Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Так же нужно учитывать естественную убыль щук засчет их естественной смерти, которая тем больше , чем больше количествощук.Получаем математическую модель:dxdtdydt= k1x − k2 xy, x(t0) = x0,= k3 xy − k4 y, y(t0) = y0.Будем исследовать на качественном уровне ее решение:поделим верхнее уравнение системы на нижнее уравнение и получим:d x x(k1 − k2 y).=dyy(k3 x − k4)Разделим переменные:d x(k3 x − k4)x=dy(k1 − k2 y)y.Его решение записывается в виде:e k3 x e k 2 y⋅ k = C, где C - интеграл движения, или другимиk4xy1словами величина сохраняющая значение на решении уравненийрассматриваемой математической модели.Интеграл движения C = const - определяет линию уровняинтегральной кривой в пространстве (x, y, C) .Приравняем к нулю правые части рассматриваемых уравнений:k1x − k2 xy = 0,k3 xy − k4 y = 0,100и найдем точку покоя (xn, yn) :xn =k4k, yn = 1 .k3k2Подставляем в решение полученного разделением переменныхуравнения и мы получим значение интеграла движения, соответствующееточке покоя:Cn =e k3 xn e k2 yn(xn) (yn)k4k1.Теперь введем функции :e k3 xf (x) = k ,x4e k2 yg(y) = k .y1Очевидно, что функция f (x) неограниченно возрастает при x → 0 иx→∞.Вычислим ее производную:k4df.= f k3 −(x)dxЗначит функция f растет при x > xn, при x < xn убывает.Следовательно, ее минимум достигается при x = xn .Функция g(y) ведет себя аналогичным образом и имеет минимум приy = yn .
Следовательно, поверхность C(x, y) = f (x)g(y) имеет характерпрогнутой поверхности, имеющей минимум в точке покоя и бесконечновозрастающую к границам первого квадранта и бесконечности на плоскости(x, y) .При C > Cn мы получаем замкнутые линии уровня, лежащие в областиx > 0, y > 0 .101Таким образом, если начальная точка (x0, y0) лежит в первомквадранте, то фазовая траектория не покидает первого квадранта, то естьx(t) > 0 и y(t) > 0 в любой момент времени.yf (x)Cg(y)x1xnx2xФиксируем произвольное значение C > Cn и положительное y ≠ yn .Значения x , соответствующие выбранным C и y , определяются условием:f (x)g(y) = C .Учитывая характер функции f (x) , мы имеем два таких значения x1 и x2 .Следовательно, при C > Cn каждому y соответствуют два значения xлежащему на линии уровня C = const и наоборот: каждому xсоответствуют два значения y .Если начальная точка не совпадает с точкой покоя, то:∂x∂yлибо≠ 0 , либо≠0 .∂t∂t102То есть:∂x∂y+≠0 .( ∂t ) ( ∂t )22( непрерывное движение ) .Направление движения на фазовой плоскости определяется по нижней∂yточке фазовой кривой , соответствующей x = xn .
Здесь=0 ,∂t∂x= xn(k1 − k2 y) > 0 - задает направление обхода против часовой стрелки .∂tРешение можно представить в виде интегральных кривых.x, yyжертваtхищникxtРассмотренная задача служит примером того, что в системе описываемойнелинейными уравнениями, может возникнуть взаимодействие факторов, приводящее квозникновению устойчивой структуры решения.
В нашем конкретном случае устойчивый циклический процесс.103б) Задача о наводнении.В заявленной задаче мы имеем озеро и деревню. Под ними находится гидроупорныйслой ( глина ) . Пусть u(x, t) - уровень грунтовой воды над гидроупором в областиx > 0 . Весной, к моменту t = 0 вода в озере поднялась до нулевой отметки ипродолжает прибывать по закону u(0, t) = kt .Нужно определить: как быстро затопление дойдет до деревни, расположенной навысоте h над гидроупором и имеющей координату x = L .zдеревняh0xLРешение:Получим уравнение, описывающее изменение u .104Рассмотрим вертикальное сечение земли от дневной поверхности до∂P,гидроупора. Плотность горизонтального потока воды равна q = − D∂xгде P - давление, а D - коэффициент проводимости среды.Теперь рассмотрим некоторую высоту 0 < z < u .
