В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Как известно, ик но зто свойство позволяет использозатв их в качестве постояла. ыагыитов. Существуют и вещества, которые в отоутствие внешних полы обладают неравныи нулю векторои остаточной электрической инду~ циы. Это тек нззываеиые алектреты или сегнетозлектрикы (сегяетовзя соль, фосфат палия, титанат бария и ряд других веществ) Определенный~физический смысл имеет и неравенство нулю а: спальных теяаорой с0 Р и 5 Р: оки ли$о описывают перекрест кую аависииость В от Й или Ю от Е для покоящегося вещ; ства, либо, кек иы увидим позднее, свидетельствуют о двишеыив вещества относительно наблюдателя. Теяаоры б Р и )ы.
~ описывают диэлектрические и ызгяитыю яые свойстве среды. В общем случае недиагональиых тензоров 6'4~ и яя. — иы имеем дело с аяизотропяыми средаыи, дизлектрически~ а( Р~ и иегяйтяые свойства которых различны в резных капрзвлеккях. га гв В случае изотропяых диэлектриков Е ~ = ЕЯ ~ и величина П аГ ~ зывается диэлектрической проаицаеыостью срвды. Совершенно яйся; ыВ логичио для изотропяого магнетика)и, '=)'ью ) и )ы- взвываете ( магниткой прояицаеиостью. Следует отметить, что в случее слабых внешних полей все входящие в рааложения (ч.ч) величины когут существенво зависет - 25- »т частоты внешнего поля и при определенных частотах, близких « евбственным частотам вещества, раэлоивния (4.4) могут стать ввпйимвиииыыи.
поэтому, если это не оговаривеетоя особо, будем »чифййь, что область частот зыевнего поля достаточно делекн от ° айиитарных собственных частот веществе. как иы видели, равлоавийи 14.4) позволяют охватить достаточно широкий круг саэлмч- $ веществ. Однако в этом случае эависииость векторов В и ет векторов, Е ы 'Д окевывеетая достаточно сломкой, что чрезвычайке услолняет изучение различных электродинамическвх «ййэний Пвиболее ка простой вид ыетерыальные уразненкя приобреаавт в случае покоящихся однородных и изотропных диэлектриков и и«гйвтмкоз, для которых сйрэведлизы соотношения ):) ИЕ, В =уьй, гйй И н )«« не зависят от времени и кусочно-постоннны в проотрвнст»» (т.е.
постоянны в пределах накоторых областей престрайот«и, окечкообрезно изменяясь лишь на греницах этих областей). Именно с такими материалькыыи уравнениями мы и будем, в »слоеном, иметь дело. ' Таким обравоы, услозияии применимости полученных нами ыа- ~ риальных уравнений (4.5) являются: неподвижность вещества, « стояночно внешчих параметров ~5с~ з пйсстранчтле и, зремекд, »«лесть напряженностей внешних полей по сравнению с знутриатомкыии поляки, однородность н изстропность, а текле постоннство ао времени электрических и магнитных свойств рассматриваемого вещеотва к некоторые другие; Вполне. очевидно, что при оделенных допущениях мы охзатызеем только узкий класс веществ В изучаемых злектродинамическвх явлениЯ.
Так, например, ограничение лишь линейныыи членами в резлоканиях (4.4) полностью исключает иэ рассмотрекыя один из самых к»«алых разделов злектродинаиики - нелинейную оптику. Представ«екия о том, что электродинемичаские эйфекты в веществе долины быть нелинейнымн, как известно, возникли в начале нашего столе«кя. Исходя из э*их представлеыий, советские ученые С.И.Вали«»к к В.Л.Левшин з 1925 г. обнэрукили одкн из первых зйбектов нелинейной оптики — уменьшение поглощения свеже веществом - 26- прл увеличении его ынтенсивновти. Однако бурыое разлитие нели- нейной оптики началось фактически лишь после соадаыия мощных источников излучеыыя - квантовых генераторов (Н.Г.Басов, А.М.Прохоров, Ч.Твунс).
Именно з ато время в работах профессо- ров МГУ Р.В.Хохлова, С.А.Ахианова и американского ученого Н.Бломбергена были залокенм теоретические осноны нелинейной оптики. Впоследствии многиа иа эффектов нвлинвйыой электроды- наыикы были обнаружены на опыте. Одним из них, в частыостн, якляется эффект самофонуокровки лазерного излучения, эа пред- скаааыие и обнврукенке которого коллектиз авторов (Аскврян, Коробкын, Луговой, Пилипецкий, Сухоруков, Твланов) был удосто- ен Ленинской премии Г988 г. Более детально поанекомитьса с идеями и методами нвлиыейной оптины и ее эффектами конно по имеющейся в нестоящее время довольно обширной научной литера- туре.
В нашем же курсе, оставаясь в рамках сделанных ранее до- пущений, мы постараемся, по возмокности, отразить все харантер- ные черты электродинемичвсних явлений в вещества с тем, чтобы изучение более слоиных оитуецнй (переменность внешних парамет- ров, неоднородность или аниаотропия электрических или магнитных свойств веществ и т.п.) конно было бы проводить в соответствии с алгоритмом, разработанным для рассматриьземых здесь достаточ- но простых ситуаций.
