В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому в результате вваиыодействия свяаанных зарядов неллу собой к с внешним алектростатическим полем зоаникает объемнан электростатическая сила, которая стремится кек деФормировать диэлектрическое тело, так и вызвать паремещание его з пространстве„ Если, кроме того, с веществом диэлектрика жестко связана и некоторая избыточная плотность объемных зарядов, которую в данном случае следует рассматривать как плотность свободных зарядов, то картине распределения объемных сил, действующих на вещество диэлектрика, существенно усложняется.
Однако существуют и другие пути вычисленив объеиной силы, действующей на диалектрики, помещенные з электростатическое поле. Один из них, основанный на эариационном методе, разработанном в теоретической механике и термодинамике, мы сейчас и научим. Рассмотрим жидкий (или газообразный) диэлектрик, помещенный во внешнее электростатическое поле. Считая процесс взаимодействия поля с диэлектриком мзотермическим, изменение энергии рассматриваемой системы при виртуальной деФормации са. элементов объема диэлектрика мы можем записать в виде где à — объемная плотность обобщенной силы, соответствующая обобщенной координате а..
Очевидно, что если з качестве обобщенных координат выбрать декартовы компоненты радуев-вектора некоторой точки диэлектрика, то обобщенная сила Е будет соз- - 53- падать с плотностью объемной силы, действующей в атой точке на диэлектрик. Таким образом, выражение для силы,. действующей ао стороны внешнего поля на элемент объема диэлектрика, можно найти, если изменение анергии поля 86 при виртуальном перемещении $т. сопостевить с работой силы прн данном виртуальном перемещении Ы = — Е Зг сй/.
(12 1) выражение для энергии поля в присутствии диэлектрика с находящимися в нем свободными зарядами, как мы видели в Э 10, можно представить в двух эквивалентных йорках: М Воспользуемся атой неоднозначностью для того, чтобы значительно упростить последующие выкладкм. Запишем энергию электростатического поля в виде (12.2), Виртуальное изменение внешнего параметра от, очевидно, должно привести к изменеыию всех входящих в зто соотношение величин.
С точностью до бесконечно малых первого порядка соотношение ( 12.2) дает Так как в случае элантростатики Е = -Ч~~р, то мы можем значительно упростить это выражение, если учтем, что ЕЕ ЬЕ =-Б71т5~р = — шаг(1) 8~) ~- Ьу НИХ>. Так как ойдо Э = 4Хд , то отсюда имеем ЕЕ БЕ = — дам(?) Е~р) ч- лги(э Б~р. Подставлвн это соотноюенне в выражение (12.5), получим за Дтв~ — а з~, ' я.(Над ы.
8сс Фх Преобразуем теперь интеграл яо объему от последнего слагаемого в интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Учитывая, что при й - со величине д5 Ь 8~о убывает не медленнее, чем — , убеждаемся, что вклад этого слагаеыого равен нулю. Поэтому Е~ жа =/[тзч- ~ Ба~дР. (12,$) 9 = 1Д л~ ° ( 12.
5) где о ~ - изменение плотности свободных зарядов в точке т, вызвайное одним только перемещением всех алементов объема на вектор Бт , а Б д — иаменение, вызванное одним толино расширением линейных размеров элемента объема на величину, определяеиую вектором оч-. Найдем зти величины. По определению величина Я р равна разности между плотностяии свободных зарядов в точке а радиусом- вектором т. после виртуального перемещения от и до него: Я Рпосле 9 ао ' Так кек до виртуального перемещения плотность (ь совпадает о со аначением О в точке т- , то (ьз = б(~).
после виртуального перемещенкя это зыачение плотности переместится в точку Р~ БФ', а в точку т перейдет элемент объема, который до Найдем вмражения для Яд и ЫН при виртуальном перемещении ,Ят- . Изменение плотности свободных зарядов в некоторой точке с радиусом-вектором 7 при виртуальном перемещении оР может проистекать из-аа двух причиы (см.рис.б): из-аа простого переме- щении всех элементов объеме на расстояния, определяемые вектороы б~, и аа счет расширения каждого элемента объема, в результате которого все линейные размеры их увеличиваются на величину, оп- ределяещую тем же самым вектором От . Таким обрааом, с точно- стью до бесконечно мелых первого порядка по Зг иаменение плотыости свободных зарядов в точке с радиусом-вектором Р оп- ределяется соотношением - 55- перемещения находился в точке т — 8~ .
Поэтому 0 д(~-ЬР). Таким образом, ~д =дГ -Я)- дЮ. Раскладывая первое слагаемое, стоящео в правой части этого равенства в ряд Тейлора по бесконечно малому виртуельнощу паримаценив Бт' и ограничиваясь лишь линейным приближением,получим ад = -~~ где~). ( 12,6) Наядам таперь 8 р . Очевидно, что и в этом случае ьл~ = ~„ с„;, фь , гда ~ь и ~ссссо- плотности свободных зарядов з точке с радиусом-вектором т.
