И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 26
Текст из файла (страница 26)
По существу баю — это разность энергий связи электрона на К- и й-уровнях, частота перехода между которыми (см. рис. 6.7) определяется законом Мозли (6.43). Таким образом, из равенства —,'Я(г-1)з = бю Глава 6 найдем: Я = 1+ ~~4Ьа/ЗЛ = 22, т. е. титан. 6.11. Найти знергию связи К-электрона ванадия (2 = 23), для которого длина волны Ь-края паласы поглощения равна Гы Р е ш е н и е. С помощью схемы на рис. 6.7 можно записать, что искомая энергия свнзи Ек = Исзь .ь Ьзл„, где <зь = 2лс/).ь и юх„— частота, определяемая законом Мозли (6.43).
В результате )2яс 3 з Ел=И~ + Е(2 1) ~. ~Хь 4 Магнитные свойства атомов 5 7.1. Магнитный момент атома Орбитальный магнитный момент. Ранее неоднократно отмечалось, что с механическим моментом М атома связан магнитный момент р. В 3 2.3 было получено классическое выражение (2.33) для связи р с М, обусловленной орбитальным движением электрона в атоме водорода. В квантовой теории величины р и М следует заменить операторамн р и М: е - е м, и,= — м,.
2 лье ' 2 ьис (7.1) ььь = ььв~/ЙХ+Г), 1 = О, 1, 2, (7.2) ры=-рвльы иь,=0,~1,+2,...,+Е„ (7.3) где рв — магнетон Бора (2.36)ь рв = гй/2тг. Он играет роль кванта магнитного момента (точнее его проекции р,). В заключение отметим, что 1) отношение магнитного момента к механическому, т. е. р/М = е/2тс, (7.4) называют гирогьагиильиъьэь отношением; 2) знак минус в вышеприведенных формулах указывает на то, что «векторы» и и М взаимно противоположны по направлению (в классическом смысле понятия «векторов»). Отсюда следует, что изучение свойств магнитного момента электрона сводится к изучению свойств операторов р и р,. А так как операторы р и М, р, и М, отличаются друг от друга только постоянным множителем, то их свойства совершенно аналогичны: магнитный и механический моменты квантуются по одинаковым правилам.
В стационарном состоянии определенные значения могут иметь только модуль магнитного момента рь и одна из его проекций на произвольную ось Е. Имея в виду (7.1), а также (6.34) и (6.36), запишем собственные значения операторов р и р,: 170 Глава 7 Опыты Штерна и Герлаха. Наличие у атомов магнитных моментов и их квантование было доказано экспериментально Штерном и Герлахом (1921). В их опытах пучок атомов пропускался сквозь сильно неоднородное поперечное магнитное поле (рис. 7.1, а). Необходимая степень неоднородности поля достигалась с помощью специальной формы полюсных наконечников Ф и Я электромагнита (рис. 7.1, б). После прохождения магнитного поля пучок атомов попадал на фотопластинку Р и оставлял на ней след.
а) в) Рис. 7Л Ясли атомы обладают магнитным моментом, то согласно электродинамике на них будет действовать сила, проекция которой на ось Я (см. рнс. 7.1, 6) ав, Р е 2 л (7.5) где р, — проекция магнитного момента атома на ось Я. Из этой формулы видно, что для получения необходимого эффекта при малых значениях р, нужно обеспечить достаточно большую неоднородность поля, т. е. дВ,/дз. Это и достигалось с помощью указанной формы полюсных наконечников.
В отсутствие магнитного поля след пучка на фотопластинке Р имел вид одной полоски (г = 0). При включении же магнитного поля наблюдалось расщепление пучка (рис. 7.1, в), что являлось следствием квантования проекции магнитного момента р, в формуле (7. 5): р, может принимать только ряд дискретных значений. В опытах обнаружилось также, что для разных атомов число компонент„на которые расщеплялся пучок, было или нечетным, пли четным. Магввтвыс свойства атома Анализ полученных результатов показал, что нечетное число компонент возникает у атомов, обладающих только орбитальным механическим моментом Мы тогда магнитное поле снимает вырождение по Ь и число компонент (значений тс) будет равно 2Ь + 1, т. е.
нечетным. Если же момент атома является суммой орбитального и снинового, т. е. определяется квантовым числом д, то число компонент будет равно 27+ 1, и в зависимости от того, полуцелым или целым будет значение д, число компонент будет соответственно четным или нечетным. В частности, при пропускании атомов водорода или серебра пучок расщеплялся на две компоненты, что в свое время явилось полной неожиданностью, поскольку в основном состоянии их орбитальные моменты равны нулю (а спиновые моменты были еще неизвестны), и пучок не должен был расщепляться. Но вскоре объяснение было найдено: эти атомы обладают спиновым моментом (з = 1/2), и число 2з + 1 компонент лт, в полном соответствии с опытом равно двум.
Спиновый магнитный момент. Зная степень неоднородности магнитного поля, т. е. дВ,/дз, Штерн и Герлах по величине расщепления пучка на фотопластинке рассчитали значение проекции спинового магнитного момента на направление магнитного поля, рэ. Выяснилось, что рв равен одному магнетону Вора. Этот результат сначала также оказался неожиданным, поскольку приводит к гиромагнитному отношению вдвое превышающему (7.4), связывающему орбитальные моменты.
