Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пренебрегая шириной реки по сравнению с длиной, будем считатьдвижение воды одномерным. Направим ось x вдоль реки. Пусть q(x) - поток воды,проходящий через сечение с координатой x . Река вбирает потоки, поэтому q(x) будетменяться с ростом x . Пусть в момент t = 0 вода была чистая , а при t > 0 всечении x = x0 сливаются сбросы в количестве f (t) . Эти сбросы переносятсятечением и частично оседают на дно. Пусть в единицу времени на единицу длиныреки количество осаждающегося вещества равно αu(x, t) , где α - коэффициент, аu(x, t) - количество взвешанного загрязняющего вещества на единицу длины реки.Вычислить количество вещества u(x, t) в реке при t > 0 , x > x0 .Решение:u(x, t)x0xαu(x, t)86Выведем уравнения переноса вещества, считая, что функция uнепрерывна и имеет непрерывные частные производные.
Для этогорассмотрим баланс вещества в слое от x до x + Δx за период времени от tдо t + Δt .Для выбранного участка, запишем закон сохранения вещества:[u(x, t + Δt) − u(x, t)]Δx =(изменения количества взвеси за время Δt для элемента Δx длины реки)= [q(x)u(x, t) − q(x + Δx)u(x + Δx, t)]Δt − αu(x, t)ΔxΔt(левая часть уравнениябаланса- причины,вызвавшие увелечениевзвеси).( изменение количества взвеси научастке реки Δx за время Δt из запотоков).xпоток q(x)приноситвзвесьчерез сечение xΔx( изменение количества взвеси на участкереки Δx время Δt из за осаждения взвеси надно).x + Δxпоток q(x + Δx)уносит взвесь черезсечение x + Δx .Δu = u(x + Δx, t) − u(x, t)( изменение количества взвеси ) .87Здесь: взвесь мусор.Поделим уравнение баланса ΔxΔt :u(x, t + Δt) − u(x, t)q(x + Δx)u(x + Δx, t) − q(x)u(x)=−− αu(x, t) .ΔtΔtПереходим к пределу, устремив Δx → 0 , Δt → 0 :∂u∂=−(q(x)u(x)) − αu,∂t∂x∂u∂u ∂q= − q(x)−u − αu ,∂t∂x∂x∂u∂u∂q∂q+ q(x)=−+ α u = − b(x)u, где b(x) =+ α - удобное()∂t∂x∂x∂xbпереобозначение.При x = x0 в реку поступает сброс f (t) и вниз по течению уходит потокf (t)q(x0)u(x0, t) = f (t) и u(x0, t) =.q(x0)Тогда математическая постановка рассматриваемой физической задачибудет иметь следующий вид:∂u∂t+q∂u∂xu(x0, t) == − bu, x > x0, t > 0,f(t)q(x0), u(x,0) = 0 .Будем решать поставленную задачу методом характеристик:Итак, запишем для нашей задачи уравнение характеристик:dtdx=.1q(x)xПервый интеграл:t−dξ∫ q(ξ)=C.x088Введем новую переменную τ :dtdx== dτ .1q(x)xЕсли положить τ = 0 при x = x0 , то τ =dξ∫ q(ξ).x0То есть , новая переменная τ - физически означает « запаздывание» приходаτзагрязнения из точки x0 в точку x .x0Обозначим: x = θ(τ) .xвброс грязиТогда, мы получим уравнение для функции в новых переменных:V(C, τ) = u(x, t) .Проверим:dt = dτ ⇒ t = τ + C ⇒ u(x, t) = u(θ(τ), τ + C) = V(τ, C) .∂u∂V ∂τ=,∂t∂τ ∂t⏟0∂u∂V ∂τ∂V 1==⇒∂x∂τ ∂x∂τ q(x)∂u∂u1 ∂V∂V⇒+ q(x)= q(x)== − βV .∂t∂xq(x) ∂τ∂τ⏟0β(τ) = b(x) = b(θ(τ)) .Тогда наше уравнение примет следующий вид:dV(C, τ) = − β(τ)V(C, τ) .dτ89Полученный ранее первый интеграл и выражение для новойпеременной τ позволяют нам сделать вывод , что область измененияx ≥ x0 , t ≥ 0 соответствует области τ ≥ 0 , C ≥ − τ .xx ≥ x0 , t ≥ 0 ⇒ τ =dξ≥0 ⇒τ≥0 .