В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Е И сл МЯ Так как зто уравнение всегда имеет реюение, а иных ограниченна на выбор Функции у (1, х) нет, то в результате калибровочного лраобразованин условна (6.5) будет обеспечено. Прн таком выбсрс калибровки уравнения (6.3) значительно упрощаются. Опуская ча- чущяотвенные для дальнейшего штрихи, получим следующие уравна- яия длн потенциалов: 6) Ь'~ ьА сл д1л ыр — — —, с дФ Ф~сра —..
с /' (6 6) н исполнительным условием 6)" ~Š— — +дыА =О, с а~ ~6.7) иот»роз -по аналогии с соответствующим условием минроскопмчесной внонтродинамини называется условием Лоренца. Следует отметить, что условие Лоренца (6.7) не фиксирует чнноаначно налибровку потенциалов, позволяя проводить калибровочные преобразования ~5.5) с фущнцией у ~т;ь) , удовлетво- 6)ы. ф $ еющеи уравнению ьу — — = О .
Эти преобразования с~ дх р агве испольауются для того, чтобы вне источника излучения шоловить на потенциалы условие Кулона ~з = О, с~йь'Х=. 0 (ку«оновская калибровка). Таким обрааом, многие вопросы в макроскопнческой алектродинэмике решаются аналогично случаю микроскопической элеятродиЭнмини. Поэтому полезно сравнить вид некоторых уравнений и соотношений для готенциалов в этих двух случаях (см.табл.1). Таноо сравненле показывает, что характерной скоростью распространения электромагнитного излучения в однородных и яаотропных средах является не с , а с/м'6)ц < с, эффективным источником для нек арного потенциала в макроскопической злектродинамике является не у , а ул.) 6 6 и для скалярного потенциала не р , а р 6 6 /6 .
Эта аналогия позволяет ораву ааписеть решение уравнений (6.6) для запаздывающих потенциалов в макроснопической электродинэымне. действительно, в случае островного источника электромагнитного поля, помещенного в безграничную однородную и изотропную среду с диэлектрической и магнитной йроницоеыостями Е и яь соответственно, нэм следует в вырашэниях для запаэдывающнх потенциалов микроскопической электродинамики сделать лишь следующие изменения: земенить С на - 52- е)ы в выраиении для запавдывающего времени и произвести ф замены ) - )о ) , Π— ~)/П .
В реаультате получим )~ - г ')й~ о г',1- »рЖ~) =— (б. 8) В том случае, когде 6 и у» не являются постоянными во всем пространстве, полученные Формулы (6.8) становятся неприменимыми и для определения потенциалов необходиыо использовать иные методы. В частности, в простейшем случае кусочно-непрерывных сред большую роль играет учет граничных условий. Для получени последних нам потребуются уравнения Максвелла в интегральном виде. Таблице Т Сравнение уравнений и соотношении для потенциалов в микроскопической н макроскопической злектродннамике з 7. У вяения иак око ческе эле о ва и в иятег льном в Уравыения Максвелла (ав 1н С М Фтп .
Ф / эв э~ 1 (7. Х) 3~~=0, Йлг Р = 4тсд (7,2) Воспользовавшись теореыой Стокса, соотношение (7.2) цриведеы к вкду: йс. 2. Ориевтзция кривой ( и вектора внешней коркели к поверхлости 5 представляют собой систеку диКюренциальных уравнеквй в частных проиаводкых. Однако в ряде приложений полезно использовать уравнения ыекроскопической электродинамики, записаниые ке в дврреренциальнои, а з интегральном виде. Лля их получения поступим следующиы образом. Рассиотриы некоторый неподвижный относительно наблюдателя замкнутый контур ( , не имеющий саиопересечений, и выберем какую-либо гладкую двустороннюю поверхность з , опирающуюся ка этот коктур (си.рис.2).
Положительное наярзвленве обхода контура 1 (покааано на ркс.2 стрелкой) и вектор вневыей кориали гь к проваволькой точке поверхности выберем в соответствии с принятыыи в иатеыатическоы зкалиае празилаыи. уыяоиии скалярно второе иэ уравнений (7.1) на сВ и проинтегрируем его по поверхности Б . В реаультете получим Едй =- — — /В д~ . с~~у 5 ~ дар~~мру ~ » р ~ ь» ° ЮИВ поля Е по произвольному замкнутому контуру ( пропорциональна умень ению (с влечением времени) потока векторе иегнитнод индукцви, через любую поверхность $ , опиравшуюся на контур ?. умыслим теперь скалярно первое из уравнений (7.1) на д5 и проинтегрируем по поверхности 5 .
В результате получкм (7 З) Г, 5 где 1= ~ ) с(5 - ток свободных аарядов чарва яозерхность 5. Из выракения (7.5) следует, что циркуляция вектпра налрякенности магнитного поля Н по аамкнутому контуру определяется не только измененл~ем с течением времени потока вектора электрической индунции 1) чарва поверхность 8 , но и величиной тока свободных зарядов через агу поверхность. рассмотрим теперь некоторый объем и , ограккченный,замкнутой гладкой поверхностью 3 .
