И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Н. Веригина задачи о нагнетании с постоянным расходом одной упругой жидкости в пласт, ранее аанятый другой упругой жидкостью [10[. Можно отметить дополнительно работу Л. И. Рубинштейна [Н ), в которой проблема сведена к рассмотрению некоторой системы интегральных уравнений, весьма сложной для вычислений, работу Б. Я.
Любава Н2 [ и основанную на ней статью А. Ш. Казымова [13), а также статью И. Г. Портнова [14[. В последних рассмотрены некоторые частные случаи аадач типа Стефана. Несмотря на несомненный теоретический интерес, использование предлагаемых МЕтОдОВ дЛя ОбщЕГО СЛуЧая ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗаКОНа ИЗМЕНЕНИЯ 6г (1) ЗанаЧИ- ваемого яли извлекаемого газа затруднительно. Ряд американских работ посвящен решению различных задач о поведении газа в водоносном пласте при граничных условиях на некоторых фиксированных окружностях В, и Вз, исходя нз известных решений Херста, Ван-Эвердингена и Маскета для упругого режима фильтрации в водоносном пласте [Лт. 1. 11; 15). В этих раоотах приведен ряд примеров расчетов, выполненных с использованием быстродействующих машин и аналогов устройств [16[.
Перемещение границы раздела газ — вода в этих работах учитывается приближенно, при этом репгение, справедливое при фиксированных границах, распространяется на случай их движения [16 [. Ниже предлагается решение, в котором в отличие от более ранней работы автора [17[ непосредственно учитываются условия на подвижной границе раздела между газом и водой. Как укааыеалось выше, вес газа в пласте в каждый момент времеви считается известным.
Приводя этот вес к объему ири нозвмальных условиях р», Тго аа которые обычно принимаются ря = рэ„= 1 пГ[см, Т» =- 20' С = 293'К, получаем и т о ЬВэ (Г) —" — » — ==И'я(Г), (Х. 3. 7) р„т где игя ( э) — известнаЯ фУнкциЯ вРемени (газ идеальный); Р = Р [В ( 1) ) — давление газа в пласте; Т вЂ” температура газа в пласте; о — средняя газонасыщенность в объеме я тйВз (1). При вытеснении воды газом и и и мало отличаются друг от друга (5 2 гл. 1Х) и в первом приближении можно считать й — и. Задача, таким образом, сводится к интегрированию уравнения (Х, 3.
1) в области гм В (е) при условиях (Х. 3. 6)и (Х. 3. 7) с одновременным нахождением закона движения В ( 1). Здесь следует сделать следующее замечание. По постановке задачи предполагается в каждый момент времени известным вес газа в пласте внутри круга радиУсом В (г). Вне этого круга находится чистая вода, для которой считается справедливым уравнение теплопроводности (Х. 3.
1). е)В Таким образом, строго говоря, прп обратном извлечении газа, когда — ч.,О, дэ мы должны считать, что газ вытесняется полностью, поскольку задаем его вес внутри расчетного круга В (е). В действительности же, как Упоминалось выше, хотя газ вытесняется водой гораздо полнее, чем вода газом, все же некоторое 333 Тыи Х. Некоторые специальные еидачи вытеснении в нвриствй среде х сх р(г,с)=ри+т..— ~ — — е дт. р 1 <с (т) х и(с — х> ' 4л13 1 — т о (Х. 3. 8) Уравнение (Х. 3.
8) имеет реальный смысл в области с )~ В (1), включан с = В (Ти Интенсивность источника ()в (т) пока неизвестна. Идея предлагаемого метода заключается в использовании решения в форме интеграла (Х. 3. 8), формально справедливого во всей области г >О, что позволят набежать осложнений, связанных с нахождением специальных видов решения уравнения теплопроводности (Х. 3. 1), удовлетворяющих тем илн иным условиям на подвижной гравице. Вместо этого постараемся определить интенсивность Дв (т) так, чтобы нужные нам условия удовлетворялись. Из формулы (Х. 3.
6) получим с нх юн в ° е хик — т) дт дВ В Р сэ(т) а влах ~ (с — т)' о (Х. 3. 9) Уравнения (Х.3. 8) при г=В(г), (Х.3. 9) и (Х. 3. 7) образуют аамквутую систему для трех неизвестных функций ф,(х), р (В(с)) и В (х), причем начальный радиус В (0) считается известным. Вместо В (х) целесообразно ввести объем газа в пласте У (Х): хс т и ХВх (Х) = У =- У (С) ° Из ураннений (Х.3.
