К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В качестве примера рассмотрим построение дискретных аналогов краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: (1З.1) дк' дг Х, х(Хв, 1)0 и(х, О)=-<р(х) при 1=0; и(Хы 1)=зр,(с) при х — — Х„. и(Х„()=-фв(1) при х= — Х, Напомним, что уравнение этого типа описывает распределение давления в однородном пласте при упругом режиме фильтрации слабосжимаемой жидкости. Разделим отрезок Х, ( х ( Х, на М одинаковых частей точками х, (1 = О, 1, 2,..., М), отстоящими одна от другой на расстоянии Ах = (Х,— Х,)1М (рис. 13.4).
Выразим производную даи/дхв через значения функции и в дискретных точках х;; при этом будем использовать обозначения и (хс) =им Известно несколько способов построения дискретных аналогов (разностной аппроксимации) производных. Наиболее распространенный способ основан на использовании метода разложения функций в ряд Тейлора. Запишем выражение ряда Тейлора для функции и (х) в окрестности точки хг при положительном приращении аргумента; Акз и (хг+ Лх) =- и (х,) + ик (х~) Ах+ цкк (хг) — + + (в+П г ° ь дав+1 +цк... к(Х~) ' ' (и+ 1)~ 281 То же выражение в индексном обозначении имеет вид Дхс ° («+С) ахи+1 исс.с=ис+исЛх+ис — +...
ис 2 (и+ 1)! где д"+ и (х,.) хс ( х; < хс+,. дх"+" (и) д"и (хс), ' <л4-с) и, ис дх" Аналогично записывается ращении аргумента: разложение при отрицательном при- ис, = и; — исЛх+ и; — + ° + ( — 1) и; Дхс и с«ип дхиеи 2! (и+ )п Напомним, что ряд Тейлора может содержать столько членов, сколько производных имеет функция и (х). Из первого разложения можем получить выражение для первой производной — правую разность ис«.1 — ис ° Дх - ]Дх« ис= — и; — — ис —— Дх 2! 3! с] +О(лх). Дх Из второго разложения получаем левую разность Лх 2с 3! Дх Наконец, вычтя второе разложение из первого, получим центральную разность ис+1 — и1-1 „, ДХ« иС+1 — иС-1 ° ° 1 2Дх ' 3! 2Дх Как видно из приведенных выражений, односторонние разности (левая и правая) при малых приращениях аппроксимируют первую производную с погрешностью О (Лх), пропорциональной первой степени Ьх («порядка Лхъ), Центральная разность аппроксимирует производную с погрешностью О (Лхх), т.
е.точнее. Просуммировав оба исходных разложения, после несложных преобразований получим аппроксимацию второй производной ис+, — 2си+ ис, ССЧ) 2Дх« 1 Дх' 1 4! ис«., — 2и; + ис, + О (Л х) Дхс Используя полученную аппроксимацию второй производной, построим полудискретный аналог краевой задачи (13.1). Для этого область решения Е) )(Х, ( х ~ Хх] Х [О< (]) заменим совокупностью равноотстоящих прямых х = х„где с = О, 1, 2,... )И (см.
рис. 13.3), составляющих полудискретный аналог области: 282 Ю» (1) (х~ Х [О ~ 8)), 1 = О, 1, 2,..., М. Заменим в исходном уравнении вторую производную ее дискретным аналогом (!3.2). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений — — — (и,+,(1) — 2и;®+и;,(Я=О, 1=1, 2,..., М вЂ” 1, ди~ 1 и л' 6= Лх. Дискретный аналог начального условия принимает вид ~р(хс)=<ро при (=О 1=0, 1, 2, ..., М. Дополним полученные соотношения граничными условиями и»=фг(1), при х=-Х,==х», ~К,(0)=<у»', им — — Ф,(Г), пРи х=-Х»:=хм, ф,(0)=~Рм. Исходная задача для уравнения в частных производных, за- данного в непрерывной области Р с начальными и граничными ус- ловиями, заменяется задачей для системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений, определенных на прямых х = хо где 1 =- 1, 2, ..., М вЂ” 1 с начальными условиями. В этом состоит сущность метода прямых, который мы фактически только что рассмотрели.
