В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таких условий три. Во-первых, необходимо чтобы характерный линейный размер С области, в которой иаучаются квазистационарные процессы, был знечительяо меньше соответствующей длины волны электромагнитного поля, имеющего ту же частоту Оу — 81- с (19.1) М' При выполнении этого условия электромагнитное поле во всех точках рассматринаеиой области будет иметь одну и ту же Фазу, что позволяет существенно упростить енализ различных злектродинами:- ческих явлений. Тэк как при наличии вещества скорость распространения алектромагнитных волн С С/ьуб~, то первое условие нвазистационарности можно аеписзть еще и в виде е т, — ° С где Т вЂ” период электромагнитных колебаний. Оно оаначает, что время запаадывания поля в различных точках рассматриваемой области С~6/с значительно меньше периода электромагнитной волны Т и им можно пренебречь по сравнению с величиной Т.
Второе условие приыенимости квазистеционарного приближения требует, чтобы частоты электромагнитных колебаний были достаточно малыми, позволяющими использовать те же значения для дизлактрической' Я , магнитной у~. проницаамостдй и проводимости Л, что и в случае постоянных полей. Летальный анализ, проводимый с привлечениеь статистичесной физики, показывает, что даныое условие может быть выполнено только в том случае, когда время свободного пробега электронов в проводящей среде значительно меньше периода Т изменения электромагнитного полн.
Пля большинства типичных проводников, находящихся в нормальных условиях, зто требование допускает частоты вплоть до инфракрасной облаоти спектра. й, наконец, третье услсвььье куэистационарности требует малости тока смещения ь = — — по сравнению с током прово Ъ ~к ~й димости ь = Ъ ь' Е +Е' ) в пронодящей среде: — — ~ (с [ Л ГЕ + Естор~ 1. Полагая ЬБ~ 6~Е ~ и считая, что в рассматриваемом объеме отсутствуют источники сторонних з.л.с., для случая гармонической зависимости поля от времени (- — ь,ь) зто равенство можем пере- Ъ ЬT писать я ниде — 82— сд сс — или Т» — . л Е ( 19,2) Е Л При одновременном выполнении перечисленных условиИ квезистацконарности, уравнения макроскопическоИ злектродинаыики существенно упрощаются: В=у Й, ~ =Хе При проведении практических расчетов уравнения поля (19.5) часто бывает удобно представить в несколько ином виде.
Лля етого возьмем ротор от первого уравнения системы (19.5). Учитывая соотноиения (~9.4~ и иПрсльзуя иавестную формулу векторного еналиаа гойгой Н=чАс Й-лй, ямеем уухА ьН = — — гойЕ + чА~ч Н. С В силу второго и третьего Уравнений систеиы (19.5) отсюда полу- чим 4к . т.оЙ Н т 'З8 гопЕ = — —— с аЙ (19.5) А~В= О, Ач Э = 4тгр. Следует отметить, что в силу первого уравнения системы (19.5) ° ° й~~ 0, что, в свою очередь, требует выполнения услювия = О . Таким образом, по сравнению с магнитостатикой, новым Ь моментом в научении кваэистационерного поля является учет аффекта злектромагннтнон индукции фарадея.
Уравнения поля (19.5) необходимо, как обычно, доиолнить материальными уравнениями и системой граничных и начальных условий. В случае однородных н изотропных сред и при отсутствии сторонних э.д.с. в рассматриваемой облести пространстве материальные уравнения принимают достаточно простоИ вид: Э е Е, (19.4) Совершенно аналогично, полагая, что л рассметриваеиой области пространства ~) = О, из второго уравнения системы (19.5) имеем юЕ = (19,6) М * Умножая правую и левую стороны этого равенства на Л и учитывая последнее из соотношений (19.4), получим 4 )~. ь7 ~/ 7 я а (19.7) Танин образом, векторы Е , Н и ~ в случае кнааистационарного приближения удовлетворяют одинаковым уравненкям (19.5)- (19.7).
Поэтому при проведении практических рвсчетон достаточно определить один из этих векторов, после чего, используя соотношения Ж = — с то1Е, а~ -м ! = — тобй, с=у 4х можно найти и остальные векторы. ~19,8) Р 20. ~~ Однии нз наиболее характерных эффектоз в случае квааистационарного электромагнитного поля является скин-эффект. Лля того чтобы понять наиболее существенные моменты данного эффекта рассиотрим следующие две задачи. Первая иэ них состоит в изучении распределения квазистационарного электромагнитного поля в проводящей диссипирующей среде прн наличии плоской границы раздела двух сред. Предположим, что плоскость ц = О является границей раздела вакуума (полупространство ц « 0 ) и поксящейсн проводящей среды (полупространство ц > 0 ).