8), (Х. 3. 9) в (Х.3. 7) получвм 1 У(С> ( Е.(т) р(Х)=р(В(Х))=р=р„+ " - (-Π— '( )-е 4"" "(' — ) дт, (Х.3.11) 4я)с)с ) с — т о у (с) ")в (т) вилис вь (с — т) дг 4нятаа / (г — т)х о РИ) У(х) Тя )р рнТ (Х. 3. 13) Нетрудно видеть, что для реального газа с уравненном состояния р/т = =х (р, Т) ВТ вместо (Х. 3. 13) будет Р (х) ) (х) Тн х (Ри Т«) ))с (х) Трн х(р, Т) (Х. 3. 13а) количество газа порядка 10 — 15всв при обратном движении воды застреваеь. в тупиковых порах и остается невытесненным.
Отсюда следует, что, задавая коэффициент а, в формулах (Х. 3. 6) с учетом яеполноты вытеснения газа водой и одновременно задавая вес газа внутри расчетного контура гаэоносности В (с),мы по существу учитываем кннематический характер процессов, связаяных с неполнотой вытеснения,но вместе с тем включаем невытесненный гаэ в общий расчетный вес газа И'в (с), что, конечно, связаяо с некоторой погрешностью.
Можно аредполагатьн что при таком методе расчета давление газа определяется достаточно точно. Будем искать распределение давления в водяном пласте в виде интеграла, выражающего в теоряи теплопроводности суммарный эффект непрерывно действующего теплового источника в начале координат (1 3, гл. УН1): б 8. Расчет движения говового объема в водоносном пласте 888 где в = г (Р, Т) — коэффициент сжимаемости газа, определяемый обычно по графикам или эмпирическим формулам; )( — газовая постоянная.
Система (Х. 3. 11), (Х. 3. 12), (Х. 3. 13) или (Х. 3. 13а) эквивалентна системе (Х.3.8), (Х.З.О) и (Х.З.7). Введем произаольный масштаб времени Тв и беэраамеркые переменные — (с), О. (т) Ъ() 7'е ' То ' йа " ' да =6(х), (Х. 3. 14) р — Рн р — Рн Р ()((О) Р - 1 (Π— — — — = — =Р(х), а=а(х)=- Рн Рн 4нятайТв (Х.
3. 15) причем о (0) предполагается нелестной. Уравнения (Х. 3. 11). (Х. 3. 12), (Х. 3. 13) а безразмерных переменных принимают енд: а (х) Р=1+ — ~ — — — е "— ч д;, д (с) (Х. 3. 16) — 4л~ *:3 о да (" Ч (С) — — 1 )срн 1 Рн х и (х) =()а ( е " 4 дт ()= — " = — ", (Х.З.17) дх .) (х — й)в 4'с рита 4л К а о Р (х) а (х) =7 (х) 1(х) =— ТРв (('я (с) 7нРн 4нл тааТв (Х. 3. 19) 1 (х) — известная безразмерная функция беэраэмеркого времени х. Для реального газа с учетом (Х 3. 13а) вместо (Х.
3. 18) получим (Рн н) .(Р„Р, Т) (Х. 3. 18а) Ураннения (Х. 3. 16), (Х. 3. 17), (Х. 3. 18) или (Х. 3. 18а) образуют аамкиутую систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений для трех кеиэаесткых функций Р =- Р (х), а = а (х), д = д (х). С учетом (Х. 3. 6) и (Х.
3. 17), коэффициент р будет, вообще говоря, иметь различное значение: да с( а 11 = орг, — ) 0 и () = ()в, — <О. При любом виде функции 7 (х), аа исклюдх дх чением 1 (х) = сх аналитическое решение системы (Х. 3. 16) — (Х. 3. 18) и (Х. 3. 16) — (Х. 3. 18а) крайне затруднительно. Случай 1 (х) = сх будет рассмотрен ниже. Поэтому и общем случае произвольной ааеисимости ) (х) эадачу приходится решать чнсленнымн методами. Один иа возможных методов эаключается а следующем. Разобьем промеж>. ток иятегрироеания О, х е (Х. 3.