Давление на этойвысоте будет равно:P(z) = ρg(u − z) , ρ - плотность воды, g - ускорениесвободного падения.∂uи от z не зависит ! Cледовательно, полный∂xпоток , проходящий через сечение будет равен:Тогда q = − DρgQ = − ρgu∂u.∂xИнтегральное уравнение баланса воды в слое от x до x + Δx за времяот t до t + Δt , будет равно:x+Δx∫ε(u(ξ, t + Δt) − u(ξ, t))dξ =xt+Δt=Dρg u(x, τ)(∫t∂u(x, τ) ∂u(x, τ + Δτ)−u(x, τ + Δτ) dτ ,)∂x∂xгде ε - показатель среды.Стандартно делим наше уравнение баланса на Δx и Δt и устремляемих к нулю.Тогда мы получим уравнение, описывающее высоту уровня грунтовой водынад гидроупором , которое называется уравнением Буссинеска:ut =Dρg(uux)x .ε105Теперь сделаем замену переменной τ =εt ( т.о. мы вводим новыйDρgмасштаб времени) .kεчерез K . Тогда мы можем записатьDρgматематическую модель рассматриваемого процесса в следующем виде:Обозначимuτ = (uux) ,xu(x,0) = 0,u(0, τ) = Kτ .Будем искать решение поставленной задачи в автомодельном видедвижущейся волны:u = f (vτ − x), vτ − x > 0, {u = 0, vτ − x ≤ 0 .Нам нужно определить постоянную скорость v : подставляемавтомодельный вид решения в поставленную нами задачу и получимуравнение в обыкновенных производных для определения функции f (α) ,где α = vτ − x :vf′ = ( f f′) .′Проинтегрируем полученное выражение от 0 до α > 0 и получим:vf = f f′ .Таким образом f′ = v и из граничного условия нашей задачи мылегко можем найти функциональный вид f :u(0, τ) = Kτ = f (vt − 0) .106Следовательно:f (α) =Учитывая, что f′ = v →Kα.vK= v .
Следовательно, v =vK ,аf (α) = α K .Тогда решение нашей задачи примет следующий вид:u(x, τ) = Kτ −Kx, x <u(x, τ) = 0, x ≥Kτ,Kτ .Таким образом, мы приходим к окончательному выводу: наводнениедойдет до деревни при τ , которое определяется соотношением:h = Kτ −KL .107в) Модель большого взрыва.Рассмотрим одномерную по пространственным координатам модельбольшого взрыва, положившую начало движения вещества во вселенной.Данная модель была предложена учеными Баренблаттом и Зельдовичем в1980 году в их совместной работе «Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт,В. Б. Либрович, Г. М. Maxвиладзе Математическая теория горения и взрыва, 1980 » .Пусть в начальный момент времени масса вселенной M быласосредоточена в одной точке x = 0 .Тогда распространение вещества после взрыва описывается следующейматематической моделью:ut = (u 2ux) ,{u(0, x) = δ(x)M .xРешение:Сделаем замену:ξ=x2.tБудем искать решение в автомодельном виде:u(x, t) =θ(ξ)14tдифференцируемая функция., где θ(ξ) - произвольнаяДля u при любом выборе θ(ξ) выполняется условие:ut =(−ux.4t )x108Тогда:(−ux= (u 2ux) .x4t )xИнтегрируем полученное выражение по x и учитывая искомый видu, мы получаем:θ x2x 2=θ θ′ 8θθ′ = − 1 .15t 4 4tt4−Будем искать решение полученного уравнения в виде финитнойфункции, имеющей разрыв производной при θ = 0 :1θ(ξ) = max[2]ξ0 − ξ,0.Тогда решение исходной задачи представимо в следующем виде:12ξ0 −u(t, x) =x2t1t41ξ0 t 4, x <0, x >,1ξ0 t 4 .Здесь ξ0 - величина, определяющая границу возмущения.
