Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Точка обозначает производную по времени!(ξ)Попробуем решать поставленную задачу по аналогии методу малогопараметра, рассмотренного в предыдущей главе.224Согласно общей схеме асимптотических методов, общее решение будетиметь следующий вид:y(t) = y(t) + εy1(t) + . . . .Если малый параметр ε = 0 , то решением уже вырожденной задачиявляются гармонические колебания:y(t) = y0cost .Подставляя искомые виды решений в уравнения Ван дер Поля , мыполучаем задачу для y1(t) резонансный случай :ÿ1 + y1 = − y0(1 − 14 y02)sint + 14 y03sin3t, t > 0,y1(0) = 0, ẏ1(0) = 0 .
Так как частота первого слагаемого вынуждающей силы совпадает схарактеристическим числом уравнения, то имеет место резонансный случай!В этом случае y1(t) содержит слагаемое , неограниченновозрастающее по времени и решением поставленной задачи будет являтьсяследующая функция:y0y02y03y011 2y1(t) =1−tcost − sin3t −1−y sint .2(4)322(16 0 )Очевидно, что второе слагаемое в разложении за время t ∼ _O1(ε)становится уже немалым по сравнению с первым слагаемом и регулярныйметод малого параметра неприменим .Данный случай является стандартным для уравнений, которыеописывают процесс колебаний со слабой нелинейностью при большоминтервале времени.Следовательно, нам нужно использовать какой либо другой метод,чтобы преодолеть возникшую проблему.225Итак, для решения поставленной задачи будем использовать методусреднения или метод Крылова - Боголюбова.В физике его принято называть метод медленно меняющихся амплитуд .Данный метод, как видно из его названия, основан на принципеусреднения , заменяющим точное решение дифференциального уравнения наусредненное.Рассмотрим принятый формализм данного метода.Запишем стандартную систему:ẋ(t) = εX(x, t), x ∈ R n,ε - малый параметр.Пусть X - достаточно гладкая функция по x и t , обладающаясвойством «возвращаемости» по времени, иначе говоря, существуетследующее среднее значение:TlimT→∞1X(x, t)dt = X(x)∫T.0Здесь, X - периодическая, или почти периодическая, функция t .К примеру возьмем ту ситуацию, когда X - периодическая с периодом2π по времени функция :2πX(x) =1X(x, t)dt .∫2π0Согласно методу усреднения, m - е приближение к решению x(t)системы будет иметь следующий вид:x = ξ + εu1(ξ, t) + .
. . + ξ mum(ξ, t),ξ = ξ(t) является решением уже усредненного уравнения:ξ̇ = εA1(ξ) + ε 2 A2(ξ) + . . . + ε m Am(ξ) .226Здесь функция ui(ξ, t) и Ai(ξ) подбираются из такого условия, чтобынаше решение удовлетворяло стандартной системе с точностью до членовпорядка ε m+1 и чтобы ui(ξ, t) обладали по времени той же«возвращаемостью» , что и X(x, t) .Функции ui находятся тривиально , а функции Ai определяются витоге усреднения правой части стандартной системы после подстановки внее общего вида решения .Причем, при вычислении интегралов, x рассматривается , как параметри процесс усреднения проводится по явно входящему t .Итак, разложим правую часть стандартной системы по маломупараметру ξ :X(x, t) = X1(x, t) + εX2(x, t) + .