16) и (Х. 3. 17) на и интервалов О, хе; хг, х„( хн = х и внутри каждого интерэала д (а) будем считать постоявным: О<5< ы О(й) = йб хе<5<хе. 1(й)= О ° * ( < 5< < х. д (З) = дн. Так как исходное решение (Х. 3. 8) выражает результат суперпоэицки непрерыено действующих тепловых псточникоя, то, очекидно, с унеяичением числа интервалоа мы будем приближаться к точному результату. 384 Гл.
Х. Неноторые специ льные водичи вытеснения в пористой среде При д ($) = сопл( ввтегралы (Х. 3. 16) и (Х. 3. 17) легко берутся, в результате чего получаем р= р(х) =1+ — (д1 ~ — Е1( )+Е)( )]+ +де~ — Е1( )+Е1( — )]+ ° ° +йн ~ — Е1( )$; (Х. 3. 20) а (х) а (х) а (х) и (х) с)а — =()(й~(е — ')+й ( ' '1+ + и (х) (Х. 3. 21) Вычисления производятся в следующей последовательности. Для первого интервала в (Х. 3. 20) и (Х.
3. 21) остаются только члены с рр Прв достаточно малой длине интервалов левая часть уравнения (Х. 3. 21) может быть заменена конечно-рааноствым отношением (а — а„()/х — х„. Для первого интервала в точке х = х1 (Х. 3. 21) можно представить в виде (Х. 3. 22) 1 Г ./ — а1)1 р (х1) = р1=1+ — о1 ~ — Е1 4л 1 ~, х1 Д' (Х. 3.
23) р, а1=) (х1) или в (Рн Тн) с (рнр1. Т) Таким образом, для трех неизвестных о„а1, р, имеем трн трансцендевтнмх уравнения (Х. 3. 22), (Х. 3. 23) и (Х. 3. 24) или (Х. 3. 24а), из которых все неизвестные легка определяются. Исключая из (Х. 3. 22) и (Х. 3. 23) о1 и обоавачая а(0) =а, получаем (Х. 3. 25) Из (Х.
3. 24а) а1=1(х1) с(рир„Т)(р,х(рв, Тн) ° (Х. 3. 26) е 1(и — Е1( — Е) = ~ и Е и (х1) а (х1) — а (О) =))11Е Х1 Уравнение (Х. 3.20) для х=х, примет вид1 Уравнение (Х. 3. 13) или (Х. 3. 18а) дает третье уравнение а1 а1 — ав х, 4я (ре — 1) х() а — Е1 ( — — 1) (Х. 3. 24) (Х. 3. 24а) б д.
Расчет двихсения сововосо объема в водоносном пласте 385 Подставляя а, из (Х.3. 26) в (Х. 3, 25), получаем трансцевдентяое уравнение для Р,: 1(~«) (РыР« ) Ргх(рн 7'н) Г1(х«)з(лЫ. Т)] ехр х,р ~ х~р,х(ря, Т„) ~ 4я(Р,— 1) (Х.
3. 27) 1(х,) с (Р»Р,, Т) ] х,р«с (ры, Т„) ] которое таким образом и определяется. Для второго интервала х, ~ 5 ( х, в (Х. 3. 20) и (Х. 3. 21), левая часть которого заменяется конечно-развостным отыошением (аз — аг)!(хэ — х«), будут члены, содержащие дп д и ая, причем Ш уже известно. Совмество с (Х. 3. 24) или (Х. 3. 24а) для Р (х ) = Р, йю а мы получаем аналогично разрешаемую систему трех уравнений. По такой же схеме производится расчет для всех последующих иотервалов вплоть до последнего х = х„. На кажаом этапе, таким образом, получается система трех уравнений для неиавестных Р" (х») = Р„, д», а (х„) = а»н причем для предыдущих интервалов эти величины уже определены. Разумеется, при обычных вычислениях «вручную» расчет требует больших аатрат времеви. При вычислениях же при помощи быстродействующих вычислительных машин расчеты могут быть существенно ускорены.
Нетрудно видеть, что в частном случае 1 (х) = сх, соответствующем нагнетанию газа в пласт с постоянным весовым расходом, получается точное автомодельное решение, аналогичное решению Н. Н. Веригина (10]: действительно, при 1(х) =-сх, 1(х]1х = с = сопзс= 1 (х«]1хь согласно (Х. 3. 27) для рт получается трансцендентное уравнение, ве содержащее х. Решая его, получаем Рт = Р = сопа1, а из (Х. 3. 25) ГП = о = сонэ(. Из (Х. 3. 18) или (Х. 3. 18а) находим а = с, х, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
