Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

По колонкеслева направо движется поток жидкости q . Газ переносит растворенное внем изучаемое вещество - компонент , осаждающийся на поверхности гранулсорбента.qΔx0xu(x, t) - концентрация компонента в межзерновом пространстве( количество компонента в межзерновом пространстве на единицу объема колонки) .a(x, t) - концентрация компонента , сорбированного на поверхности гранул( количество сорбированного компонента на единицу объема колонки).70Функция a = φ(u) , связывающая концентрацию компонента в фазесорбента с его концентрацией в фазе раствора при условия их равновесия(равновесные концентрации ) называется изотермой сорбции.С ростом концентрации компонента количество «свободных мест» наповерхности сорбента ( куда могут осаждаться его молекулы ) убывает икривая φ(u) выходит на насыщение :В случае малых концентрацийрассматривают изотерму Генри:a = Γu ,Γ - константа, характеризующая наклоннашей кривой φ(u) на начальном участке;φuв случае значительных концентраций:Kua = φ(u) = 1 - изотерма Ленгмюра.u+KТак как изотрема является взаимно однозначной функцией , мы можемввести изотермы, обратные изотермам Генри и Ленгмюра :Обратная изотерма:Обратная изотерма Генри:u = ψ (a) ,au = ψ (a) = ,ΓKaОбратная изотерма Ленгмюра: u = ψ (a) =.K1 − a71Рассмотрим некоторый малый участок Δx и запишем уравнениебаланса рассматриваемого компонента за время Δt :x+Δxa η, t + Δt) + u(η, t + Δt) − a(η, t) − u(η, t)]dη =∫ [ (xt+Δt=∫q[u(x, τ) − u(x + Δx, t)]dτ .tПусть функции u(x, t) и a(x, t) имеют непрерывные частныепроизводные первого порядка.Тогда поделим полученное равенство на ΔxΔt и устремляя Δx и Δt кнулю, мы получим уравнение баланса вещества в дифференциальном виде:at + ut + qux = 0 .Сорбция вещества происходит не мгновенно, а за определенное время.Скорость изменения концентрации сорбированного веществапропорциональна разности текущей и равновесной концентраций.Дополнив полученное уравнение, уравнением кинетики и задавначальные и граничные условия, мы получаем постановку задачи сорбции:at + ut + qux = 0,at = β(u − ψ (a)),at=0=uux=0= u0 .t=0β - коэффициент кинетики.= 0,Для того, чтобы упростить решение поставленной задачи, нам будетудобно ввести понятие локального времени:xτ =t−.q72Значение τ « запаздывает» относительно t на время переноса веществаот границы до рассматриваемой точки x .Если мы рассмотрим u , как функцию переменных τ , x ,то :∂u(τ, x)∂u(τ, x)∂u dτ∂u dτ∂u+q=+q+=( ∂τ d x∂t∂x∂τ dt∂x )=∂u∂u1∂u∂u+q−+=q.()∂τq∂x )∂x( ∂τЗначит: при переходе к локальному времени , наше уравнение упрощается:ut + qux = qux .Введение понятия локального времени, стандартный способ упрощения решенияподобных задач по переносу вещества.Перейдем к решению поставленной задачи сорбции:введем новые переменные через старые переменные:xxτ =β t−, ξ=β .(q)qТогда область x > 0, t > 0 переходит в область ξ > 0, τ > − ξ .Рассматриваемая задача преобразуется в систему следующего вида:aτ + uξ = 0,aτ = u − ψ (a),aτ=−ξuξ=0=uτ=−ξ= 0,= u0 .