Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Е о С) ж о М с~ ~Е ~3 О. ~ О~ СО с, сЬ Ф Ь И о о О, 3 Ю Ф о Ф Ю Ю Ю ~( таблицы видно, в каких пределах изменяются основные характеристики. 1.70. Распределение пористости и проницаемости в природных пористых материалах т = ) тг" (т) с(т. о (1. 14) Точно так же среднеквадратичное отклонение (дисперсия функции распределения) выражается формулой 1 о' = — ~ (т — т) ' г" (т) Йт, (1.15) Теперь предположим, что взято несколько образцов этого пористого материала, имеющих одинаковый объем Г. Предположим, что каждый образец разделен на п элементарных параллелепипедов.
Пористость образца равна т, =- — ~,ть 1 (1.16) ю= 1 где т; — пористость 1-го элементарного параллелепипеда. В соответствии с центральной предельной теоремой [221 функцию распределения для т, можно для больших и 20* 27 Так как структура природных пористых материалов более или менее неупорядочена, то не удивительно, что при измерении пористости и проницаемости на нескольких небольших образцах одного и того же материала результаты получаются разными. Вообще было замечено, что результаты получаются тем более близкими, чем большего объема берутся образцы.
Это объясняется следующим образом, Рассмотрим большой кусок пористого материала и мысленно разделим его на малые элементарные прямоугольные параллелепипеды. Вследствие беспорядочности поровой структуры мы получим некоторое распределение этих элементов по пор истости. Обозначим соответствующую фу нкцию распределения через Р (т), так что г" (т) йт есть доля элементов, пористость которых заключена между значениями т и т + г)т. Средняя по всем элементам пористость и, следовательно, пористость всего куска равна 1 приближенно заменить гауссовым распределением.
Таким образом, обозначив функцию распределения для т, через 6(т,,), на основании центральной предельной теоремы получим 6 (т, ) = =,. ехр — =--, (1.17) ! (шо. — ш) у'2~(а/р й) ~ 2(~/т'л) при условии, что 0(<т((1. Из формулы (1.17) видно, что дисперсия распределения пористостя по образцам равна дисперсии распределения пористости по элементарным параллелепипедам, деленной на )~ а; средние значения в обоих случаях совпадают. Так как число элементов п в образце пропорционально его объему г', то наблюдаемая на образцах дисперсия обратно пропорциональна квадратному корню из объема К Если обозначить объем элементарного параллелепипеда через е, то получим, что п=У!е, (1.18) и поэтому (1. 19) ' - у р где и,, — дисперсия распределения пористости по образцам. Для очень маленьких объемов элементарных параллелепипедов (е-+О) становятся возможными только два значения пористостн: 0 или 1.
При этом доля элементарных параллелепипедов, имеющих нулевую пористость, стремится к 1 — т, а доля элементарных параллелепипедов, обладающих порнстостью, равной 1, стремится к т. Таким образом, можно ожидать, что для некоторого критического малого значения е, скажем е = е, получим Дт (1.20) 1пп ) Р(т) Йп =1 — т, "" о где Ьт — бесконечно малое приращение т. Тогда из определения и следует ) а'= 1)пг ) (т — т)'Е(т) ггт =иг(1 — т), (1.22) "о и поэтому функция распределения пористости по образцам, объем которых )у;ъа„принимает вид ~У 2пса ж (! — лг) ) 2ае лс (! — т) ! Область применимости формулы (1.23) к природным пористым материалам исследована еще очень слабо.
Однако при выводе этой формулы использовались только допущения, 0,га дгб о дон д!а дгз дггг с гз дза ал дба Р н с !. 6. Распределение пористости среди образцов объемом 20 слез из вудбвйиского песчаника. Для каждой кривой было ис пользовано свьнпе 400 образцов. Па оси абсцисс пористасть, лс. По оси ординат доли образцов. вмеюнснх пористость, в диапазоне гю — о.ооз, ю г-о.ооз!. Кривые соответствуют различным диапазонам проницаемости в мнллидарси.
л — ! — зз, и — зоо — ооо. что поровая структура пространственно беспорядочна и что )у'рр во. Характеристический объем е, должен зависеть от размеров и степени однородности пор и поэтому должен быть 29 связан с проницаемостью. Это было исследовано для ряда песчаников, На рис. 1.6 показаны две типичные кривые распределения пористости, построенные для вудбайнского песчаника из техасского месторождения Галф Каст. Для построения кривых был выбран интервал пористости, О,га 0гб 0г4 О,гг 0,г0 ага ' га 700 !500 Р ис. ц 7. Спадь между средней пористостыо и проницаемостью ддя вудбайиского песяаннка, По оси абсцисс средняя проницаемость а мияяидарси.
По осн ординат. средняя пористость. равный 0,01. На рис, 1.7, 1.8 приведена наблюдаемая зависимость элементарного объема а, и средней пористости т от проницаемости. В настоящее время еще не создана теория, которая бы достаточноточно описывала распределение проницаемости в природных материалах. Это в первую очередь связано с тем, что результаты измерения проницаемости в неоднородных образцах зависят от направления потока жидкости, используемой для измерений. Некоторые данные о распределении проницаемости опубликованы отдельными исследователями. Одно из таких распределений показано на рис. 1.9.
Важной характеристикой распределений проницаемости является их асимметрия. Поэтому в противоположность тому, что наблюдается для 30 о и 1000 00ПО 100 Р и с. 1. о. Зависимость параметра ее от проницаемости дли вудбайнского песчаника. Па оси абсцисс средняя праницаеместь и мнллидарси Пе асн ардипатс параметр ее (с.нП а.го 0,00 и гоп Шп 000 000 1000 1000 ИПО Рис. 1. 9.
