1(r) + iku1 = ik− 2+ ik=− 2 =o()∂rrr ]rrr[∂e ikr e ikre ikr1- не удовлетворяетu2(r) + iku2 = ik− 2 + ik=o()∂rr ]rr[ rвведенному условию! Отбрасываем!!!Получаем следующую задачу:Δu + k 2u = f .∂u∂r+ iku = o( 1r )1u=O−( r )условия излучения Зоммерфельда .Докажем единственность решения:Рассмотрим фундаментальное решение уравнения Δu + k 2u = f :e −ikRMPu(M, P) =.RMPФиксируем точку M , а точку P будем удалять от 0 .

При этом P будетпостоянна, а r и R = RMP будут увеличиваться.6PRMPrϕ0PR=Mpp1+− 2 cosφ;(r)r2r 2 + p 2 − 2rpcosφ = rx1 + x = 1 + + o(x),21.r → ∞: R = r 1 + O()r−()∂R=∂rr − pcosφr2+p 22rpcosφ1 − ( r )cosφp=1 + ( r ) − 2( r )cosφp2p1=1+O.−( r )Теперь проверим - выполняются ли условия излучения Зоммерфельда дляфундаментального решения:∂ e −ikre −ikr∂ e −ikR ∂Re −ikRe −ikR e −ikR+ ik=+ ik= −ik− 2*∂r ( R )R∂r ( R ) ∂rRRR )(1e −ikR1.* 1+O+ ik=o()()Rrr−7Теперь докажем единственность решения поставленной задачи:Пусть u1(M ) и u2(M ) - два различных решения.Тогда z = u1 − u2 удовлетворяет условиям:Δz + k 2 z = 0 .∂z∂r+ ikz = o( 1r )условия излучения Зоммерфельда .1z=O−( r )PΣrФиксируем произвольную точку M и возьмемсферу радиуса r так, чтобы M лежала внутрисферы.r.M0Запишем третью формулу Грина:e −ikRMP ∂z∂ e −ikRMP(P) −4πz(M ) =z dδp .∫ RMP ∂n∂n ( RMP )ΣrТак как:∂z∂n=P∈Σr∂z∂r,P∈ΣrТо :e −ikRMP1e −ikRMP14πz(M ) =−ikz + o− ik+oz dδp =( r )) (()∫ RMP (RMPr )Σr8e −ikRMP111=o−oz dδp = o 2 dδp .(r) )∫ ( RMP ( r )∫ (r )ΣrΣrПлощадь сферы Σr c ростом r растет , как r 2 ⇒⇒ 4πz(M ) =1dδ → 0, r → ∞ ⇒ z(M ) = 0,∫ ( r2 ) poΣrтак как точка M выбирается произвольно ⇒ z ≡ 0 → единственностьрешения!Принцип предельного поглощения:Условия излучения Зомерфельда можно использовать, если источникизлучения находится в локализованной области.Если источники или препятствия, от которых происходит отражение,уходят на бесконечность , то требуются другие способы выделенияединственного решения.В качестве примера расмотрим принцип предельного поглащения .Рассмотрим задачу в неограниченной области:∂2 v∂v2iwt)e.+γ=aΔv−F(M2∂t∂tБудем искать решение в следующем виде:v = u(M )e iwt .Подставляем в наше уравнение:w2γwFΔu +−i 2 u = 2 .a )a( a2Замена:w2γwFk = 2 , β= 2 , f= 2 .aaa29Тогда мы получаем уравнение Гельмгольца следующего вида:Δu + (k 2 − iβ)u = f .Потребуем единственность решения : u → 0, r → ∞ равномерноотносительно угла.Теперь сформулируем принцип предельного поглощения:Пусть нужно решить Δu + k 2u = f, где k - вещественный коэффициент.Предположим, что u решение следующей задачи:Δu + (k 2 − iβ)u = fu→0r→∞тогда в качестве решения мы будем использовать:u = limβ→0u .Если f - финитная функция - принцип предельногопоглощения выделяет тоже решение, что и условия излученияЗомерфельда.Доказательство:Пусть q = q1 + iq2 - комплексное число .q 2 = k 2 − iβ.Подставляем в исходную задачу и получаем в ней уравнение:Δu + q 2u = f ,где : q 2 = (q1) − (q2) + 2iq1q2 = k 2 − iβ ⇒2210k 2 = (q1), сводим алгебраическую систему к биквадратному уравнению и⇒{β = − 2q1q22учитываем, что q1 и q2 - вещественные числа:q1 = ±q2 = ∓k4 + β2k2 +2,k4 + β2 − k 22решение ищем с помощью объемных потенциалов:∓q2 R ±iq1Ri q + iq R11e± ( 1 R 2)u1,2 =efdv =efdv .