Проинтегрируем по атому объему третье уравнение системы (7. 1): сй/ дЫ В = 0 . | ф Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим 8д$ = О. 8 Отсюда следует, что поток вектора магнитной индукции через любую аамквутую поверхность равен нулю. Совершенно аналогично, интегрируя оставшееся уравнение системы (7.1) по объему ч , найдем, что поток вектора злектрической индукции черна любую аамкнутую поверхность Я пропор- -Зб- щестнувт некоторый переходный слой, ноторый сглаиивеет скачок электрических и магнитных свойств. Поатоыу в тех случаюс, когда толщмна переходного слон оказывается аначытельно большей, чем величине Г, , хврантериаующая линейные размеры биэически бесконечно малого объема, полученные здесь соотношения теряют слою силу и испольаовать нх при решении нраевых задач нельзя.
Если ие толщина переходного слоя составляет насколько меиатомных расстояний и оназывается значительно меньшей, чем величина , то такую границу раадела двух сред в рамках ыанроскопической элвктродинеыини мы обяааны считать резной, иначе у нас опять произошел бы переход к микроскопическому описанию. Рассмотрим достеточно малый участок поверхности раздэла двух сред', такой, что его мошно считать плоским (ом.рис.З). Рис. 3. Выбор цилиндрического обьеме на граница раадела.дэух сред Обоанвчыы диэлектрическую и мегнытную проницаемости первой среды через В и у~., в второй среды — чарва В и )ы.
. Вектор нормали К к данному участку поверхности направим из второй ореды в первую. Владам танис для данного учестка поверхности локальную декартову систему координат так, чтобы плоскостьЦ совпадала с понврхностью раздела сред, в ось Р. была ей ортогоавльна. Построим теперь на границе рэадвле дзух сред достаточно малый прямой круговой цилиндр радиуса Й и высотой 2Л (см.рыс.З).
Иопольэуя третье уравнение системы (7.4), вычислял ноток вавтора магнитной индукции В чарва поверхность, ограничивающую данный цилиндр, устремив посяа этого величину Д. к нулю. Так как при атом площадь боковой повархности цилиндра 5 = 5 +5я - 2.2жКЕ также обращается в нуль, е площади верхиайи нижнай "крышачвкк остаются конечными (5„= зг)(' ), то в результате получим Отс~4~?1М Н~ 8'- тгй ~В~К - В й) = О. обозначая нормаяьныа составляющиа вактора В в первой и второй средах через В и В~~ соответственно, отсюда имеем 1 Š — В =О. л л узким образом,нормальныз составляющие вектора магнитной индукции на граница раздела двух сред непрерывны.
Если каждая нз сред является изотропной, то соо*ношениа (7.1) принимает вид = Р"э~ йвпользуя тот же самый цилиндр, из чатвертого уравнении система (7.Ф) совершенно аналогично получим М ~Ю вЂ” Э„-а) = I. г и 4тг Кгп /дл с6р т. Эт" ~у~т> у1л11) . о / О 0 (8,2) уащ как свободные ааряды, содержащиеся в ващастве, могут заховаться и на границе раздела двух сред, то правая часть этого евотношения, вообще говоря, на равна нулю прн )ъ -ь О . Если явотность этих зарядов записать в виде р = О„оя Я(у) , гда ) ~Е - поверхностная плотность свободных аарядов, то иэ сооь вфния (8.2) получим Х Е з„- ):) = 4хр (8.3) ',яфовательно, адинстванной причиной раармва нормальной составф(йей вектора электрической индукции на границе раздала двух ~( является наличие на ней свободных зарипов.
В скучав двух ° тропных сред соотношение (8.3) принимает вид а РП З~., Б — — а, — = 47гд .В > (е.е) щэл 'ъ где — = гь 17 . Испольауя оставшиеся два уревнеыия окстемы Ък (7.ч), ыы молем подучить еще два граничных условия.
для етого в плоскости ХЕ локальной декартовой системы координат (вводимой в некоторой окрестности рассматриваемого участка поверхности раадела двух сред) построим достаточно малый прямоугольный коытур АВСР, полагая АВ = 2,, ВС=2Гл (см.рис.ф) ° Единичные векторы вдоль осей х , ц ы 2 локальной системы координат обоавачим череа 7 , х и гь соответственно. Половительное направление обхода контура А ВС)) выберем тек, как покеавно на рис ч Рис. а.
Выбор прямоугольного контура не границе раздела двух сред Рассмотрим теперь второе уравнение системы ~7.Ф). Будем считеть, что н качестве контура ~ в в*он уравнении используется контур ЯВСЬ) , е в качестве поверхности, ограниченной данным контурои - прямоугольник А ВС)) . После вычисления всех интегралов, входящих в данное уравнение, величину Г устремим к нулю, оставляя С, конечной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
