В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Раздел злектродинамнкк, оперирующий уревнанняни, полученными на основе такого подхода, к называется накроскопической злектродинаннкой. Э 2. ус ение аннану Максвелла по ызически бескоыечыо малым объе к и ме т в аманн Основные уравнения иакроскопмческой электродннамаки, как иы выпснмли, могут быть получены иа уравыеннй Максвелла (1.1) путем усреднения всех зходящкх в них величин по некоторону достаточно малому объену пространства и характерному промекугку времеви.
Такой переход от микроскопических уравненкй к макроокопическим впервые был осущестзлен а 1902 г. Г.А.Лоренцем. Суцественвын моментом при получении уравнений макроскопичаакой злектродннамики нзляатся определение понятий физически бесконечно малого объема и харак*ерного промелутка времени. Эти величины долины быть выбраны так, чтобы после усреднания пс ыим исчезли всв быстрые иаменения напрюкеныостей алектромагннтных полей в пространстве и времени, обуслонленыые атомно-молекулярным строением вещества и,вместе с тем,сохравились все характерные черты изучаемого электродинвиичеокого зеленин.
Стоюдв непосредственно следует, что линейный размер Г, фкаическы бесконечко малого объема долкеы быть значительно больше величины ореднего мекатомного расстояния сс и значительно меыьие величины 1. , характеризующей мекроскопические условия задвчм (см,рыс ° 1): а «сс «1 В качестве макроскопического параметра 1, н зевисимости от контекста решаемой задачи, может выступать наименьшая из следующих величин: длина волны электромагнитного излучения, линейный размер области, заннтой веществом, харэктерыое расстояние, на котором прояэлнется неоднородность вневнего поля и т.п. рис. 1.
Соотноиение мекку макроскопическим парамет- 3 ои аедачи 1 , длиной ребра С, физически ескоыечно малого кубе и среднйй меиатомним расстоянием сх э веществе Совериенно аналогично в качестве Физически бесконечно малого промеиутка времени 'С выберем величину, которая была бы "10- зыечытельно больше периода Т изменения инкрополей, обусловленных атомно-молекулярным стровнывм и тепловым движением вещества и знвчктельно меньше характерного макроскопического периоде Т , например, периода изменения внешнего поля: «~ «Т.
о Операцию усреднвкыя некоторой иикроскопнческой величины Щс) по физически бесконечно малым объему пространства (например, кубу, как не рнс.1) и промежутку зремвни будем обозначать ломаными скобками (~ ) В,+т (2.1) й-г причем центр фиаически бесконечно малого объеме М (например, куба или шаре) для определенности будем счита*ь помещенным в точку т- - ~ . В результате такого усреднения все резкие изменения микроскопической величиыы у в пространстве и времени, обусловленныв атомно-молекулярным строением веществе, взаимно компенсируются, в резуль~ате чего усредненная функция (~ ) будет харзктвриаовать мекроскопкческое (сглаженное) состояние этой величины.
Следует отметить, что в макроскопнческой теории после усреднения лсвх величин по физически бесконечно малым объему и промежутку времени мы ужа не вправе интересоваться детелями электродинамических нвлвннй на расстояниях меньша Г, и отстоящих друг от друга на время меньшее, чем Г . Говоря иными слоламн, в иакроскопической теории Я, и 'й'~ являются минимально зозможныии расстоянием и проиежутком времени. Выясним теперь, что происходит, если мы усредняем по физически бесконечно малым объему и промежутку времени проиаводные от некоторой микроскопической величины ~ (т >х ) .
Усредним, например, Э~/Э~ . В соответствии с принятым определением (2.1) имеем " аУЯ-,1) -11- с у(т; х +'С) — у(т;и -Ю ) 2т праизводнуш по времени ~ от ( ~ ~ т.+х ~ э~,.~Я у — -' — '(з~/~и~-,)- о,-т (/ ч йычислим теперь э М, — (~) = 1 ГМГНРА т)-ИГЕ.-'и) С~называя дзс последних выражения, ныдим, что э~ ъ (ж) = ~ж(~)- Совершенно аналогично можно поневать, что (2.2) (~ч.а.с( ~ ) = ут.сь3 (~) .
(2 3) Таким обрезом, операции взятия честных производных по ноординетаи и времени переставимы с операцией (2.1) усреднения. Следует отметить, что определение (2.1) операции усреднения не является универсальным и применимо только при изучении простейших задач ыакроскопической электродинамики, когда величина (~ ) слабо зависит от выбора форыы Щизичесни бесконечно малого объема и не изыеыяется при смеиеыии центра этого объема на расотояыие порядка меиатомного расстояния.