Распределение проницаемости дли природного песчаника (Лоу, 1947). Пе оси абсцисс: проницаемость 1< н миллидарси. Пе оси ординат: частата. пористости, наиболее часто появляющееся значение проницаемости ближе к среднему гармоническому значению функции распределения, чем к среднему арифметическому. В случае же пористости среднеарифметическое значение является одновременно и наиболее часто встречающимся. !.80. Механические свойства пористых материалов Обычно в задачах о течении жидкости в пористых средах механические свойства этих сред не играют роли. Однако в частном случае глубоко залегающих осадочных пород механические свойства пористой среды могут оказывать определенное влияние на течение нефти, воды или газа. О ДОЗ Пуо а13 Пгп Пг3 Р н с 1.
19. Вороная гжнмягмогть горнми пород (Холл, 1953). По оги абсцисс пористагть. По оги ординат сжимаемость пар Х 1О' (огггогпеггие намеиеииа вороного объема и пороваму объему, саотвстствуюгцее нтменеиню давления ва 1 фгтагп/дмйи'), Э-песеании, 0--иааегтвягг В нефтяной промышленности проводился ряд исследований по сжимаемости и прочности горных пород. 32 Сжимаемость пористых горных пор о д.
Сжимаемость определяется соотношением др с= — — — ', да (1. 24) где р — внешнее приложенное гидростатическое давление. Легко обнаруживается, что сжимаемость пористых сред зависит от пористости. Это показано на рис. 1.10 для не- скольких типов горных пород'. Р и с. 1. 11. Разрушение образков горной породы под действием сжимающей нагрузки (Робинсон, 1959). Сопротивление сжатию.
При изучении пористых известняков, песчаников и глинистых сланцев было установлено, что напряженное состояние пористой породы сильно влияет на сопротивление породы сжатию. В частности, величина разности между давлением жидкости внутри образца и внешним давлением на образец определяет характер механического разрушения. При возрастании превышения внешнего давления над внутренним характер разрушения изменяется от хрупкого до вязкого.
Предел текучести с ростом этого превышения увеличивается Пй). На рис. 1.11 показаны два вида разрушения: хрупкое разрушение образца (в центре); вязкодеформированный образец (справа); слева — типичный образец породы. ' Сжнмаемость пор и сжимаемость зерен можно определить таким же образом, как и общую сжнмаемость, в задаче 3 показано, что зти величины связаны между собой. Строго говоря, следовало бы рассматривать отдельно влияние порового и внешнего давлений. 33 Результаты некоторых исследований, в особенности исследований, проводившихся в керамической промышленности 1201„показали, что прочность пористых материалов, поднергшихся консолидации, в значительной степени определяется способом, которым консолидация осуществлялась.
Так, если консолидация сухого пористого материала происходила путем перекристаллизации под действием внешнего давления, то при возрастании приложенного давления сопротивление материала сжатию и растяжению увеличивалось. Задачи 1. Пользуясь определением пористости, показать, что если образец пористого материала, имеющий объем Р и пористость и, разрезать на и частей объема Г„1 =- 1, 2..., то т= — ~ тУе С' ;=! где т, — пористость йй части. Рассмотреть также случай когда 1/, одинаковы.
2. Показать, что для кубичсской упаковки шаров радиуса 14 2К' 6 где г — минимальный радиус поры. Сравнить минимальный радиус поры с величиной К/т из модифицированного уравнения Козени, в котором положить т = 1,5; с = 0,56. (11ужно учесть, что при измерении дтины в сл~ величина проницаемости К из уравнения Козени получается в сл'.) 3. Используя выражения для сжимаемостей пор собственно матерна та и среды в целом дГ„ ~ др ~ др„ Р„ дл ' ' р да ' ' р„ Ф показать, что из определения пористости следует с, =- 11 — гп) с,, + тс„, где индексами о., т.
и п. обозначены величины, относящиеся соответственно к образцу в целом, к его твердой части и к порам. 34 ЛИТЕРАТУРА 1 А 1Ь у 1 Е, Ви(1 Ат Аяяос Регго|еи|л бео1, 14 (!930). 2 Вгоойя С 5, Рпгсе!1 Тхг. Р, Тгалз А)МЕ, 195 (1952), 289. 3 Впгд|пе М Т, бопгпау Ь 5, Вегсйег1х Р Р., Тгалз А1МЕ, 189 (1950), !95 4 Саг|пап Р С, 7 Кос Сает 1лг(, 57 (1938), 225 5 СЬа!Ь)еу 7 % Согп(ге!6 5, Рагй Н, Ясгелсе,!10 (!949), 295 6 Рагсу Н, 1.ез Гоп!а|пег рпЫ|г)пея де !а у|Не г)е Рцоп Ра)- топ(, Рапз, 1856 7 Ра1! 5, Рая|я Р Н, Тгаля А1МЕ, 195 (1952), 329 8 Сгга!оп 1 С, Егаяег Н Я, 7 ог бео1,43 (1935), 785. 9 Сгейй 8 Я ТЬе Бпг1асе СЬет|з|гу о1 Зо!|йч СЬартап апй На)1, Ьопйоп, Ре|г|иг>!6 РпЬ!|яЬ|пй, Меж Уогй, 1951 !О Н а ! 1 Н Х 7 Регги(еит Тесдпо1, Тесй Ыо1е 149, Зап, 1953 11 Козе пу 1, В Вег 6||елее Аеаг( АЬ1 !1, а, 136 (!927 а), 271 12 КгптЬгеп % С Моп1| Сг Р, Тгаля АГМЕ, 151 (!943), 153 13 Ь а|с 5, Тытя АГМЕ, !55 (1947), 200 14 1. о с!| е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