до и, соответственно, после виртуального расширения злеманта объама диэлактрика. с~5 сП~ О. Б Рис,б. Изменения в дизлактоика, пороидаамыа виртуальным перемещением Ь»-: а) виртуальное смещение элемента объема диэлектрика вместо с находящимися з нем свободными аарядами аа вектор Ьт= ; б) виртуальное расширанке зламанта объама диалактрнкз Тек как при виртуальном расширании величина заряда, содаржащагося в данном элементе объема, не изменяется (по лавену прадположевкю, сделанному в начале, свободные ааряды жестко связаны О веществом диэлектрика), то для нахожданмя слд воопользуемся соотношением Обозначая валичыыу рассматриваемого элемента объема череа У», а приращение элемента объема в результате виртуального расширения чарва $)~ , имеем Р ~ = 9ассее ( К + ~К ) .
(12.7) Лагко убедиться (см.рис.б,б), что аУ, = Ы-Ы АЧАЛО М=)~А $Р ОГПУ'~. 5т К Поскольку дй~ Б- является бесноыечно малой величиной, то в лмнейном приближении из соотыоыения (12.7) получим 9 е Ры ГФ дсу$т ) = (Ф вЂ” с'~мат ) Д(т ). Поэтоиу выражение для о у привимаат следующий вид: Язд =-9Р) дй ж (12 8) ханым образом, виртуальное мзыеыение плотности заряда (12.5) в ыаиоторой точке Р диэлектрика, возникающее при виртуальыом смещении от- , н силу выражений ~12.6) и (12.8) равно 3~~ -БР~уд~~тз)- Д(Р)Ыо~8т = — с~сч~~Г~)ПР~- ( 12,9) Соверыенно аналогично, виртуальное изменение диэлектрической проницаемости 58 мы можем предстевить в вида суммы изменений Я , обусловленных перемещением всех элементов объема диэлектрике и их расширениаи: $'Е = Б„Е -~- ЯзЕ.
Валичыыу с,я можно найти, повторяя почты дословно весь Ход расоуидеыий, использованный при определонии Ь„д . В результате будам имать 3;а = — БР~8. Определим теперь величину с Е . Тек кан при расширении элемента объема диэлектрика его диалектрические свойства изменявыся в Основном из-аа изменения плотности веществе Т ~ то зту валнчвну ны можем записать в виде $ Е = — 5'П суе 2 1 где Б 'П вЂ” изменание плотности ващаства при -виртуальном расиил Ьоч ренин эламанта объема, П= 81сть —, Ьл.
- масса диэлектрика, и ой~~ ' содержащаясн в объеме ЗК Учтем тапарь, что масса всщаства диэлактрика, содаркащегося в любом элементе объама, при виртуальном расширании на изменяется. Поэтому, по аналогии с опредалениэиваличины Ь' р мы можем ааписать $ 'П = — 'П дьмЯР.
2 Следовательно, полное виртуальное изменение диэлектрической проннцаамости при виртуальном паремащении Ь~ равыо ( 12. 10) Б6 = — Яг [78 — — 'П Ам Ьг. зг Подставляя выражения (12.9) ы (12.10) н соотноианиа (12.ч), получим ча+тмявс> — в~а ° — — м к+ч Е ЕЭЕ 8л 8тг Э'П (12~ П) Теперь нам следует привести подынтагральноа выраженно этого ра- венства к виду (12.1). Для этого воспользуемся соотношениями ~р3(~фа-) = й. (рр8Р) — Е8Р4 р, Эа и ~. 8~ — (ы~Š— 'ГБАО'~ — $~ 12 ~ Š— 'Г ~-. Подставляя нх в правую часть равенства (12.11) и применяя таоре- иу Остроградского-Гаусса, получим г л $8 = сйу~р(г~р+ — р'Š— чт~ — — ~~ г 8 Е- 'Е Эе 11 В~~ ~8х Зт 1) -58- с л +~~~)д5 ~ — — ~ 9~~ б'- ~-'е а~ ~ 8тх Э'с Так как поверхностный интеграл в этом соотношении берется по сфере бесконечного радиуса, где Е = 1, д = О, то ° ° 1Е ЪЕ с~5 8Р~ — — 'à — Д~Р ) = О.
(Втх а'г Поэтоыу виртуальное иаменение энергии принимает вид Сопоставляя зто выражение с соотношением (12.1) и учитывая, что все величины эт независимы, получим окончательно 2 л Е - - (Е ЪЯ ) Г = дŠ— — ~Е ' Лг~ — — 'С~. (12.12 Вж (в*ах )- Первая часть этой силы (эЕ равна силе, действующей со стороны внешцйго поля на свободные ааряды диэлектрина; второе слагаемое — тг ~ описывает часть силы, возникающей из-за неодно- Ел8х родности диалектрической проницзеиости вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
