Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие (1133432), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , xn) ∈ D,{Ku(x) = μ(x), x ∈ Γ .Будем решать поставленную задачу численно.D - рассматриваемая область, Γ - граница области D , K - операторначальных и граничных условий, f (x) и μ(x) - заданные функции.Введем в рассматриваемой области D прямоугольную координатнуюсетку:ΓDwhγhhравномерная сетка - шаг изменения координатыпостоянный и равный :xm = hm, (m = 1, . . . , n) .114По различнымнаправлениям величинашага h бывает различной.Будем обозначать:x h - узлы сетки,w h-cовокупность точек x hвнутри области D ,γh - cовокупность точек x h,лежащих на границе Γобласти D .Введем следующие обозначения:f h = f (x h) ,μ h = μ(x h) .Наравне с дифференцируемой функцией введем понятие сеточной функции:сеточной функцией называется совокупность чисел, т.е. значений vi в узлахсетки.Близость сеточных функций наиболее удобно оценивать через нормы.Для удобства будем оценивать их через нормы равномерного приближения:v h = max vii.Теперь апроксимируем дифференциальные операторы поставленнойзадачи разностными аналогами:vi+1 − vi∂u∂2 u1 vi+1 − vi vi−1 − viLu =→ Lhv =, Lu =.→Lv=−h2()∂xh∂xhhh(разностные аналоги первой и второй производных.)Подставляя разностные аналоги дифференциальных операторов врассматриваемую задачу, мы получаем « апроксимированную задачу» ,которую мы будем называть разностной схемой:Lhv h = f h, x h ∈ w h,{Khv h = μ h, x h ∈ γh,где v h - сеточная функция.115Введем ряд определений и основных понятий для полученной разностной схемы:1) Разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальныйоператор L с точностью порядка k :Lu h − Lhu h ≤ Ch k, константа C не зависит от шага h !2) Разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальнуюзадачу с порядком k по следующему правилу:ε h ≤ Ch k .3) ε h характеризует погрешность аппроксимации, которая называетсяневязкой.4) Разностная схема называется устойчивой , если найдутся такие числа Mи N, что для любых ε h и η h :wh − vh = M εh + N ηh.5) Cвойство устойчивости: разностная схема называется корректнопоставленной , если она однозначно разрешима и ее решение непрерывнозависит от входных данных равномерно по шагу h .116Теперь рассмотрим начально - краевую задачу для уравнениятеплопроводности на отрезке и попробуем ее решить численно:ut − uxx = f (x, t),u(x,0) = φ(x),u(0, t) = μ0(t),u(1, t) = μ1(t) .Будем рассматривать изменение численного решения за период времениот 0 ≤ t ≤ T .Введем разностную сетку по пространственной координате:w h = {xm = hm, m = 0,1, .

