В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 14
Текст из файла (страница 14)
+ — „О, ам~ ам' ох (22,7) где Г = (~„. ) — тенаор электромагямтного макрополя: (22,8) Легко убедиться, что система четырехмерных уравнений (22.7) эквивалентна уравнениям уав тъ~Е = — — — ° с ах НыВ = О. Проведем теперь рааделение плотыости четырехвектора полыого токе на сумму плотностей четырехвекторов токов овободыых и свяаенных зарядов ° 2 /полы ~сВов ~сбяз ' (22 9) В силу нх определения, они удовлетворяют тому ие самому ковари- антному уравнению сохранения (22.6), что и четырахвектор полыо- го тска: к К а,(в, а~ в..
ъх ал (22. Ю) усредним теперь соотношения (22.9) и (22.10) по фиаически бесионечно малым обеему и промежутку времени. Вводя обозначения — (/своВ)е ПО"УЧ"М ~/ ооон~ ~ ~! сВяа~~ О Е„ о -Е„ 8 -Е -В„ Е„Е о -е„ в„о ь .. а~'" — ).о, — „=о. а»" )~- ' Эх" Твк как четырехмерная дивергенция от вектора ч,), „~ тоидествен° к ыо обращается в нуль, то зто означает, что вектор(~ Ь ) всег° к да молью представить в виде антисимметричного тензора второго ранга: кь (22 11) кь "к где с~ъ — — т.
Действительно, диФФеренцируя правую и левую чаоти соотновения (22.П) по х" , учитывая, что кь д~ (к ох"Ъх( Ьх "Ьх с и переосознзчая потом индексы суммирования (- х , к- Е получим л к( а ."' э О аххах' ах"ах' Следовательно, з силу соотношения (22.11) ~Оь, ) ох Надлем связь компонент антисимметричного тензора юь. с О( вакторзыи Р и И . Так как .о (9своз) = ~ (/с8аз) > то иа зыравений (2.10) и (22.11) следует равенство Э/7а д~п.
дР7ъ Эгп Ъл. Ъ ' ах' ах' ЪР ах учитывая, что ~п. = 0 в силу антнснмметрии тензора >ю-'", отсюда получим - 101- пьо" = — (Р) . Созеркенно аналогично, сопоставкяя (3 в~>= с ~ . Га~) с( найдем, что пр = М, ггс =-М„,ьь =И . Следовательно, тензор пъ'" имеет вид вК М. -Э "?) "2 к ы ж о -и и„ и. о -и„ (22, 1В) +1) -и„и„о Используя зто соотноявнив, кегко убедиться, что четырехмерное уравнение (22.14) экзнввлвнтно следующей система уравненкй: о -Р о и, -м„ („-и, о и„ (22,12) м„ -м„ о где Р и М - нектары поляризации и намагниченности эвщестна э рассматриваемой инерциальной система отсчета (не обкаатвльно покоящейсн относительно среды).
Усрвдним таперь первое из уракнвний (22.5) по физически бесконечно малым объему к промежутку зреыени. Вводя обозначение Я = Е ч- 4ипь'", (22.13) в результате получим: аа и / (22*14) ха„с учитывая определеыие (22.1с), а также нырзжения (22.В) и (22.121 можыо,(станонить снязь между компонентами тензора Д'» и векторами Э и и - 102- уды 4- ,ЕН = Х вЂ” -+ — "/, сдЕ с й~ Ы = 4жд. Таким образом, уравнения Мексвелла макроскопической злак*родина.
мики (22.1) в произвольной инерциальной системе отсчета дайстви тельно могут быть представлены л четырехмерном виде: ь дх" -др„:„ЬГ„ дх 'дк" 4.у с/ 1 (22. 16) дГ „- О а дх" а следовательно> система трехмерных уравнений (22.1) сохраняет свой вид и в случае электродинамики движущихсн сред. $ 23. Законы п об зевания некто ов полн в мак оскопической злекттйоПинами~е Получение макроскопических уравнений Максвелла в четырехмерном виде не только позволяет нам утверждать о неизменности их вида в случае движущихся сред, но и дает воэможнйрть,уртанрвить звун преобразования трехмерных векторов 5 , Е , Э ,Н, Р и М при переходе к другим системам отсчета.