∫ q(ξ) ⏟x≥0x0xt−xdξ∫ q(ξ)= C ⇒ t =x0dξ∫ q(ξ)+ C ≥ 0 ⇒ t = τ + C = 0 ⇒ C ≥ − τ .x0 ⏟τ(ξ)Если x = x0 , то τ = 0 , t = C при x = x0 .xЕсли t = 0, x > 0 :0=dξ∫ q(ξ)+ C ⇒ C = − τ < 0.x0 ⏟τТаким образом, мы получаем дополнительные условия для функции V вследующем виде:V(C,0) =f (C)q(x0), C > 0, V(C1 − C) = 0, C < 0 .Получаем задачу Коши для функции V:V(C,0) =dV(C, τ)dτf(C)q(x0), C > 0, V(C1 − C) = 0, C < 0,= − β(τ)V(C, τ) .Ее решение:V(C, τ) =f(C)q(x0)τe− ∫ β(τ)dτ0, C > 0,0 C < 0 .90xТак как τ =dξ∫ q(ξ), используя равенство:x0ττ00xxb(x)dτdx ,β(τ)dτ = b θ(τ) dτ = b(x)dx =∫ q(x)∫∫ ⏟∫dx⏟x0xx01q(x)мы получаем:dτ1.=d x q(x)Возвращаемся к старым переменным (x, t) :b(x) =∂q+ α = q′ + α .∂xИспользуя, полученное выражение для V(C, τ) , мы получаем:xf t− ∫x0dξq(ξ)Cq(x0)u(x, t) =C =t−e x0xq′(ξ) + αdξq(ξ),dξ∫ q(ξ)x0x0, t <x∫dξ∫ q(ξ)x>0⇒t>dξ∫ q(ξ),x0.x0xdξ1=x − x0) ,Если q = const , то∫ q(ξ) q (x091и:u(x, t) =1qf (t −0, t <t )x − x0x − x0qe−x − x0q αT, t >x − x0q,.Решение в точке x повторяет функцию f (t) с запаздыванием на:x − x0при движении от x0 до x c ослаблением e −Tα количестваqвзвеси, вызванным ее осаждением на дно реки.T=92Задача Стефана ( о фазовом переходе ).Метод подобия.
В некоторых физических задачах, когда уравнения идополнительные условия сохраняются ( если их переменные изменить внекоторой пропорции) , удобно использовать метод подобия . Он позволяетнам уменьшить число переменных, заменяя новые переменныекомбинацией старых.В качестве стандартного примера, можно рассмотреть одномернуюзадачу теплопроводности на бесконечной прямой , рассмотренную впрошлом семестре:ut = a 2uxx,u(x,0) =1, x > 0,{0, x < 0 .Выразим новые переменные через комбинацию старых:x′ = k x, t′ = k 2t , u(x, t) = u(k x, k 2t) .Проверим, что условия сохраняются:при умножении - t → k 2, x → k ( охраняются) ⇒ решение можно искатьв виде f(xt):u(x, t) = f(2 t )x= f (z) .Используя, сделанную замену , получим:ut = −222df xd f1⋅ 3 , uxx = 2.dz 4t 2dz ( 2 t )xa2− 3 −fzz ⇒ − 2z fz = a2 fzz .4t4t 293fzz +2zfz = 0 .2a2zОбозначим fz = y ⇒ yz + 2 y = 0 .adydy= ℘yz ⇒+ ℘zdz .∫ y∫dzИз вышеизложенных вычислений , вся наша система сводится:f″ = − 2z f′,f (−∞) = 0,f (∞) = 1 .2Она решается весьма тривиально.
Пусть f′ = Ce −z , тогдаzf (z) = C∫2e −x d x . Константу C мы можем определить подставив−∞решение в правое граничное условие:zf (∞) = 1 = C∫2e −x d x = C π .⇒C=−∞1π.Тогда:f (z) =1∞π ∫2e −x d x =−∞1(1 + Φ(z)) , где Φ - функция ( интеграл)2ошибок.Возвращаемся к старым переменным и получаем конечный результат:u(x, t) =1x1+Φ2( 2a t )94.Теперь рассмотрим задачу Стефана .Задачей Стефана называется задача о распространении тепла двухсоприкасающихся областях, граница между которыми может перемещатьсяза счет фазового перехода .Рассмотрим заявленную задачу на примере процесса оттаиваниямерзлой земли.