. .Начнем с первого приближения:x1 = ξ , ξ̇ = εA1(ξ) .Подставим общий вид решения в стандартную систему и учтем членыпервого порядка:ẋ1 = ξ̇ + εdu1du1∂u∂u ∂ξ∂u∂u= εX1 ,= 1+ 1⋅= 1 + εA1 1 .dtdt∂t∂ξ ∂t∂t∂ξУчтем члены первого порядка:∂u1A1(ξ) += X1(ξ, t) .∂tТеперь положим:A1(ξ) +и тогда:∂u1= X1(ξ, t) ,∂t∂u1= X1(ξ, t) − X1(ξ) .∂t227Перейдем ко второму приближению:x2 = ξ + εu1(ξ, t) , ξ̇ = εA1(ξ) + ε 2 A2(ξ) .Проведем аналогичную первому приближению процедуру подстановкивида решения в стандартную систему с учетом членов второго порядка:∂u2+ A2(ξ) = F(ξ, t) ,∂t∂u1(ξ, t)∂X1.F(ξ, t) = X2(ξ, t) +(ξ, t)u1(ξ, t) − A1(ξ)∂ξ∂ξПерейдем к усреднению:A2(ξ) = F(ξ) .И тогда:∂u2= F(ξ, t) − F(ξ) .∂tРассматриваемый процесс можно продолжить, но как правило,ограничиваются первым и вторым приближениями.В рассмотренном методе доказывается , что если функция X(x, t)обладает достаточной гладкостью и «возвращаемостью» ( например,периодичностью по времени при фиксированном x ) , то тогда1m.Ox − xm = _O (ε ) на участке 0 ≤ t ≤ ___(ε)Теперь применим к задаче , описывающей процесс колебаний ,полученный результат и получим следующую задачу:ẏ = u, y(0) = y0,{u̇ = ε(1 − y 2)u − y, u(0) = 0 .228Решение поставленной задачи будем искать в следующем виде:y = acos(t + θ), u = − asin(t + θ) , a и θ - функции t .Подставим вид решения в поставленную задачу и получим:ȧ = εa1{2(−θ̇ = ε 12 (1 −{a24 )− a2 cos2(t + θ) +a2sin2(t2 )+ θ) −a3cos4(t8a2sin4(t8+ θ) ,}+ θ) ,}a(0) = y0, θ(0) = 0 .Полученная система будет совпадать со стандартной системой, если мыположим:x = (a, θ)T , X(x, t) = X1(x, t) , ξ = (a, θ ) .TИтак, первое приближение:ξ̇ = εA1(ξ), A1(ξ) = X1(ξ) .aa2X1(ξ) =1−,02(4)Taa2⇒ (ȧ, θ̇) = ε1−,02(4)TTТогда уже усредненная система будет иметь следующий вид:ȧ = εX(a ) = εa12(−θ̇ = 0, θ(0) = 0 .
229a2, a(0)4 )= y0, .Пустьx1 = ξ и получим :a=2y0y02 + (4 − y02)e −εt, θ = 0 .При t → ∞ решение выходит на стационарный режим :y(t) = 2cost .Физический смысл: на фазовой плоскости (y, ẏ) автоколебаниямсоответствует предельный цикл - замкнутая траектория , на которуюнакладываются все фазовые траектории из некоторой окрестности.Автоколебаниями называются незатухающие колебания в диссипативно- нелинейных системах, которые поддерживаются за счет внешнегоисточника энергии. Причем, характерной особенностью автоколебанийявляется отсутствие внешнего периодического воздействия.Множество, к которому сходятся фазовые кривые, называетсяаттрактором.В рассматриваемом случаеаттрактором являетсяẏокружность радиуса 2 .Точки покоя усредненногоуравнения :a=0 и a=2 .0yПервый корень неустойчивый:∂X(0) > 0 .∂aВторой корень устойчивый:∂X(2) < 0 .∂a230Тогда:∂u1=∂t− a2 cos2(t + θ ) +112(−a2sin2(t2 )a3cos4(t8+ θ) −+ θ)a2sin4(t8+ θ)= X(ξ, t) − X(ξ) .Второе приближение:x2 = ξ + εu1(ξ, t) .Запишем усредненную систему для данного случая:ȧ = εa12(θ̇ = − ε2−1(8a2, 4 )−a28+7a 4.
256 )Верхнее уравнение совпадает с усредненным уравнением для первогоприближения при t → ∞ , a → 2 .Тогда:ε2ε2θ̇ = −, θ → − t + θ0 .1616Таким образом, второе приближение будет иметь следующий вид:a3aa =a+εsin4(t + θ ) − sin2(t + θ ) ,4( 32)a21a2θ =θ+εcos4(t + θ ) −1−cos2(t + θ )324(4)a и θ определяются из усредненной системы.231.ε2Для стационарного решения , a = 2 и θ = − t + θ0 , мы получаем:16εεast = 2 − sin2(wt + θ0) + sin4(wt + θ0),24ε2εεθst = θ0 − t + cos4(wt + θ0) + cos4(wt + θ0) .16 ) 48(ε2w =1−.( 16 )Подставим в полученные выражения следующую формулу :y(t) = ast ⋅ cos(t + θst) ,и удерживая члены порядка ε , мы получаемвторое приближенное стационарное колебательное решение уравнения Вандер Поля:εy(t) = 2cos(wt + θ0) − sin3(wt + θ0) .4На фазовой плоскости траектория второго приближения отклоняется отокружности на величину порядка ε .232Задача:Методом усреднения необходимо приближенно решить следующую задачу:ẍ + x − ε(ẋ − ẋ3) = 0, t > 0,{x(0) = x0, ẋ(0) = 0 .Решение:1) Рассмотрим вырожденную задачу при ε = 0 :ẍ + x = 0, ⇒ x = x0cost .{x(0) = x0, ẋ(0) = 0 .2) Будем искать решение вырожденной задачи в следующем виде:ẋ = z,x = a(t)cos(t + θ(t)),{z = − a(t)sin(t + θ(t)) .ż = − x + ε(z − z 3),x(0) = x0, z(0) = 0 .Теперь составим стандартную систему для a и θ :ȧ = − εf ( .