. . } ,и по времени:w τ = {tn = τn, n = 0,1, . . . } .Тогда:w xτ = w x ⋅ w τ .Составим разностные аналоги первой и второй производных исходнойзадачи:^vm − vmvt =, - разностный аналог первой производной,τΛv =vm+1 − 2vm + vm−11 vm+1 − vm vm−1 − vm- разностный аналог−=2()hhhhвторой производной,где vm,n - значение сеточной функции в узле (xm, tn) на n - ом cлое ,^vm,n - значение сеточной функции в узле (xm, tn) на n + 1 -ом слое.117Будем называть шаблоном совокупность узлов сетки, значения сеточнойфункции, которой присутствуют в разностном уравнении.Теперь составим разностное уравнение исxодной задачи посоставленным нами разностными аналогами. Причем, вторую производнуюмы можем брать, как на n - ом , так и на n + 1 - ом слое.Если мы будем брать производную на n - ом слое:^vm − vm vm+1 − 2vm + vm−1n=+fmτh2явная разностная схемаm−1n+1mm+1шаблонnЕсли мы будем брать производную на n + 1 - ом слое:m−1mm+1^vm+1 − 2^vm + ^vm−1^vm − vmn=+fmτh2неявная разностная схемаn+1nшаблонТакже мы можем рассматривать разностные схемы с весами:δLhτ= vt − (δΛ^v + (1 − δ)Λv) = f mn .1) если δ = 0 - разностная схема является явной,2) если δ = 1 - разностная схема называется чисто неявной,3) если δ = 0,5 - разностная схема называется симметричной и разностный0,5оператор:Lhτ= vt − 0,5(Λ^v + Λv) = f mn .1184) точность аппроксимации явной и неявной разностных схем выражается:O (τ + h 2) ._5) точность аппроксимации cимметричной разностной схемы:O (τ 2 + h 2) ._Устойчивость явной и неявной разностной схемы проверяется спомощью необходимых условий устойчивости ( спектральный критерийНеймана) и достаточные условия устойчивости ( критерий Куранта) .Теперь перейдем к изложению спектрального критерия Неймана:Рассмотрим явную разностную схему с начальными условиями ( задачана бесконечной прямой) в виде гармоники некоторой частоты.Явная разностная схема:vm,n+1 − vm,nτ=vm+1,n − 2vm,n + vm−1,nh2,vm,0 = e iwm .Будем искать решение поставленной задачи в следующем виде:vm,n = λ ne iwm , где λ - число, зависящее от выбора w , котороенужно определить.119Сформулируем необходимое условие устойчивости:λ ≤ 1 для любой w - ограничение требуется для того, чтобырешение со временем не нарастало по модулю.Подставляем решение сеточной функции в разностное уравнение иполучаем:λ − 1 e iw − 2 + e −iw=.τh2Из разностного уравнения мы как раз и можем выразить λ :λ =1−4τ 2 wsin , λ ≤ 1 .2h22τh2- условная устойчивость .≤1⇒τ≤2h2Неявная разностная схема:vm,n+1 − vm,nτ=vm+1,n+1 − 2vm,n+1 + vm−1,n+1h2,vm,0 = e iwm .Ищем решение поставленной задачи в виде:vm,n = λ ne iwm .120Подставляем вид решения в поставленную разностную задачу иполучаем разностное уравнение:1−1λτe iw − 2 + e −iw=.h2Из полученного разностного уравнения легко можно выразить λ :λ=11+4τ2wsin2h2<1- выполнено при любом соотношении шагов !безусловная устойчивость.>1121Примеры:1.

Устойчива ли следующая разностная схема:yij+1 − yijτ=5j+1j+1yi+1− 2yij+1 + yi−1h2+ 2(yij − 1); τ = 0,1, h = 0,1 .Ответ: неявная схема безусловно устойчива !2. Устойчива ли следующая разностная схема:s− ynsyns+1 − yns yn+1−= 0; s = 0,1 . . .τhРешение:Сформулируем условие устойчивости по начальным данным:max yns ≤ Cmax yn0n.nПрименим необходимое условие устойчивости ( спектральный критерийНеймана) :λ(α) ≤ 1 + C1(τ), где C1 = const .λ(α) = 1 − r + re iα, r =τ= const .h( cпектральный оператор перехода ) .λ(α): yns = λ se iαn - решение задачи при начальных условиях,ψn = e iαn, n = 0, ± 1 . .

.122Спектр λ(α) представляет собой окружность на комплексной плоскости срадиусом r и имеющей центр в точке 1 − r .rТак как спектр не зависит от τ , то:λ(α) ≤ 1 + C1(τ) = λ(α) ≤ 1 .0При r < 1 спектральная окружность лежитв единичном круге, касаясь его в точке λ = 1,r = 1 совпадает с окружностью,r > 1 лежит вне единичного круга.1−r1λ3. Устойчива ли следующая разностная схема:yns+1 − ynsτ−syns − yn−1h= 0; yn0 = ψn .Решение:Будем искать решение поставленной разностной задачи в следующемвиде:yns = λ se iαn .Подставляем вид решения в поставленную задачу и приходим кразностному уравнению следующего вида:λ − 1 1 − e −iατ=; = r .τhh123Отсюда мы можем выразить λ(α) :λ(α) = 1 + r − re−iα, C(1 + r ; r)λrУсловие устойчивости:λ(α) ≤ 1011+rОтвет: ни при каких r разностная схема неустойчива !4. Устойчива ли следующая разностная схема:yns+1 − ynsτ−ssyn+1− yn−12h−τsy(n+12h 2s− 2yns + yn−1) = 0; s = 0,1, .