В связи с этим говорят, что спин обладает удеоенным магнетизмом. Итак, спиновый магнитный момент и его проекция на произвольную ось 2 определяются как р э = -2р 4Я(Я + 1) (7.6) из, =-2р глэ, лг =Я, Я вЂ” 1,..., -Я, (7 7) При Я = 1/2 лтэ = +1/2 и — 1/2. Принято говорить, что спиновый магнитный момент электрона равен одному магнетону Бора. Такая терминология обусловлена тем, что при измерении магнитного момента мы обычно измеряем его проекцию, а она как раз и равна одному )тв. 172 Глава 7 Опыты Штерна н Герлаха явились еще одним убедительным доказательством наличия у электрона спина*.
Полный магнитный момент атома. Вследствие удвоенного магнетизма спина гиромагнитное отношение полных моментов р/Мг оказывается значительно более сложным. Оно зависит от квантовых чисел Ь, Я и /. Соответствующий расчет, проводимый в квантовой теории, позволил найти магнитный момент р и его проекцию на ось Я: (7.8) р, = — Рветг, 1 т„= /, / — 1, ..., -У, (7.9) где бг — множитель (или фактор) Ланде: 3 Я(Я + 1) — ЦХ, т 1) 2 2 У( / + 1) (7.10) Помимо »тих опытов следует упомянуть и о так называемых магнижомехани- еескпх явлениях — опытах Эйнштейна и де Хаааа, а также опыте Барнетта. И в этих опытах было обнаружено, что гиромагнитнсе отношение спиновых мо- ментов тоже вдвое больше отношения орбитальных.
В частности, в синглетных состояниях (3 = 0) / = Ь, б' = 1, и мы приходим к формулам (7.2) и (7.3). А при Ь = 0 (/ = 8, Ю = 2)— к формулам (7.6) и (7.7). Отметим также некоторые»экзотические» случаи. Например: 1) в состоянии зрс л = О/О; эта неопределенность не должна смущать, поскольку при / = 0 механический момент равен нулю, а значит, отсутствует и магнитный момент; 2) в состоянии Ч)1~2 д = О, т. е. механический момент есть, а магнитный отсутствует; 3) в состоянии ер1~2 л = -2/3, а это значит, что в данном состоянии знак минус в формулах (7.8) и (7.9) исчезает. На языке классики это означает, что »векторы» (л и М «сонаправлены» (не взаимно противоположны). ттз Магиитвме еаоветаа атома 4) в состоянии оРг д = б/2, т.е. фактор Ланде в некоторых состояниях может быть и больше двух (вопреки утверждению некоторых авторов). Случаи 2) и 3), когда д = О и д < О, представляют собой чисто квантовые эффекты, не имеющие аналогов в классической физике. 3 7.2.
ЭфФекты Зеемана н Пашена-Бака Эффект Зеемана. Прн помещении источника в магнитное поле его спектральные линии испытывают расщепление. Зто и есть эффект Зееманп (1896). Расщепление линий связано с расщеплением самих энергетических уровней, поскольку атом, обладающий магнитным моментом, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию (7.11) АЕ = -рвВ, где рв — проекция полного магнитного момента атома на направление поля В. Имея в виду формулу (7.9), запишем выражение для энергии каждого подуровня: Е = Ео+ аЕ = Ео+ )гэдВлгю т,г.= Т, У вЂ” 1, ...,-У, (7.12) где Ео — энергия уровня в отсутствие магнитного поля.
Отсюда следует, что уровни с квантовым числом 7 расщепляются в магнитном поле на 2 7 + 1 равноотстоящих друг от друга подуровней, причем величина расщепления зависит от множителя Ланде ь", т. е. интервалы ЬЕ между соседними подуровнями пропорциональны д: ЬЕ оо д. Таким образом, магнитное поле в результате расщепления уровней снимает вырождение по тэ. Кроме этого, необходимо учесть, что возможны только такие переходы между подуровнями, принадлежащими разным уровням, цри которых выполняются следующие правила отбора для квантового числа лгэ. 1щ,=О, +1.
(7,13) Формулы (7.12) и (7.13) составляют основу для понимания эффекта Зеемана. Глава 7 174 Отметим попутно, что компоненты, сответствующие Лтэ = О, называют п-компонентами, а Лтэ = 1 1 — а-компонентами. При наблюдении перпендикулярно магнитному полю присутствуют и в- и о-компоненты.
При наблюдении же вдоль магнитного поля и-компоненты исчезают, остаются только о-компоненты. Частоты в зеемановских компонент спектральной линии с частотой оо определяются формулой Е~ е ЛЕа Еэ — Е~ ЛЕз — ЛЕа + =во+ Лооо. й б б Е2 + ЛЕ2 й Согласно (7.12), Лю — эеемановское смещение (относительно несмещенной линии): (7.14) где величина Био = рвВ/Й, ее называют лоренцевым смещением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