∫∫4π4πRVVТак как в обоих уравнениях знак ± , фиксируем его с учетомq1 < 0, q2 > 0 .При условии u → 0 выбираем e ±q2 R с плюсом и получаем:iq R1q R1− 2Ru=eefdv .∫4πRVПереходим к пределу при β → 0:limβ→0 q1 = − k, limβ→0 q2 = 0 .Таким образом, согласно принципу предельного поглощения решениеуравнения Δu + k 2u = f мы выбираем:iq R1q R1− 2Ru = limβ→0u =eefdv .4π ∫RV11Такой вид решения удовлетворяет условиям излучения Зомерфельда:∂u∂r+ iku = o( 1r )u=o−( 1r ).Парциальные условия излучения в волноводе со вставкой ( локальнойнерегулярностью) .Введем понятие волновода:волновод – это специальное устройство или канал в неоднородной среде,в котором могут распространяться волны различной природы: акустические(в акустических волноводах), электромагнитные (в радиоволноводах,световодах), сейсмические и другие.Акустические волноводы, как правило, представляют собой трубы созвукоотражающими стенками.

Радиоволноводы – это трубы, полые иличастично заполненные диэлектриком. Диэлектрические волноводыпредставляют собой диэлектрические стержни. Их разновидностьюявлются волоконные световоды – преимущественно стеклянные нити, покоторым при определенных условиях могут распространяться световыеволны.Пусть в волноводе имеется вставка , в которой диэлектрическаянепроницаемость и проводимость отличны от остальной части волновода.12Электромагнитные колебания описываются уравнениями Максвелла:rotH =rotE =4π1 ∂D+j (1)c ∂tc− 1c ∂H (2)∂tdivH = 0 (3)divD = 4πρ = 0 (4)j = δE (5)D = εE (6)Продифференцируем по времени уравнение (1) и сложим его суравнением (2) на которое мы подействуем rot :ε ∂ 2 E 4π ∂E+δ= − crotrotE = − c(graddivE − ΔE) .2c ∂tc ∂tПоложим вектор E поляризованным , приходим к волновому уравнению сзатуханием:ε ∂ 2 E 4πδ ∂E+ 2= ΔE .c 2 ∂t 2c ∂tБудем искать его решение в следующем виде:E = u(M )e −iwt ,и приходим к задаче для u:Δu + k 2u = 0,{u Σ = 0 .24π wδwεk 2 = k 2 + ik 2 , k 2 = 2 > 0, k 2 =>0.2cc13Рассмотрим двухмерный по пространственной координате случай:∂2 u ∂2 uΔu =+ 2 .2∂x∂yСтавим парциальные условия излучения:E = ψ (y)e iγxe −iwt → регулярная волна ⇒ u(M ) = ψ (y)e iγxyk0k0k1, εxa0движение волныслева направо: Reγ > 0cправа налево: Reγ < 0область вставки0 < x < a, 0 < y < b .Подставим амплитуду волны:u(M ) = ψ (y)e iγx в полученную нами задачу и получим:∂2ψ∂ y2+ (k 2 − γ 2)ψ = 0,ψ (0) = ψ (b) = 0 .Если читатель хорошо помнит предыдущее мое методическое пособие ипрошлый семестр, то он без труда узнает в полученной задаче - задачуШтурма - Лиувилля для нахождения ψ (y) .Находим собственные значения и собственные функции:γn =πnk2 −, ψn =( b )22πnsiny , n ∈ N .(bb )14Пусть слева на вставку падает заданная нормальная волна, и еепространственная часть :u0 = Ae iγn0 x ψn0(y) .Получаем задачу :Δu + k 2u = 0,u y=0 = u y=b = 0 .b∂u+ iγnu)∫ ( ∂xψn(y)dy = 2iAγn0δnn0,0bx=00x=a∂u− iγnu)∫ ( ∂xпарциальные условия излучения.ψn(y)dy = 0 .n ∈ N, δnn0 − cимвол Кронекера.На данном этапе имеет смысл перечислить основные причины, из закоторых мы ставим парциальные условия :1) их полезно ставить , когда мы решаем задачу в неограниченнойобласти, чтобы ограничить решение в точках x = 0 и x = a .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги