Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Таким образом, мы будем искать поправки к гармоническому решению.Исследуем регулярный случай малого параметра .Рассмотрим задачу Коши:dydt= f (y, t, μ),y(0, μ) = y 0 .Будем считать , что μ изменяется в окрестности значений μ = 0 .Пусть при μ = 0 решение известно. Тогда нас будет интересоватьрешение при μ ≠ 0 при достаточно малых μ .∂fСформулируем следующую теорему: пусть функции f,непрерывны по∂yпеременным y, t, μ ∈ D ; D = {t ≤ a, y − y 0 ≤ b, μ ≤ c} , то решениеbрассматриваемой задачи Коши при t ∈ [0; T ] , μ ≤ c , T = min a,,{ M}M: f, y, t, μ ≤ M непрерывно зависит от t, M .211Рассмотрим задачу при μ = 0 :dydt= f (y, t,0),y(0) = y 0 .Из сформулированной нами теоремы следует, что при t ∈ [0; T ] :y(t, μ) = y(t) + ε(t, μ) , ε(t, μ) → 0 , при μ → 0 .y(t, μ) = y(t) + ε(t, μ) - асимптотическое представление решения y(t, μ) помалому параметру μ .Асимптотическая формула по малому параметру - формула, в которойостаточный член ε(t, μ) определяется не точно, а указываются лишь ихсвойства при μ → 0 .В реальных задачах μ - гладкая, но недостаточно гладкая величина.Отсюда и их произвольная точность.Разложим функцию f (y, t, μ) в ряд по степеням μ :f (y, t, μ) = f0(y, t,0) + f1μ(y, t,0) + f2 μ 2(y, t,0) + .
. . + fk μ k(y, t,0) .fk(y, t,0) - коэффициенты Тейлора.Составим решение задачи Коши в виде степенного ряда:y(t) = y0(t) + μy1(t) + μ 2 y2(t) + . . .y0′(t) + μy1′(t) + μ 2 y′2(t) + . . . = f0(y0 + μy1 + μ 2 y2 + . . . t,0)++μf1(y0 + μy1 + μ 2 y2 + . . . t,0) .212∂f0y0′ + μy1′ + μ y′2 + . .
. = f0(y0, t,0) + (μy1 + μ y2 + . . . )(y , t,0)+∂y 022212 ∂ f02+ (μy1 + μ y2 + . . . )(y , t,0) + . . . + μf1(y0, t,0)+2∂y 2 0+μ(μy1 + μ 2 y2 + . . . )∂f1(y0, t,0) + . . .∂yТеперь приравняем коэффициенты и получим:y0′ = f0(y0, t,0) = f (y0, t,0), y0(0) = y 0,∂f0+ f , y (0) = 0,( ∂y ) 1 1y1′ = y1∂f0y12 ∂ 2 f0∂f1y2′ = y2++ y1+ f , y (0) = 0,( ∂y )( ∂y ) 2 22 ( ∂y 2 )........................................................yk′ = yk∂f0+ Fk .( ∂y )Будем считать, что y, t изменяются в ограниченной области D иμ ≤ μ0 .Тогда мы можем получить оценку приближенного решения в видеконечной суммы:Sk = y0 + μy1 + μ 2 y2 + . . .
+ μ k yk .Предположим, что u = y − Sk :u′ + Sk′ = f (u + Sk, t, μ) = f (Sk, t, μ) +∂f *(y*, t, μ)u .∂yRk = Sk′ − f (y0 + μy1 + μ 2 y2 + . . . + μ k yk, t, μ) = _O (μ k+1) ._213Таким образом, мы получаем задачу:u′ + p(t)u = _O (μ k+1), t > 0,_{u(0) = 0 .∂f *p(t) = −, p(t) < K∂y.Запишем и оценим решение полученной нами задачи:tu(t) = _O (μ k+1)e_∫t− ∫ p(θ)dθτdτ .0tu(t) ≤ Cμ k+1 e k∫t−τdτ .0y−k∑μ i yi ≤ Aμ k+1 .i=0Таким образом, мы получили приближенное с погрешностью μ k+1 .Приведем ряд терминологических определений, используемых вприближенном решении рассмотренной задачи:1) Степенной ряд называется асимптотическим , если разложение помалому параметру μ для y(t, μ) проводится следующим образом :y(t) = y0(t) + μy1(t) + μ 2 y2(t) + .
. .2) Малые члены, отбрасываемые в рассматриваемом уравненииназываются возмущениями.214dydt= f (y, t, μ),dydty(0, μ) = y 0 .= f (y, t,0),y(0) = y 0 .невозмущенная задачавозмущенная задачаЕсли малый параметр μ входит в f (y, t, μ) регулярным( т.е непрерывным образом) , то такие возмущения называютсярегулярными.Теперь перейдем от регулярно возмущенных задач к сингулярновозмущенным.Рассмотрим пример - уравнение движения маятника в среде ссопротивлением:μy″ + αy′ + k y = f (t), t > 0,y(0) = y00,y′(0) =y10 .μ = I - момент инерции относительно оси вращения.Если мы , как и в регулярном случае , предположим, что μ = 0 ,порядок рассматриваемого в задаче уравнения поменяется и мы уже несможем учесть оба граничных условия. Связи с этим, в области начальнойточки, как в предыдущем случае, правильную математическую модель мыне получим!В этом случае мы имеем дело с задачами, в которых малый параметрвводится нерегулярным ( нестепенным образом ) и мы будем его называтьсингулярным возмущением.215Рассмотрим следующую задачу Коши:μ dt = f (y, t), 0 < t ≤ T,dyy(0) = y00 .При μ = 0 вырожденное уравнение f (y, t) = 0 будет иметь несколькорешений yi = ϕi(t) .
Тогда логично будет задаться вопросом : будет лисходиться решение y(t) при μ → 0 ?Определение 1 : корень y = ϕ(t) называется устойчивым при 0 ≤ t ≤ T ,если выполняется следующее условие:∂f(ϕ(t), t) < 0 .∂ϕОпределение 2 : областью влияния ( притяжения ) корня φ называетсятакая область, в которой интегральные кривые направлены к корню.Свяжем два введенных нами понятия в следующей теореме:Если y = ϕ(t) - устойчивый корень рассматриваемого уравнения иначальное значение лежит в его области влияния, то решениепоставленной задачи y(t, μ) существует на отрезке [0; T ] и для неговыполняется предельное соотношение lim y(t, μ) = ϕ при 0 < t ≤ T .μ→0yОбласть, в которой решениепоставленной задачи y(t, μ)ϕ0сильно отличается от решенияy = ϕ(t) вырожденного уравненияназывается пограничным слоем .t216Тогда асимптотическое представление для рассматриваемой намизадачи будет иметь следующий вид:y(t, μ) = y(t) + ε(t, μ) .Здесь, в отличие от регулярно возмущенной задачи, остаточный членε(t, μ) уже не является равномерно малой величиной.При достаточной гладкости правых частей можно получитьасимптотическое представление для решения поставленной задачи состаточным членом _O (μ k+1) , но кроме степенных по μ регулярных_членов , оно будет еще и содержать пограничные члены, которые будутзависить от малого параметра μ уже нестепенным образом.Итак, пограничные члены будут иметь существенную величину приt = 0 и быстро убывают с ростом t :y(t, μ) = y0(t) + μy1(t) + .
. . + Π0(τ) + μΠ1(τ) + . . . , τ =t.μСделаем замену, чтобы «разграничить степенную от нестепеннойчасти»:f =F+ξ :F = f (y0(t) + μy1(t) + . . . , t),ξ = f (y0(μτ) + μy1(μτ) + . . . + Π0(τ) + μΠ1(τ) + . . . , μτ)−−f (y0(μτ) + μy1(μτ) + . . . , μτ) .Таким образом:F = F0(t) + μF1(t) + . . . ;ξ = ξ0(τ) + μξ1(τ) + . . .217Тогда при подстановке наша задача примет следующий вид:μdy=F+ξ .dtСоберем регулярную и сингулярную части в нашем решении:dy0∂Π0dy1∂Π12μ+μ+ ... ++μ+ ... =dtdt∂τ∂τ= F0 + μF1 + . . .
+ ξ0 + μξ1 + . . .Тогда мы получим следующую задачу:F0(t) = f (y0(t), t) = 0,dy0dtdΠ0= F1(t),dτИз= ξ0(τ), dΠ1dτ= ξ1(τ) . dΠ0= ξ0(τ) следует, что :dτξ0(τ) = ξμ=0= f (y0(0) + Π0(τ),0) − f (y0(0),0) == f (y0(0) + Π0(τ),0) .y(0, μ) = y0(0) + μy1(0) + . . . + Π0(0) + μΠ1(0) + . . . == y 0 = y00 + μy01 + . . .Следовательно:Π0(0) = y00 − y0(0) .218И тогда мы получаем уже пограничную задачу:∂Π0∂τ= f (y0(0) + Π0(τ),0), τ > 0,Π0(0) = y00 − y0(0) .Изdy0dy0= F1(t) следует, что= fy(y0(t), t) ⋅ y1(t) .dtdtТогда:∂Π1∂τ= fy(y0(0) + Π0(τ),0) ⋅ Π1(τ) + Q1, τ > 0,Π1(0) = y10 − y1(0) .Q1 = (fy(y0(0) + Π0(τ),0) − fy(y0(0),0))(y0′(0)τ + y1(0))++ (ft(y0(0) + Π0(τ),0) − ft(y0(0),0))τ .Из всех полученных пограничных задач мы определяем Π0(τ) и Π1(τ) .Таким образом, мы получаем всю цепочку пограничных в общемслучае в следующем виде:∂Πi∂τ= fy(y0(0) + Π0(τ),0) ⋅ Πi(τ) + Qi, τ > 0,Πi(0) = yi0 − yi(0), i = 1,2, .