Продифференцируем второе уравнение полученной системы по ξ иполучим:73aτξ + aτ + ψ′(a)aξ = 0,aaττ+ξ=0= 0,τ+ξ=0= (u − ψ (a))τ+ξ=0= 0.Будем искать решение нашей задачи в заштрихованной области−ξ ≤ τ ≤ 0 : τξM0ABnτnξnτ+ξ =0Для любой фиксированной функции a , мы можем рассматриватьпроизводную обратной функции ψ′(a) , как заданный переменныйкоэффициент k.В тоже время, на прямой τ + ξ = 0 выполняется следующее условие:ππaτ = ancos+ alcos,(4)(4)где l - вектор вдоль прямой , а n - нормаль к ней.74С учетом граничных условий рассматриваемой задачи, мы получаем ,= 0.что anξ+τТаким образом, в заштрихованной области, мы имеем следующуюзадачу с данными на характеристике:aξτ + kaξ + aτ = 0,{a = an = 0, при τ + ξ = 0 .Применяя обобщенную формулу Даламбера мы приходим к выводу:значение a в любой точке M0 , принадлежащей заштрихованной области,определяется заданными ( нулевыми в данном случае ) условиями наотрезке AB - основании характеристического треугольника M0 AB .Следовательно, a равно нулю во всей заштрихованной области.По непрерывности a = 0 при τ = 0 , а на границе ξ = 0 выполняетсяследующее условие:aτ = u0 − ψ (a), aτ=0 = 0 .Обозначим решение полученной задачи через Q(τ) и получаем вобласти ξ > 0, τ > 0 следующую задачу:aτξ + aτ + ψ′(a)aξ = 0,{aτ=0= 0, aξ=0= Q(τ) .Решая полученную задачу сорбции , мы рассмотрим и сравним накачественном уровне линейный и нелинейный случаи данной задачи.В линейной задаче сорбции мы будем исследовать задачу сорбции сизотермой Генри , в нелинейном случае - задача сорбции с изотермойЛенгмюра.75a) Линейный случай задачи сорбции ( изотерма Генри) .Итак, изотерма Генри φ(u) = Γu , и обратная ей изотерма ψ (a) =aΓсоответственно.Подставляем выписанную изотерму в полученную нами ранее задачу сданными на характеристиках ( в решение Q(τ) ) .Получаем задачу Гурса для линейной задачи сорбции:aτξ + aτ +aaξΓ= 0,= 0, aτ=0−Γ=Γu1−e0().ξ=0τЧтобы упростить решение, как и в случае с локальным временем , введемτновую переменную θ =и подберем не ограничивая общности значениеΓu0 так , чтобы выполнялось условие Γu0 = 1 .Тогда уже в области θ > 0, τ > 0 мы имеем более упрощенныйвариант предыдущей задачи Гурса:aθξ + aθ + aξ = 0,{a= 0, aθ=0−θ=1−e().ξ=0Сделаем замену функции a = ze −(θ + ξ) , вычисляем производные z по ξи θ и подставляем их в нашу задачу с данными на характеристиках:zξθ − z = 0,{z= 0, zθ=0θ=e− 1) .(ξ=0Как мы уже хорошо знаем, решением полученной задачи являетсяфункция Римана и имеет следующий вид:76v(ξ, θ, ξ1, θ1) = I0 2((ξ − ξ1)(θ − θ1) ) .Применяем обобщенную формулу Даламбера и получаем:(zv)A + (zv)Bz = (θ1, ξ1) =eθ1−12−1zvξ − vzξ)dξ + (vzθ − zvθ)dθ =([]∫2A01[vzθ − zvθ]∫2−θ1θ1=2Be θ I0 2(∫0ξ=0dθ =eθ1−12+[zv]θ=0, ξ=0θ=θ1, ξ=02θ1+ [vzθ]∫0ξ1(θ1 − θ) dξ .)Возвращаемся к старым переменным и получаем решениерассматриваемой задачи сорбции:a(θ1, ξ1) = ze −(θ1 + ξ1) =θ1e −(θ1 − θ)e −ξ1I0 2(∫0θ1= e −ξ1 e −θ I0(2 ξ1θ )dθ .∫0a1t4 > t3t2 > t1t1t3ξξ1(θ1 − θ) dθ =)графический вид решениязадачи сорбции в различныймомент времени.Значение концентрациицелевого компонента в фазесорбента на границе ( входе всорбционную колонку) современем возрастает до 1,фронт распространениякомпонента продвигаетсявдоль колонки, расплываясь.77ξ=0dθ =б) нелинейный случай задачи сорбции ( изотерма Ленгмюра ) .k1uИтак, изотерма Ленгмюра a = φ(u) =, коэффициент k1 - этоu+kмаксимальное количество компонента в сорбированной фазе, соответствующееu → ∞ (0 ≤ a < k1) .Обратная изотерма ( обратная зависимость равновесного значения u отa имеет следующий вид:kau = ψ (a) =.k1 − aψu0 = ψ (a0)a0 k1aВычислим первую и вторую производные обратной изотермы сорбцииЛенгмюра:ψ′(a) =k1k(k1 − a)2> 0, ψ″(a) =782k1k(k1 − a)3> 0.Подставляем вид изотермы в рассматриваемую задачу и получаемквазилинейное уравнение переноса:aξτ + aτ + ψ′(a)aξ = 0 , где ψ′(a) - скорость переноса со временем значения aвдоль оси ξ .Аналитически полученное уравнение не решается!Будем рассматривать его решение на качественном уровне.Пусть профиль a , как функции ξ , имеет вид плавно убывающейфункции.Тогда u ≈ ψ (a) .Итак, ψ′(a) растущая функция a , то большие значения a переносятсябыстрее.

Фронт становится более крутым.Но из уравнения кинетики следует, что aτ = − uξ = u − ψ (a) < umax .Значит крутизна фронта ограничена. Решение выходит на режимбегущей волны a = f (ξ − vτ) , когда образуется некоторыйустановившийся профиль, переносимый вдоль оси ξ . Численноемоделирование процесса,подтверждает приведенныеaкачественные соображения.ψ′(a)ξ79Теперь определим вид профиля волны . Для этого рассмотрим виднашего решения в форме бегущей волны a = f (ξ − vτ) следующей задачина бесконечном участке −∞ < ξ < ∞:aτξ + aτ + ψ′(a)aξ = 0,{aξ=−∞= a0, a= 0.ξ=∞Подставляем заявленный вид решения в рассматриваемую задачу:−vf″ − − vf′ + ψ′( f )f′ = 0,{f (−∞) = a0, f′(−∞) = f (∞) = f′(∞) = 0 .Проинтегрируем полученное выражение от −∞ до ∞ и получим:va0 = ψ (a0) .Отсюда, легко можно выразить скорость переноса:v=ψ (a0)a0.Теперь проинтегрируем вид нашего решения от α до ∞ и получим:vf′(α) + vf (α) − ψ ( f (α)) = 0 .Подставим вычисленное значение скорости переноса и получим:a0df=ψ(f ) − f .dα ψ (a0)Полученное уравнение определяет профиль бегущей волны f (α) .80Значение правой частиуравнения равно длиневертикального отрезка междупрямой и кривой,соединяющих точку 0 c точкойav(a0, ψ (a0)) .ξdfdαотрицательна, мала при a ≈ 0 иa ≈ a0 и возрастает по модулюПроизводнаяв средней части интервала значений a .Cравнивая расмотренные : линейный и нелинейный случаи задачи сорбции легкозаметить:в линейном случае: фронт волны концентрации представляет собой продвигающийся посорбционной колонке расплывающийся профиль.В нелинейном случае образуется бегущая волна постоянного профиля ( образованиеподобных структур имеет место в нелинейных задачах).81Задачи:1) Пусть через слой 0 ≤ x ≤ l пористого сорбента в направлении оси x проходитпоток воздуха со скоростью q , переносящий газообразное химическое вещество.Пусть C(x, t) - концентрация вещества в порах, a(x, t) - концентрация наповерхности сорбента.

Эти концентрации связаны соотношением a = f (C) , где f изотерма сорбции. Ее вид зависит от свойств сорбента.Пусть при t = 0 сорбент чистый, а при t > 0 на вход подается концентрацияC(0, t) = αt .И пусть f (C) = kln(1 + C).Необходимо определить C(l, t) - концентрацию вещества на выходе из слояqсорбента. Будем предполагать, что l ≤.kαРешение:Рассмотрим некоторый участок (x, x + Δx) за период времени от t доt + Δt и запишем соответствующее ему уравнение баланса вещества:[C(x, t + Δt) + a(x, t + Δt) − C(x, t) − a(x, t)]Δx = q[C(x, t) − C(x + Δx, t)]Δt .Следовательно, процесс сорбции описывается следующем уравнением:∂∂C(C + a) + q= 0.∂t∂xУчитывая явный вид зависимости a от C , начальные и граничныеусловия, получаем следующую задачу:∂C∂t∂a∂t∂C∂x{C(x,0) = 0, C(0, t) = αt .++q= 0, a = kln(1 + C), 82Чтобы упростить поставленную задачу, перейдем к локальномувремени:xτ =t− .qПерейдем к новым переменным:xτ =t− , ξ =x .qПодставим и получим:∂∂1 ∂∂∂.=−, =∂x∂ξ q ∂τ ∂t∂τТогда для функции C(ξ, τ) мы имеем следующую задачу:∂a∂τ+q∂C∂ξ= 0, a = kln(1 + C), 0 ≤ ξ ≤ l, C(ξ, − q ) = 0, C(0, τ) = ατ, τ ≥ − q .ξξПодставляем a = kln(1 + C) в наше уравнение и получаемквазилинейное уравнение переноса:∂Ck∂C⋅+q= 0.∂τ 1 + C∂ξДанное уравнение решается уже хорошо известным нам методомхарактеристик:dτk(1 + C)dξ dC==.q0Запишем первые интегралы полученного уравнения характеристик:ξkqτ −= const, C = const .1+C83Множество S , на котором задаются дополнительные условия, состоитиз двух лучей (τ > 0, ξ = 0) и (τ < 0, ξ = − qτ) .Обозначим τ* , ξ* координаты пересечения проекции характеристики,проходящей через точку (τ, ξ, C(τ, ξ)) с множеством S .С учетом граничных условий рассматриваемой задачи, мы получаем:qτ −ξk1 + C(τ, ξ)= qτ* −ξ*k1 + Φ(τ*, ξ*)C(τ, ξ) = Φ(τ*, ξ*) .,Здесь возможны две ситуации :либо τ* ≥ 0, ξ* = 0, либо τ* ≤ 0, ξ* = − qτ* .ατ*, τ* ≥ 0, ξ* = 0, Φ(τ*, ξ*) ={0, τ* ≤ 0, ξ* = − qτ* .

а) τ* ≥ 0 :qτ −ξk1 + ατ*= qτ*,C(τ, ξ) = αt* .( c учетом граничных условий)Следовательно, проекция характеристики на плоскость ξ , τопределяется соотношением:τdξ q= (1 + ατ*) . - прямая линия.dτkqξ= τkξξ = − qτ84( линии при различныхзначениях τ ) .Значение τ* определяем из полученного нами квадратного уравнения:qτ −ξk= qτ* .1 + ατ*Выражаем τ* :11τ* =τ− ±α214kξτ−+τ−(α)α(q)2.kТаким образом, при τ ≥ ξсуществует единственныйqположительный корень τ* ≥ 0 .kk1Если τ < ξ < l ≤, то оба корня полученного решенияqq αотрицательны.б) τ* < 0 :qτ − ξk = qτ ∗ − ξ ∗k,{C(ξ, τ) = 0 .Запишем наклон проекции характеристик:dξ q=.dτkКак видно из приведенного выше рисунка, характеристикипредставляют собой параллельные линии, расположенные ниже линииqξ= τ.k85Итак, мы нашли решение при всех значениях τ ∗ и возвращаясь кстарым переменным, можем записать ответ:C(x, t) =12α(t − qx ) − 1 +0, t ≤1+kqα(t − qx ) + 1 −()24kxαq, t ≥1+kx,qx.2) Пусть по реке вместе с водой переносятся сброшенные в реку отходы химическогопроизводства.

Характеристики

Список файлов книги