К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Это значит, что процесс перераспределения давления в трещинах будет происходить с большой скоростью и в трещинах за сравнительно небольшое время установится новое распределение давления. Из-за малой проницаемости блоков й, жидкость из них выходит медленно и давление в блоках длительное время сохраняет свое начальное значение. Тем самым между жидкостью, находящейся в блоке, и жидкостью, его окружающей, создается разность давлений.
В результате перетока части жидкости из блока в трещины происходит постепенное выравнивание давлений. Этот процесс будет тем длительнее, чем меньше проницаемость блока й.„больше его размеры, пористость т„сжимаемость жидкости р„и порового пространства 1),. Таким образом, характеристики движения в блоках и трещинах оказываются различными: давление в блоках ра больше, чем давление в трещинах р„скорость фильтрации в блоках ша значительно меньше, чем в трещинах ш,. Поэтому трещиновато-пористую среду рассматривают как совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов; 1) среда 1 — укрупненная среда, в которой роль зерен играют пористые блоки, которые рассматриваются как непроницаемые, а роль поровых каналов — трещины, давление в этой среде равно ры скорость фильтрации ш,; 2) среда 2— система пористых блоков, состоящих из зерен, разделенных мелкими порами, давление в ней достигает р„скорость фильтрации ша Таким образом, р, — среднее давление в трещинах в окрестности данной точки, р, — среднее давление в блоках, аналогично для скоростей фильтрации.
Важная особенность неустановившейся фильтрации в трещиновато-пористой среде — интенсивный обмен жидкостью между обеими средами, т. е. между пористыми блоками и трещинами, обусловленный различием давлений в этих средах р, и р,. Обмен жидкостью происходит при достаточно медленном изменении давлений с течением времени, поэтому этот процесс можно считать квазистационарным, т. е.
не зависящим явно от времени. Очевидно, что при движении слабосжимаемой жидкости масса жидкости, вытекающей из блоков в трещины за единицу времени в единице объема породы (интенсивность перетока д), пропорциональна разности давлений р,— р„, плотности ро (считая, что плотность мало изменяется в интервале давлений от р„до р,) и обратно пропорциональна вязкости 1а, т. е. (12.10) Соотношение (12.9) должно быть уточнено для случая, если плотность значительно зависит от давления. Например, при фильтрации идеального газа интенсивность перетоков из блоков в трещины представляется в виде РО (рг р!) и= сгг Р2Ро где Р, — фиксиРованное давление, соответствУющее плотности Рг. хх др1 Юхх дг (12.13) др, 'Рхх дг (12.14) Уа дрх шхх ю дх Ух дрх шху = — — — 1 ду 268 й З.
ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРЕЩИНОВАТЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-НОРИСТЫХ СРЕДАХ Выведем дифференциальные уравнения движения жидкости и газа в деформнруемой трещиновато-пористой среде, считая, что в каждой точке имеется два давления (р, — в системе трещин, р, — в пористых блоках) н две скорости фильтрации — гр, н гв, соответственно.
Перетокн между средами определяются формулами (12.9) нли (12.10). При составлении дифференциальных уравнений записывают два уравнения неразрывности — одно для фильтрации в трещинах (среда 1), другое для фильтрации в пористых блоках (среда 2). Уравнение баланса жидкости в трещинах, т. е. уравнение неразрывности, отличается от уравнения (3.3) только наличием в правой части добавочного члена, представляющего собой массу жидкости (или газа) д, перетекающей за единицу времени нз блоков в трещины в единице объема среды: .+,+ д(Рвхх) + д(Рвху) д(Рвм) ( д(Ртй где р — плотность жидкости илн газа при давлении р,. Для фильтрации в пористых блоках уравнение неразрывности принимает вид д(Рвв) + д(рвхд) д(Рвхх) 1 д(Рвх),~ (1212) -[ дх ду дг ) д( где Р— плотность жидкости нлн газа при давлении р,. Для чисто трещнноватого пласта д = 0 и остается только уравнение (12.11), так как в блоках не содержится жидкости.
Считая, что выполняется линейный закон Дарси, можем написать дифференциальные уравнения движения в системе трещин и в пористых блоках соответственно: У~ др, Ух дрх 'Вхх гух Р дх " Р ду К уравнениям (12.11) — (12.14) должны быть добавлены зависимости плотности р, пористостей обеих сред т, и т, и проницаемостей А, и й, от давлений р, и р,. Подставив выражения (12.13), (12.14), а также (12.9) для упругой жидкости или (12.10) для газа в уравнения неразрывности (12Л1) н (12.12), получим систему уравнений неустановившейся фильтрации любого однородного флюида в трещиновато-пористой среде в общем виде дг 1.
Р дг 1 д( Х и' И(рз) — !(р1))' (12.15) й а. устАнОВиВшАяся ОдномернАя ФильтРАция ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРЕЩИНОВАТОМ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ Рассмотрим установившуюся фильтрацию жидкости и газа в деформируемом чисто трещиноватом пласте, в котором проницаемость изменяется в зависимости от давления по одному нз законов (12.5)— (12.8).