Действительно, при выводе уравнений (22.16) было показано, что эти векторы попарно составляют антисимметричеокие тенаоры Поскольку тензорная природа атих величин установлена, то получение соответствующих формул не составляет труда. Зайдем, например, ааконы преобразования денных векторов при переходе к некоторой инерцнальной системе отсчета, движущейся со скоростью й относительно исходной инерциальной системы отсчета. При та- Ф ком переходе координаты Г' и время Е новой системы отсчета связаны с координатами г и временем Е исходной системы отсче.
та соотношениями ч~ Ф. / сл гн — ч1 / т ! и ~:ф (23 Х) Ък'Ъм" 2- А = — — А (23 2) Ьх ОК йк 2/г то, взяв в качестве тензоре А тенаор Ц (22.13) и поступая аналогично проделанному в микроскопической алектродинемике, яо- лучим йн= Й„', ~/ н и ~т р Й~ !т 1 ~-д~ ~23.3) Совершенно аналогично, выбрев в качестве тензоре А тензорт " и используя аакон преобразования (23.2), получим ~23 4) г~3 Таким обраасм, воли некоторое тело в собственйой системе отсчета ямеет отличыый от нуля вектор поляризации ( М = О, /» !! 0), то при движении данного тела у него мокет понвиться и отличный от нуля вектор намагниченности: М ' Е~Р=! .
!!аявление зтого а!/т - л!л вектора легко понять иа следующих простит соображений! нсякоа где значок и (1) у любого векторе озыечеет, что берутоя только составляющиа етого векторе, параллельные (перпендикулярные) вектору скорости Ч . Так кен при преобразовании координат и времени Х' = д/2!Х ) теыаор второго ранга преобреауется по закону - ю»- поляризованное тела имеет на поверхности отличную от нуля плот- ность связанных зарядов. При даииении тела возникает ток этих аерядов, который н приводит к появлению вектора намагниченности тела. В саучае, когда тело н собственной системе отсчета обледо. ет одним только вектором намагниченности ~ М ф О, Р = 0), при двииении оно, в силу соотаомения (23.4), может приобрести не рав- ный нулю зентор поляриаеции Г7~м3 Р с ~Б-~ Появление вектора поляриаацни у движущегося намагниченного тела является сугубо релятивистским з$$ектом и может быть объяснено тем, что плотность ааряда ~ и вектор плотности тока ~ не яз- ляютая независимыми величинами, е представляют собой различные компоненты 4-вектора тока: ) "= (~ = ср,~ у .
В силу иннари- антности квадрата атого 4-вектора мы молем записать: = с~~~л — . (25 5) .)сйяз,) ПсБял= ' РсПяв / сбяз = 'ч*-8ва /с8еа. Познань«у в ссбстна«ной ~иста~~ ~точат~ О П =О ) й Ы О и при пеРеходе к дРУгой системе отсчета плотность тока ~ б„а , аооб/ ще говоря, ые будет ранна / л„а , то из выражения (23.5) одно- значно следует, что плотность р П не всегда будет равна нулю. Наличые ие неравной нулю плотности связанных зарядов приведат, в свою очередь, к появлению вектора поляризации у двииущагсся намагниченного тела. Закон преобразования векторов 8 и Е моино получить и Плаче. для этого запишем авион преобразования микрополей Г и Е при преобраасзаниях Лоренца: М ю М/ К = К , Ея ея, я и ура и усредним их по Физически беснонечцо малым объему и проыелутку времени.
учитывая, что (Е~м Е , (6) и В, имеем - 105— ' / г Вл= Вн, Е„= Ен Ь ~~РЕ3, Е,+ сС~~И <25'Б) Полученные соотношения (25.5) и ~23.6) позволяют нв только производить преобразования вектороэ электромагнитного поля к другой инерциальной системе отсчв*в, но и дают воэможность устеноаить эид материальных уравнений для движущихся сред. й 2ч. а е шальные аяненм я и го Перейдем теперь к определению кидз материальных уравнеяий э случае движущихся сред. Будем сначала считать, что вещество движется равномерно и прямолинейно относительно некоторого наблюдателя, находящегося л иыерциальной системе отсчета К (см.