Ее можноопределить из условия нормировки:1ξ0 t 4∞M=∫u(t, x)d x = 2−∞ξ01=2∫0ξ0θ∫ t4dx = 210ξ0 − ξξdξ =ξ012 ∫0∫01−ααdα =ξ0 − ξ2t14ξ0d(t 413π.8Таким образом, решение полностью определено.109ξ) =г) Нелинейная модель горения.Пример: В слабо горящем костре выделение тепла дроваминезначительное. В случае, если костер разгорится сильнее, те же дровабудут уже выделять значительно больше энергии. Мощность источниковтепла зависит от температуры .
При этом коэффициент теплопроводностизависит от интенсивности конвективных процессов, следовательно, оттемпературы.Будем описывать рассматриваемый процесс уравнением:ut = (u 2ux) + u β .xРешение:Будем искать решение рассматриваемого уравнения, как и впредыдущей задаче, в автомодельном виде, причем при различныхзначениях параметра β :1) пусть β = 3 :сделаем замену u(x, t) =θ(x)T−tи прийдем к уравнению вобыкновенных производных:θθ″ + 2θ′2 + θ 2 =1.2110Его решением является следующая функция:θ(x) =32cos(3)x.3π через x0 и получим постановку нелинейной задачи2горения в следующем виде:Обозначимut = (u 2ux) + u βxcos(T3u(x,0) =23)x, x ≤ x0,0, x > x0 .
Решение поставленной задачи выражается в виде:u(x, t) =3cos2(x3)T−t, x ≤ x0,0, x > x0 . Полученное выражение описывает структуру фиксированной ширины, величинакоторой бесконечно возрастает за конечное время. Решения, обладающие этимсвойством называются решениями с обострением.2) Теперь рассмотрим β = 2 :θ(ξ), ξ = x T − t и сноваT−tполучаем уравнение в обыкновенных производных:в этом случае мы сделаем замену u(x, t) =θ′ξ−θ =0 .(θ θ′) + θ +22′2111Так как функция θ(ξ) является четной ( читателю предлагаетсяубедиться в этом самостоятельно) , то θ′(0) = 0 .Положим ξ = 0 ⇒ тогда наше уравнение примет вид:θ 2θ″ + θ 2 − θ = 0 .Выберем θ(0) > 1 и получим, что вторая производная θ″(0)отрицательна! Значит, в точке ξ = 0 расположен максимум.Существует решение θ(ξ) , удовлетворяющее уравнениюθ′ξ′22θθ′+θ+− θ = 0 , которое положительное на некотором интервале()2(ξ0, − ξ0) и равное нулю при ξ = ξ0 .
Решение и значение ξ0 можно найтичисленно.При θ → 0 , пренебрегая малыми членами в рассматриваемомуравнении, мы получим:ξ2θθ′ + ≈ 0 .2Здесь θ(ξ) =12Значит θ′(ξ0 − 0) < 0 .ξ02 − ξ 2 .Будем строить решение в виде:θ(x T − t ), где θ(ξ) определяется наT−tинтервале (ξ0, − ξ0) и θ(ξ) ≡ 0 при ξ > ξ0 .u(x, t) =Cледовательно функция u(x, t) имеет разрыв производной по x вξ0точке x =, в которой решение обращается в ноль.T−t112Полученное решение образует локальную структуру , которая1расширяется пропорционально, и неограниченно возрастает вT−tцентре за конечное время.3) Теперь пусть β = 4 :u(x, t) =здесь сделаем заменуθ(ξ)(T − t)13, ξ=x(T − t)16.При подстановке, наше уравнение примет следующий вид:θ′ξ 1+ θ .(θ θ′) + θ =632′4Решение можно получить на качественном уровне в виде:Решение имеетнелокальный процесс собострением в центреструктуры .Можно показать, что приx ≠ 0 , решение растет,оставаясь при этомконечным.θ1∼ 2ξ0113ГЛАВА 5Введение в разностные схемы.Спектральный критерий Неймана.Рассмотрим следующую задачу:Lu(x) = f (x), x = (x1, x2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