В этом случае правая часть уравнения (12.!5) обращается в нуль, и дифференциальное уравнение для давления в трещинах принимает вид р(р)«1(р) др1 д ~ р(р)а (р) др) дх и дх .) ду (. Р ду ( 1+ ~ ~1+ (12.17) дав Р дг1 Введем функцию Лейбензона ~ р(р)М(р),( +С Р (12.18) 269 + ~ = — (р (рт) ш2 (рй)) + д Г р(рд(ч(р~) др~ 1 д дг с Р дг ! д( +ъ Р' 1('(р) — ('(р)) (12.16) Р где )" (р) = р — для упругой жидкости; (" (р) = рЧ2р, — для идеального газа. Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р, и р, к ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. 2 5, гл. 3).
подобно тому, как это сделано в гл. 5; можно показать, что она удовлетворяет уравнению Лапласа (12.19) дхс дус дгс Вспоминая, что для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в среде с постоянной проницаемостью изменение давления описывается уравнением Лапласа, можно провести аналогию между установившейся фильтрацией жидкости в недеформируемой пористой среде (см. гл. 4) и установившейся фильтрацией жидкости и газа в деформируемой трещиноватой среде: все выведенные в 5 2 гл. 4 закономерности для несжимаемой жидкости можно использовать для описания течения в деформируемой породе, заменив давление р на функцию Лейбензона У (при одинаковых граничных условиях и в пластах одинаковой геометрии).
Для одномерной фильтрации массовый дебит можно определить из дифференциального уравнения — Р ы(з) = — — ' ез(э). (12.20) И д дк Рассмотрим фильтрацию несжимаемой жидкости (р = сопз() с постоянной вязкостью (р = сопз1). Найдем выражение функции Лейбензона для экспоненциальной зависимости проницаемости от давления (12.7): ке — а (р,— р) е У=. ) ~ й",е "~Р' Р'ар+С = — ' +С (1221) .)" и (с а и выведем формулы дебита и распределения давления для плоско- радиальной фильтрации жидкости в круговом пласте к скважине. Лебит определится по формуле Дюпюи (4.35), в которой давления р, и р, должны быть заменены значениями функции Лейбензона рФ е а (рс рк) рье е "(ре рс) У,=- — +С, У,=— +С. )с а а (12.22) При этом если принять, что р, =- рк, то эллрле[) — е а (рк-рс)) ! (12.23) )са (ив )с к хс а объемный дебит выразится формулой Я= хпе(е (1 — е а (рк рс)) (12.
24) )са (п ()се(сс) Индикаторная диаграмма, описываемая формулой (12.24), криволинейна (рис, 12.3), причем для добывающих скважин она имеет выпуклость к оси дебитов, а для нагнетательных (р, рк) — к оси депрессий. 270 р а/сйт рс др,мпп дк л Рис. 12.о. Индикаторная линия для добывая(- щей (!) и натнетательной (2) скважин в деформируемом трещиноватом пласте Рир. (2.4. Кривые распределения давления; 1 — и иедеформируемом пласте (а = — сооао: т — и трещинонатом пласте 0 (а =: а! ехр (! — -.:(р,-рп Подставляя в формулу (4.35) вместо давлений р, рк и р, выражения функции Лейбензона У по формуле (12.21), 9а, и ра, по формулам (12.22), будем иметь Š— 'с (ра рк) е а (ра рс) е (Р Р) е а(по Рк) 1п —" Рк !ив тс Если ро = )рк, то 1 — е (Рк Рс) ни ,— а (рк — р) Г 1п— сс и распределение давления определяется формулой 1 е а(вк Рс) йа Р =- Рк + — 1и 1 1 — 1п —" а )(к т 1п— тс (12.
25) На рис. 12.4 показаны кривые распределения давления, построенные по зависимостям (12.25) и (4.32) для недеформируемого пласта. Из сравнения кривых следует, что в деформируемом трещиноватом пласте за счет уменьшения раскрытия трещин при снижении пластового давления сопротивления увеличиваются и давление падает более резко, чем в недеформируемом пласте. Качественные особенности, характеризующие соотношения (12.24) и (12.25), имеют место также и для зависимостей проницаемости от давления, выраженных формулами (12,б) н (12.8).
Большое практическое значение имеет определение параметров трещиноватого пласта — проницаемости (т! и коэффициента а. о Предложен следующий метод обработки индикаторных диаграмм (выпуклых к оси дебитов для добывающих скважин). Рассмотрим 271 этот метод применительно к формуле (12.24), На индикаторной диаграмме (рис. 12.5) определяются две площади: аа, (л/(Лр)' — между кривой Я (Лр) и осью ординат (она за- о ШтРИХОВана) И /в = 91ЛР, — ПЛОЩаДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКа ДЛЯ СО- ответствующей точки индикаторной линии. Отношение этих площадей гтеоает / Да подсчитывается теоретически с использованием формулы (12.24), и оказывается, что г зависит только от од- ной безразмерной величины акр: а аг а ! 1 г= — = 1 е-вал; чар (12.26) Задаются различные значения абр, и по формуле (12.2Б) подсчитываются ой соответствующие значения г, которые рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