Преимущество его заключается в том, что решать обыкновенные дифференциальные уравнения, в прин- ципе, значительно проще, чем уравнения в частных производных. Эти преимущества ярко проявляются в том случае, когда область решения имеет прямоугольную форму, а уравнения являются ли- нейными с постоянными коэффициентами. Если же форма области решения оказывается достаточно сложной, а уравнения имеют пе- ременные коэффициенты или являются нелинейными, использова- ние метода прямых вызывает серьезные затруднения. В этих случаях для решения задач целесообразно использовать метод конечных разностей. Дискретный аналог области, в которой ищется решение, представляется в виде сетки (см.
рис. 13.2). Поэ- тому метод конечных разностей иногда называют методом сеток. Отдельные точки сетки называются узлами. Если шаги сетки Лх н 01 постоянны, то сеточная область (сетка) называется регуляр- ной. В общем случае использование регулярной сетки предпочти- тельнее, но иногда целесообразно использовать и нерегулярные сетки с переменными шагами.
Рассмотрим ту же краевую задачу (13.1), описывающую филь- трацию упругой жидкости. Для получения дискретного (конечно- разностного) аналога краевой задачи нужно в конечно-разностной форме представить уравнения, начальные и граничные условия. Частная производная по времени обычно заменяется односто- ронней разностью ди и(хь ~и+,1 — и(хь г„) +(1(л() дг й! Введя для удобства обозначения и(хо 1„)= и7, б(=т, 2зз можно записать ди и~+ — и~ «+1 а дг С учетом дискретного аналога второй частной производной по пространственной координате (13.2) рассматриваемое дифференциальное уравнение упругого режима в конечно-разностной форме сводится к системе уравнений и,+ — и,. и+1 и 1 — — (и;,,— 2и,+и, 1)=-О, 1=1, 2,..., М вЂ” 1 т 1Р (!3.3) л=1, 2, Дискретный аналог начального условия строится достаточно просто и записывается в виде л= — О, и~ =-<р(хс)==ро 1=0, М.
(13.4) По аналогичной схеме строятся дискретные аналоги граничных условий первого рода: и", ф,(1„)=— ф", при 1=0, л=-1, 2, им=фи(1)=фз, при 1=-М, л=-1, 2,... (13.5) Более сложным является вопрос о построении дискретных ана- логов граничных условий, в состав которых входят производ- ные. Пусть, например, одно из граничных условий задано в виде при х = Хз ди!дх =- О, (13.6) что физически означает непроницаемость границы х =- Х,.
Ди- скретный аналог условия (13.6) можно построить несколькими спо- собами. Наиболее удобный основан на использовании метода от- ражения. При его реализации в рассмотрение дополнительно вво- дится фиктивная точка за пределами области решения хмм, == = (М + 1) Лх.
Представляя дискретный аналог первой произ- водной по схеме центральных разностей, получим ди ( име,— -им дх ~~=-х, 2Лх На этом основании дискретный аналог условия (13.6) можно представить в виде им+1 =им — 1 л =-1 (13.7) Как видно из приведенной записи, исходная краевая задача для дифференциального уравнения в конечно-разностной постановке сводится к системе алгебраических уравнений и тем самым существенно упрощается.
В таком упрощении заключаются все преимущества метода конечных разностей. Наибольшую эффективность использование метода конечных разностей дает при численном решении нелинейных уравнений в областях сложной формы, когда 284 точные или приближенные аналитические решения получить не удается или вообще невозможно. Не следует думать, однако, что построение конечио-разностных решений любых задач не вызывает никаких затруднений.
В действительности это достаточно сложный процесс, который ие всегда приводит к удовлетворительному результату. й 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т. е. решить систему конечноразностных уравнений, Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. Говорят, что разностное решение иь сходится к решению исходной задачи и, если норма разности этих решений в узлах сетки стремится к нулю при стремлении' к нулю шагов дискретизации !~и"; — (и",)ь)~ — ~0 при (й, т) — О.
В зависимости от свойств искомых функций и решаемых задач в качестве норм могут приниматься различные величины (максимум абсолютных величин разностей, средняя квадратическая разность и т. д.). Конечно-разностное решение представляет практический интерес только в том случае, если имеет место его сходимость к точному решению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