Если зти условия нв выполыяются, то усреднение по физически бесконечно малым объеиу и проме-. жутку времени производят, используя неноторую весовую Функцию (): 12- те+ ' (~> - ' Й~/ ~~~1~ко~~' 2+($ М)~ Ы Е„„,(т;й = е~т,х), Н „„~~(г,й) = )хЯЦ. В рвзультата получим слвдующую систему уравнений: у ае 4х-. 1.016 = — — + — 1, с М с 1 сМь т-обе = — — — з а~ сйл'6. = О, ~2.Ф) ойдо Е = ФХд В качестве весовой функции обычно выбирается функцыя Гаусса. По л нашем курса, при изучении общих звнономврноствй мвкроскопической злвктродинамикы, такая степана общности не потребуется и мы будем использовать определение (2.1) ( — ) = — (~) .ау а эу ац.
~а~~~ = м Таким образом, операции заятия частных производных по координатам и зрвмвяи з иакроскопнческой алвктродинамикв перествзимы с опврацивй усреднения. Прозадвм усрадквнив микроскопичвских ураннений Макснвлла по фиаичвски бесконечно малым объему и промвкутку времени. Лля этого урвзнения (1.1) удобно записать з несколько ином вида, вводя для нвпряквнноствй иикрополей Е и Н полые обоаначенмя: ~чпймем также и днфференциельыый вакон сохранения заряда а~ — + сЬ~ = О, (2. 5) а~ з тарый является следствкем системы уравнений (2.Ф). Учтем теперь, что в любом вещеотве заряженные частицы моут находиться как в свободном состоянкн, так к в связанном < входить в состав атома или молекулы).
Первые мз них под дейстзнаи внешних полей могут перемещаться не внечительные реостоякия, в то время как движение вторых ограниченно пределами допуокаамнми полем атома или молекулы. В соответствии с атим полную плотность ааряда з веществе мы можем разделить не две чести, выделив явно плотности свободных зерядоз () о и свявакннх с зарипов () й„ (2.б) Т.ссс| рослсвскис зсркдсв предполагает, что ыы полностью ыс«люч ск из реаомотрения электродкнамические процессы, при которых рллы переходят из одной группы в другую (например, пробой сс|лсктрнка и т.п.).
Тзк как всякое движение свободных ы свя- 1 оных верядов сопровождается появлением плотностк токе, то с лную плотность тока ) иы также можем представить з виде суммы плотностей токов свободных и связанных заряДов: / /сб .)саяе ' (2.7) Плодует отметить, что разделение зарядов на свободные и свяаанаые в ряде случаев произвести достаточно сложно, тек как прк определонньсс условиях (особенно при наличии высокочастотных зкекних полей) различна между поведением свободных и связевыых зарядов может практически отсутствовать. Поэтому применять уравзспив и соотноиения макроскопической злектродинеыины н теккм зсдачаи следует крайне осторожно.
Поскольку днфференцнельыый зекоы сохранения ааряда (2.5) э никроскопической алектродинамике применим, вообще говоря, к сждой отдельно взятой частице, то очевидно, что сн будет вы- ~ впиться независимо кек для свободных, так и для связанных зе- ~ асв: а~,, — +дчв=О м с ар.,„; — + ДЫУв =О. а~ с оз (2.В) Вполне очевидно, что соответствующие усреднвныые неличины, н силу правил дыфференцироввния (2.2) и (2.5), будут удовлетворять аналогичным соотноивныям З вЂ” <д,в> + ь <Лв > = 0 а~ (2.9) а — <~, >+ )'.<~-,,„,> = о. Проведем теперь усреднение вырежения (2.6) по физически бесконечно палым объащу к промежутку времени <9> = <~,П> + ЖВ..>- Последнее слагаемое в атом соотношении удобно представить в ви- да <да где Р— некоторый вектор, нваызввмый мвкроскопичвсккм лектором поляризации среды. Подстаьляя это выражение во ьторое иэ соотноиеыия (2.9) и изменяя порядок следоваыия независимых операций взятия динвргенции и честного дифференцирования по врвмены, получим Тая как ато равенстлс должно выполняться тождественно, то, как оледует иа нектарного анализа, вырежвние, стоящее в фигурных скобках,предстаяляет собой ротор от некоторого вектора, который удобно выфеть в виде ф ЗР -м — с т'оп гч, - 15- глв М - ввктор, нааывавный (мзкроскопичвским) ввкторои намсгничвнностн прады,й соответствии с принятой терминологией ван векторов Р и Й , величину зР lр = лично нваыввют плотностью тока поляризации среды, в величину с т"о1 М (2.9в) плотностью тока наивгниченнн.
Таким образом, усрвднвнныв аивчснин плотностей свнзвнных зарндов и токов могут быть выражены ч рса две вектора Р и М (р ),Ач Р (2. 10) ЭР ( ) йяз > = Ж блепст особо подчеркнуть, что, хотя векторы Р и М и нв ссослелнются однозначно соотношвнинми (2.10), мы в дальнвйшвм пулем считать, что вне вашества они обращаются в нуль, посколь- ку своим сущвствоввниви они обязаны исключительно наличию ввщвства, Теперь в нашем распоряжении имеется всв наобходииов для солучвния уравнений макроскопнческой алвктродинамикк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