Пусть везде в почве ( ниже дневной поверхности )начальная температура отрицательная и равна T2 , а на поверхности,начиная с момента времени t = 0 , температура положительная ,постоянная и равная T1 . С течением времени земля прогревается вглубь ипри достижении нулевой температуры оттаивает.Требуется определить температурный профиль почвы и скорость движенияграницы, отмеченной на рисунке координатой ξ , на которой температура равна нулюи происходит переход воды из фазы льда в фазу жидкости.вода0Физические коэффициенты у замерзшей иоттаявшая земляоттаявшей земли различны.Поэтому дляледu1 ξописания теплопереноса в этих зонах мымерзлаяземлябудем рассматривать отдельно двеu2водатемпературы u1 (x < ξ) и u2 (x > ξ) .Поставим математическую модель, описывающуюпроцесс:∂u1∂t∂u2∂t=22 ∂ u1a1 2 , 0∂x< x < ξ,=22 ∂ u2a2 2 , 0∂x> x > ξ,xзаявленныйМы можем выбиратьлибо: ξ=0,t=0 ( граница фазового перехода)либо: x = ξ(t) .u1 = T1, x = 0, u2 = T2, t = 0,u1 − u2 = 0; x = ξ− температура фазового теплового баланса(k1∂u1∂x− k2∂u2∂x)dξx=−ξ= λρ dt ,u1(ξ, t) = u2(ξ, t) = 0, ξt=0u1 = T1, x = 0, - воздухu2 = T2, t = 0, - начальнаятемпература воды,λ - cкрытая теплота плавления.= 0.95Будем решать поставленную задачу методом подобия :xu1 = A1 + B1Φ u( 2a1 t ) 1xu2 = A2 + B2Φ u( 2a2 t ) 2x=0t=0= T1,= T2 .В любой момент времени t :ξa t = 0, A1 = T1,(2 1 )A1 + B1Φξa t = 0, A2 + B2 = T2 .(2 2 )A2 + B2Φξ = α t - нулевая изотерма.Выразим коэффициенты:A1 =Φ( α2 xξ)1−Φ( α 2 )2a, B1 = −B2 =A2 = T1,T1Φ( aα )2,T1−αΦ( 2 )2a.Используем условие:k1u1xk1T1ex=ξ2α− 4a21a1Φ( 2aα )1+− k2u2xk2Tex=ξ= λρξ1 .2α− 4a2a2(1 − Φ2α2a 2 )Проверим условие:u1(0, t) = T1 .96= − λραπ2.u1(0, t) = T1 +TαΦ( a )0- все верно !Заметим, что с ростом α числитель первого слагаемого убывает, а знаменательрастет.
Следовательно , первое слагаемое левой части рассматриваемого уравнениямонотонно убывает с ростом α . Проверим второе слагаемое. Для этого рассмотриминтеграл, являющийся с точностью до константы обратным ко второму слагаемому:I(x) =π2x[1 − Φ(x)]e =2∫x∫22e −α +x dα =x∞=∞∞e −(α − x)(α + x)dα ≤∫e −(α − x)2x dα =x1.2xЕго производная отрицательна:dI= − [1 +dxπxΦe x ] < 0 .2Вывод: оба слагаемых в левой части рассматриваемого уравнения монотонноубывают , а правая часть уравнения является возрастающей функцией. Следовательноуравнение имеет единственное решение.97По найденному значению параметра α , из условия границы фазовогоперехода мы получаем закон движения фазовой границы.α можно определить графически.левая часть уравненияправая часть уравненияαα098ГЛАВА 4Нелинейные задачи.В отличие от линейных задач, в нелинейном случае принципсуперпозиции не действует, поэтому нельзя искать решение в видеразложения по фундаментальной системе решений.Нелинейное уравнение аналитически мы можем решить только вотдельных случаях, поэтому чаще всего его приходится решать численно.Рассмотрим ряд физических задач, описываемых, нелинейнымиуравнениями.а ) Задача Хищник - Жертва.Рассмотрим модель караси и щуки в одном пруду : караси имеют всю еду исредства к существованию.
Щука ( хищник ) питается карасями. Чем меньшещук, тем больше карасей, так как их никто не ест. Чем больше карасей, тембольше и быстрее растет их популяция.Пусть x - число карасей, а y - число щук.Итак, изменение числа карасей происходит за счет двух факторов:рождение новых карасей и смерти за счет их нежелательных встреч с щуками.Количество их совместных встреч пропорционально произведению числакарасей и щук.99Пусть прирост количества количества щук пропорционален количествуих встреч с карасями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