. . ) ⋅ sin(t + θ){θ̇ = −εaf ( . . . ) ⋅ cos(t + θ)⇒ f = − a(sin(t + θ) − a 2sin3(t + θ)) .Подставим найденное f :ȧ = εa(sin2(t + θ) − a 2sin4(t + θ)),{θ̇ = ε(sin(t + θ)cos(t + θ) − a 2sin3(t + θ)cos(t + θ)) .А начальные условия:a(0)cosθ(0) = æ0⇒ sinθ(0) = 0 , возьмем θ(0) = 0 ⇒ a(0) = æ0 .{−a(0)sinθ(0) = 0233Правые части уравнений для a(t) и θ(t) будут периодичны повремени с периодом 2π .
Найдем средние значения за период.Будем использовать, что:2πsin2(t + θ) =1 111.− cos2(t + θ) ⇒sin2(t + θ)dt =∫2 22π20sin4(t + θ) ==12{1 − 2cos2(t + θ) + cos 2(t + θ)} =411 11 − 2cos2(t + θ) + + cos4(t + θ) ;}4{2 22π2π001314sin (t + θ)dt =sin(t + θ)cos(t + θ)dt = 0 .,2π ∫82π ∫1sin2(t + θ) ,2sin(t + θ)cos(t + θ) =sin3(t + θ)cos(t + θ) =1 − cos2(t + θ) sin2(t + θ)⋅.22Следовательно:2π∫cos(t + θ)sin3(t + θ)dt = 0.0Таким образом, мы получаем усредненную систему первогоприближения:ȧ =aε12 (− 34 a2), a(0) = æ0,θ̇ = 0, θ(0) = 0 ⇒ θ(t) = 0 .234Тогда задача− 34 a2),a(0) = x0 .ȧ =aε12 (aε3 2имеет три точки покоя 0 = ȧ =1− a =0⇒2(4 )22.⇒ a = 0, a = −, a =33Правая частьg=ε3a − a3 :2(4 )gst =gsta=±23=∂gε9=1 − a2 ;∂a 2 (4 )ε2(1 − 3) = − ε < 0 ⇒ a = ± - устойчивый корень.23εgst= > 0 ⇒ a = 0 - неустойчивый корень .a=0223Запишем решение задачи Коши для a :aa(t) =∫æ0dηη(1 −3η 24)0ε= t .2−23Заметим что:1η(1 −3η 24)313η111.= += +−η 4 − 3η 2η2 { 2 ⋅ 3η 2 + 3η }235tИнтегрируем левую часть равенства задачи Коши и получаем:a14 − 3a2εa2 4 − 3x02ln− ln= t ⇒ ln 2= εt;x024 − 3x022x0 4 − 3a 2224−3xa2 4 − 3x02a0εtεt=e⇒⋅=e.2222æ0 4 − 3ax0 4 − 3aТак как (4 − 3x02) и (4 − 3a2) имеют один и тот же знак.a2(4 − 3x02) = x02(4 − 3a2)e εt ,a2(3x02 + (4 − 3x02)e −εt) = 4x02 ⇒ a2 =4x023x0 + (4 − 3x0 )22e −εt.C учетом начального условия a(0) = æ0 , мы получаем :2x0a(t) =3x02 + (4 − 3x02)e −εt.Таким образом, решение рассматриваемой задачи примет следующийвид:x=ẋ = −2x03x0 − (4 − 3x0 )22e −εt+ r1(ε) cos(t + r2(ε)),2x03x0 − (4 − 3x0 )22e −εt236+ r1(ε) sin(t + r2(ε)) .r1(ε) → 0 и r2(ε) → 0 при ε → 0 .При t → + ∞ :x→{ẋ → −23{+ r1 cos(t + r2),}23+ r1 sin(t + r2) .}237.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