. .Qi - известные выражения, yi(t) определяются из алгебраическихсоотношений.219В теории сингулярных возмущений доказывается , что сингулярный рядявляется асимптотическим и справедлива следующая оценка:y(t, μ) −tμ i yi(t) + μ i Πi=_O (μ k+1) ._∑(( μ ))ki=0Задача:Построить с точностью O(μ) , то есть с таким остаточным членом ,асимптотику решения z(t, μ) следующей начальной задачи на отрезке 1 ≤ t ≤ 2 :dzμ dt = z 2 − t 2,z(1, μ) = 0 .Решение:Наша задача сингулярно возмущенная. Будем искать решениепоставленной задачи в следующем виде:t−1z(t, μ) = z0(t) + Π0+_O (μ) .( μ )t−1. Тогда z0(t) будем искать , как решениеμвырожденной задачи при μ = 0 :Обозначим τ =F = z2 − t2 = 0 .220Оно имеет два корня : φ1 = − t , φ2 = t .zφ2Итак, условие устойчивости:φ1 :∂F∂z= 2zz=−tz=−t= − 2t < 0 ,0tпо определению корень устойчивφ2 :∂F∂z= 2zz=tz=tφ1= 2t > 0 .по определению корень неустойчивСледовательно, устойчивое решение вырожденного уравнения , имеетследующий вид:z0(t) = − t .Теперь найдем пограничную функцию:dΠ0dτ= f (t0, z0(t0) + Π0(τ)) = (−1 + Π0(τ)) − 1, τ > 0,2Π0(0) = z 0 − z0(t0) = 1 .Сделаем замену z̃ = Π0(τ) − 1 и получим следующую задачу:dz̃dτ{ z̃(0) = 0 .= z̃ 2(τ) − 1, τ > 0,z̃Тогда z̃(τ) =dη=τ .∫ η2 − 10Начальное значение принадлежит области влияния устойчивого корняпо сформулированной нами ранее теореме:1 1 − z̃z̃(τ) = ln=τ ,2 1 + z̃221z̃1 − z̃1 − z̃ln= 2τ ⇒= e 2τ,1 + z̃1 + z̃1 − z̃ = (1 + z̃ )e 2τ;τ1 − e 2τ e −2τ − 1z̃ == −2τ,1 + e 2τe +1φ(t0)−12e −2τΠ0(τ) = 1 + z̃(τ) =→0−2τ1+ezпри τ → ∞ .120φ2(t) = − tТаким образом:z(t, μ) = − t +2e− μ2 (t − 1)1+e− μ2 (t − 1)222+_O (μ) ._tГ Л А В А 10Метод усредненияКрылова - БоголюбоваРассмотрим работу лампового генератора колебаний с контуром в цеписетки.
Справедливы, хорошо нам известные из физики, следующиесоотношения между зарядом Q , разностью потенциалов U наконденсаторе, током I через него и током Ia в анодной цепи лампы:Q = CU , I = Q̇ , Ia = S(U ) , U + L İ + Mİa = 0 .UILI2M - характеризует слабую индуктивность катушкив анодной цепи и в цепи управляющей сетки,Ia = S(U ) - вольт - амперная характеристикалампы.Предположим, что в интересующей нас областизначений U, характеристика которой, ( нижнийрисунок), описывается следующим соотношением:S′(U ) = S0 − S1U 2 .S(U )U223Исключим из рассматриваемых уравнений Q , I , Ia и получим:LCÜ − MS(U )U̇ + RCU̇ + U = 0 ,S(U ) ≈ S0 − S2U 2 - сеточная характеристика лампы .Сделаем следующие замены:(MS0 − RC)α=,LCβ=MS2(MS0 − RC),w021=.LCПодставим и получим:Ü − α(1 − βU 2)U̇ + w02U = 0 .Перейдем к новым переменным :α- малый параметр ( в задачах поτ = w0t , y = βU , ε =w0радиофизике традиционно принято обозначать его буквой ε ) .В новых переменных мы получаем уравнение Ван дер Поля , котороеописывает колебания в генераторе с контуром в цепи сетки:ÿ − ε(1 − y 2)ẏ + y = 0 .Рассмотрим для полученного уравнения следующую задачу Коши:ÿ − ε(1 − y 2)ẏ + y = 0, t > 0,{y(0) = y0, ẏ(0) = 0 .Поставленная задача описывает колебания в рассматриваемомгенераторе.Будем рассматривать задачу на промежутке времени10 ≤ t ≤ T ∼_O.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