В рваультетв мы фыходим к следующей системе уравнениИ мекроскопмческой электродинамики: у 'Э):) 4ж. ~н=- — + — У, с Зй ~ЪВ т.охЕ = — — — > с ай ЙчВ =О, дБь )".) = 4;ыд, -м М ).") = БЕ, В = У ) ) и, кроме того, в случае проводящих сред ) = й Е , где Я проводимость.
В типичных задачах макроскопичвской электродинамики плотности заряда и токе обычно являются заданннмк ~известными) функциями координат и времени ~) = ~~т;с), ~) = ) Мт.) и тре- суется определять векторы напряженностей и индукции электроывгиитыого поля. так как система (4.6) состоит' иа четырнадцати уравнений отыосительно двенадцати неизвестных, то она теперь уиа либо переопределена и в ряде случаев может вообще не иметь решений, либо среди уравнений (4.6) должны быть линейно зависимые Легко убедиться, что в действительности реализуется второй случай. Лля этого воаьмем дввергенцию от правой и.левой частей-первого уравнения системы (4.6). В результате получим а .
- 4ж„,. -. — — Д~ ~~ В + — от и~ = О . са1 С Используя четвер*ос уравнение системы с/ЛыЛ) = 4х9, приходим к соотношению, которое евтометичаски выполняется в силу дифференциального закона сохранения ааряда: 3(~ ° — +Ам~ =О. М Поэтому денные уравнения не являются неэависииымм. Совершенно аналогично можно убедиться з зенисимостк и другой пары уравнений Максвелле. $ 5. Петен калы влект омагнитного поля и их калиб вкв в мак оскопической элект инамыке Таким образом, система (4.6) фактически содержит лишь две-' кпдцать линейно независимых уравнений относительно двенадцати неизвестных и, следовательно, при соответствующих граничных и печальных условиях имеет единственное решение.
Однако решать сястеыу уравнений (4.6) з представленном ниде, когда в нее входит двенадцать неизвес*них, не совсем удобно. Поэтощу з мекроскспической электродинаынке, кек и з микроскопической, очень исто вводят вспомогательные величины - потенциалы электромагнитного пспя, с помощью которых система (4.6) сводится всего лишь к четырем уравнениям относительыо четыршх неиазестных Лля введения потенциалов рассмотрим второе и третье уравнения системы (4.6). Первое из них хуцгВ О утверждает, что контор индукции магнитного поля имеет соленоидальный характер, к результате чего он всегда может быть представлен в виде -29- (й~Ц и (5.2) задаются неоднозначно.
Как и в микроскопической алайтйодинамика калибровочноа-прнобраэованиэ цотанциалов (5.5) нда У = У (Ф; 1 ) — произвольная калибровочная функция, на иэуяат векторов 8 и Е , а сладовательно, и векторов Й и . Этот произвол в опрадалании потанциалов широко используетоя в классической и квантовой злектродинамике для упрощения встречающихся соотношанкй. З 6.
У авнения ля потан алов Установим теперь уравнения, которым должны удовлетворять йвтанцналы в макроскопичаской электродинэмике в случае напройсдящнх сред. Лля этого подставим сначала соотношения (5.2) в йервое уравнение системы (4.6). Учитывая, что й и р — посЭоянныа величины, получим Ь'А ч' ) (Е)ы.ар ЛьА — = — —; ч. (У + сми/А ' а~.' ' 1с а~ (6.
1) гда Ль - оператор Лапласе. Совершенно аналогично, подставляя выражание (5.2) в чатварыа уравнение системы (4.6) и проводя тождественноа преобразование, найдаы Еу.Ьр 4х т Э (с ~Р д ~~г Е ъ Ся~е сэп (6,2) 1йссыатривая структуру уравнений (6.1) и (6.2) легко заметить, н ьно упрощаются в лучае когда выражения, с ль. Поэтому воаникаа ьэсвэзшмсь нвсдяс я ( ) рд ци , добиться существенного упрощения уравнений (6.1) и (6.2)? Ответ нэ этот вопрос, аэк ыы увидим далее, положительный. Чтобы убедитьоя в атом, заманим сначала, что калибровочное преобразования-(3 йт-ма ызмеыяат виде уравнаный (6.
1) и (6.2). )(айотвытально, подставляя соотношении (5.3) в урвжейия (б. 1) и (6,2), получим Е Ъ у( ух ) Е)О. ЗЧ» — +""~ Г г ~~г с ~ ~с И (6.5) т гдлл е т сзх'(с ЭФ. Таким образом, калибровочная Функция у(т';ю) в ати уравнения нв воилв и единственное изманениа по сравнвнию с уравнанияии (6.1) и (6.2) состоит В наличии штрихов у векторного и скалнрнсгс пстанциалсВ Предположкы теперь, что в первоначальной калибровке потенциалов величиыв Е)и ЪЧ» — — + й А=НЮЫо с Зт.
(6,4) не равна нулю, Выясним, можно ли так подобрать калибровсчнтш Функцию ~ (т, Ф.) , чтобы откелиброванные потенциалы уке удовлатворяли условвю ар — — + дыА' = О. (6.5) с дй Для втого подставки соотновения (5.3) в вырекенна (6.4). В розудьтате получим Е)с. ЗЧ»~ . г Ер4. З у — — 61 А + ьУ вЂ” — — = Е(т,й. с М с' З~ Отсюда сладуат ° что длЯ ВылслнаниЯ услоВЯЯ (6,5) калиброВОчнаЯ ФУнкция ~ (т ът ) долина удовлетворять уравнению хь~ — = Г(т.>п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