. . yn0 = ψn, n = 0, ± 1 . . .По прежнему будем искать решение в следующем виде:yns = λ se iαn .Подставляем вид решения в рассматриваемую нами задачу и получаемразностное уравнение следующего вида:λ − 1 e iα(n + 1) − e +iα(n − 1)τ−− 2 (e iα(n + 1) − 2 + e iα(n − 1)) = 0 .τ2h2he iα − e −iα= sinα .2i124Тогда:iαe −2+e4−iα=−(ei α2−e2i−i α22)= − sin2α.2λ−1i2τ 2 α= − sinα + sin=0 .τhh2Обозначим r =τи выразим λ :hλ = 1 + irsinα − 2r 2sin2α.2Проверяем спектральный критерий устойчивости:α21 − 2r 2sin2+ (rsinα) ≤ 1 .(2)2λ(α) =4α41 + 4r sin222α≤1 .244α2α2α2α4r sin − 4sin + 4sin cos≤0 .222224α≤0.(r − 1)sin22− 4r sin2α2+ r sinОтсюда:r ≤ 1 условие Неймана выполненоr ≤1 ⇒{r > 1 условие Неймана не выполненоα1255.

Устойчива ли следующая разностная схема:yns+1 − ynsτ−ssyn+1− yn−12h= 0; s = 0,1, . . . yn0 = ψn, n = 0, ± 1 . . .Ищем решение рассматриваемой разностной схемы в виде:yns = λ se iαn .Подставляем вид решения в разностную схему и получаем разностноеуравнение:1 + iriα−iαλ − 1 i(e − e ),=τi ⋅ 2hλ−1i= sinα ,τh0τλ − 1 = risinα, r = .h1Теперь выразим λ :λ = 1 + irsinα,λ(α) ≤ 1 .1 − irτ,hh → 0 τ меняется как O(h) , то спектр не лежит в единичном круге - условиеCпектр λ(α) заполняет вертикальный отрезок длины 2r .

Если r =Неймана не выполняется!Если при h → 0 τ меняется как O(h) τ ≃ rh 2 , то самая дальняя отточки λ = 0 точка λ(α) имеет модуль:2λ(α)α= π2=1 + r2 =τ1+=(h)21261 + τr ≤ 1 +rτ.αУсловие λ(α) ≤ 1 + C1τ будет выполнено при C1 =r.α6. Устойчива ли следующая разностная схема:yns+1 − 2yns + yns−1τ2−ssyn+1− 2yns + yn−1h2= 0; s = 0,1, . . . yn0 = φn, n = 0, ± 1 .

. .yn1 − yn0τ= ψn, n = 0, ± 1 . . .Снова будем искать решение заявленной задачи в следующем виде:yns = λ se iαn .Подставляем вид решения в разностную схему и получаем разностноеуравнение из которого нам нужно выразить λ :λ − 2 + λ −1 e iα − 2 + e −iα4=∗,22τh4λ − 2 + λ −142α.=−sin22τh2λ − 2 + λ −1α= − r 24sin2∗λ.222λ − 2λ + 1 = − λr 4sin2α2.αααλ 2 − 2λ 1 − 2r 2sin2− 1 = 1 + 4r 4sin4 − 4r 2sin2 − 1 =(2)222= 4r 2sin2τα 2 2α.r sin − 1 < 0, r =()22h127λ1(α) и λ2(α) - комплексно сопряженные иλ1(α) = 1,λ2(α) = 1 .Если r < 1 ⇒ то дискременант D(α) < 0, при любом α .r = 1 ⇒ то спектр заполняет всю окружность.r > 1 ⇒ при изменении α от 0 до π корни λ1(α) и λ2(α)движутся из точки λ = 1 по единичной окружности в противоположныхнаправлениях, пока не сольются в точке λ = − 1 .0r<100r=1r>1Ответ: условие устойчивости выполнено при r ≤ 1 !7.

Характеристики

Список файлов книги