Считан данную среду однооодной и изотрспной, изучим характер распределения векторов Е , Й и / в ней, если з вакууме создано квазистацконарное электромагнитное поле, зек- и, Й (21. л) при ц = О, которое объединяет сразу несколько условий: Н: Как следует из граничного условия (20.1), решение уравнения (19.5) удобно искать в аналогичном виде: Й = Н('~) е е„. Подставляя это выражение н уравнение (19.9), получим Д'НЬ), ДП Н(ц). д 2 сл У Граничное условие (20.1) в этом случае примет нид (2$.2) Н(о) = Н..
(2й Б) В соответствии с правилами, принятыыи в теории обыкновенных дифференциальных уравнениИ, решение уравнения (20.2) будем искать в ниде Й(Ы= е ". тор Н которого имеет вид -Псбш и = Н„е где Н = ~ Й,О 0~ = сои.в1. Следует отметить, что векторы электроиагнитного поля, так же кек и всякие другие физические величины, всегда должны быть вещественныии. Поэтому компоненты поля Н следовало бы задаветь в явно вещественном виде, взяв, например, только реальную честь от этого выражения.
Однако поскольку в рассматриваемой аадаче вектор Н входит линейно в уравнение (19.5), то иы можем использоветь болев удобное для расчетов комплексное предста. влепив этого вектора, имея в виду, что после осуществления всех операций в качестве результата следует взять лишь действительную часть (или только мнимую) полученных выражениИ. Таким обрезом, данная задача сводится к нахождению решения уравнении (19.5) в полупространстве ц и О с векторным граничным условием Подставляя зто соотношение в уравнение (20.2), найдем, что г мъгы С Если ввеоти обозначение С Ы = 1 Д7~лю тс это соотношение примет достаточно простой вид: г 22 оу = — — т ° а ' (20,4) Отсюда следует, что й- П сч Таким образом, общее решение уравнения (20.2), нак и следовало ожидать, содержит две произвольные константы: Н~~) = С,ежр~ — у1 + С екр~- — ц~ ° (20.5) Г(М 4)1 ГДЕ) ) 1Х шПоэтому одного ч'рзничногс условия (20.5) недостаточно для определения величины постоянных С и С .
Это означает, что длн получения однозначного решения уравнений поля иы должны привлечь естественные граничные условия, вытенающие из Физической постановим задачи. Для нх нахождения рассмотрим структуру решения (20.5). Легко заметить,что первое слагаемое этого решения экспованциально возрастает с ростом ц , а второе — зкспоненциально убывает. Таким образом, первое слагеемое описывает электромагнитное поле в антидиссипирующей среде, которая усиливает его за счет уменьшения собственной энергии; второе слагаемое описывает переменное электромагнитное поле в дисснпнрующей среда, которая, наоборот, поглощает его энергию, уменьшая тем самым амплитуду поля.
Так как рассматриваемая нами проводящая среда является диссипирующей, то диссипеционные свойства однозначно определяются величиной 5 , зависящей от проводимости среды, магнитной проницаемости )и. и честоты злектромагыитного поля, Посяольиу в диссигнрующей среде амплитуда кваэистационарного электромагнитного поля по крайней иере не возрастает, то в даннои случае естественное граничное условие должно иметь вид!Н(Э)! <со при у > О .Тзк кзд ь рассматриваемой нами задаче проводящая среда предполагаат- - 86- ся диссипирующей, то для определения постоянных С и С имеем две условия: Н('О) = Н,, ! Н(у)1 со,паеО ' ц щ с'э- Первое иа нвх дает С1 Сл НО 1 а второе может быть обеспечено пры ц -~ ео только лишь тогда, когда С = О.
Отсюда следует, что Н Гу) = Н бакр ~- + ц~ . Г (т — 8) хаким образом, вектор Н в проводящей среде имеет вид Р- -Ц -) =Не б е О (20.6) Считая, что напряженность магнитного поля определяется реальной частью этого выражения, рассмотрии график, покааывашщий распределение полй в проводящей среде в некоторый момент времени Гжель П = Е = г, (см.рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