рис.)0). В этом случае система отсчета К , свяааннвя с вещест- ком, также нвляется инерцивль- Ф -ь Ч ной. В данной системе отсчета н' бг материальные уравнения для а,)ш,Л изотропных сред и в отсутствии сторонних а.д.с. имеют кек из- Ф лестно, вид (М.5) и (15.ч). Сохраняя для диэлектрической 0 н магнитной прояицаемоотей, а также для проводимости среды, Рис.10. Лвнжение вашества отно' сительно лабо рной измеренных в системе отсчете, системы отсчета покоящейся относительно вещест- ва, обозначения 6 , уя. и Л соответстэенно, аапишем эти уравнения, отметил явно, что они / справедливы только в системе отсчета К М Ю ~) =ЕЕ, В ю~Н, ч/ в~ (2$,1) !' = 1Е'. Вс ° (1- — )Н е~е„° ~~- — )е)+.~ — ~~Й~. Вводя обозначение и. = н)з.
и проецируя это равенство не направле- н ние вектора М и на найравления, еиу ортогональные, получим Эк = ЕЕя, (24,5) л л ст. чг л Подставляя эти выракения в соотношение (24.4) и поступая аналогично, имеем Вя =~.р(я, (24.б) и л л 1-— сг Таким образом, среда, являющаяся однородной и изотропной в системе отсчета К , где она покоитсн, становится анизотролной в любой другой системе отсчета, двикущайся относительыо систеиы. уравнения (24.5) и (24.6) в научной литературе обычно рассматриваются в качестве материальных уравнений для двинул)йхся спад, позволяющих связать векторы Э и В с вектораии Е и г1. легко убедкться, что прк у ~ " -О эти уравнения явным сз обрезом теряют своИ смысл. Зтв особенность материельных уравнений в Форме (24.5) и (24.б) не вызывала бы опасений, если бы уда- л лось показать, что величине ( ".Ч1 не достигает знечения ревно- с/ с го единице.
Так кек — < 1 , то для этано необходимо, чтобы для всех веществ и для всего спектре электромагнитных волн величина показателя пРеломления покоящейся среды по модулю не превоохолкла бы единипу: !и.! щ 1 . Однако атыт сс всей убедительностью свидетельствует о наличии широкого диапазона частот, в котором все иавестные ващества обладают показателем преломления заведомо превышающим единицу.
Поэтому при достижении наблюдателем скорости М вЂ” и с относительно вещества, величина 1 —— с )Рыл л. сл стоящая в знаменателе выражений (24.5) и (24.б), обратится в куль и сделает бессмысленными эти уравнения. Для того чтобы понять причину такого свойства материальных уравнений в форме (24.5)- (24.б) и найти уравнения, не теряющие сьой смысл и при з г — О, необходимо, прежде всего, вспомнить как первонасг чально выводились материальные уравнения. Исторически сложилось так, что в научной литературе независимыми векторами стали считать векторы Е и Й , а векторы Х) и В обычко выражали через них с помощью уравнений, которые и получили название материальных уравнений. Лля покоящихся сред такой забор незазисииых переменных не приводит к каким-либо затруднениям, хотя, в принципе, возможен и другой выбор.
В частнооти, полагая, что независимыми переменными являются векторы О и Е , материальные уравнения (4.5) для пскоящекся изотропной среды мы можем записать и в виде ю / ° 1) =ИЕ, Н= — В. У' В случае движущихся сред четыре вектора Ь, Е, Э и Р оказываются связанными между собой системой уравнений (24.5), которая, вообще говоря, не позволяет проводить произвольный выбор пары ыезависимых векторов. действительно, если рассматривать уравнения (24.5) как систему из шести линейных алгебраических уравнений относительно двенадцати деизвестных (по числу компонент векторов 5 , Е , Н и В ), то очевидно, что для решения этой системы мы должны определить, какие неизвестные мы можем считать иезевисимыми, после чего их необходимо перенести направо и разрешить полученные уравнения относительно оставшихся олева неизвестных.
Вполне очевидно,что полученное решение будет иметь смысл только в том случае, когда определитель Оэзисиого мияора яе раве» нулю. В нашем случае, если в качестве неаависимюс неизвестных выбрать компоненты векторов Е и Й , то опрелл~~л4 делитель бааисного миноре будет пропорционален (У - — з- ) . С Поэтому такой выбор независимых неизвестных можно производйть - 109" „г„г только в тс. случае, когда 1 — ч~ О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
