В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, услосг вием применимости материальных урзвнуиф в форма (24.5) и (24.6) является соотношение 1 — ~ ~ и О . л ч С Если жв 1 — — ~- = О , то в качестве назависнмых парас манных следует избрать другую пару векторов. Как показывает детальный анализ, ранг матрицы ноаффициентов систеиы (24.5) равен шести и среди аа ииноров шестого порядка имеются не равныз нулю при любых вначаниях гь . Выбор одного иэ них в качества бевисного минора соотвотствует выбору векторов В и Е в качества независимых векторов. Найдем вид материальных уравнений в данном случае.
Для этого выразим из последнего уравнения системы (24.3) вектор Н Н = 1 ~8 — — ~РЕЯ)~ 4 — ~ЧЯ~ (24.7) с С и подставим его в первое уравнение той же системы. После тождаственных праобразований, аналогичных проделанным выше, получии (24.9) Зи = ЕЕн, —,(~~- ~)е, —;"(с0]). 1- —" Сг Подставляя зги выражония в соотношание (24.7), будам имать 1 Нн - — Вн, Материальные уравнекия (24.8)-(24.9) можно записать и в болев компактном виде: з = ~, ф- ~)е — ~ —,:~фЕ)о+ —:-~~з)~1 ( 2~( г 2 г И. (24.10) - по- Так кек ч /сн к У, то материальные уравнения в Формах (24.8) 2 (24.10) сохраняют свой смысл при любых значениях показателя преломления среды.
Иии мы, в основном, и будем пользоваться. Найдем теперь уравнение для плотности тока проводимости движущейся среде. Считая среду в собственной системе отсчете К электронейтрельной ~> = О, будем иметь -Ф/ /и Р/ ~. / ч с ~Д Используя третье иэ уравнений (24.1), приведем зти соотношдяия к виду: ХЕ„' -в ! /д =ХЕ,, -е/ АЕ(кЧ С у — ш- е а сл часть этих соотношений выраления (25.6)„ ~одстэвлнн в правую получим ЪЕи Х(е,+ с ~чВ1 хне Легко убедитьсн, что первые два соотношения могут быть записал в виде одного векторного, в реаультате чего материальные урезая - 111- ния примут внд хне <г». п) Ф 25.
Основы магнитной ги о инаиики Уравнения и соотношения электродинамики движущихся сред находят свое применение в различных областях Физики. Одной из таких областей является магнитная гндродинамика, изучающая процессы, происходящие в хорошо проводящих жидких или плазменных средах при их гидродинамических движениях. Обычно такое изучение проводят на основе достаточно сложных моделей среды, позвоияющнх охватить широний круг проводящих сред, начиная от жидких иеталлов и кончая плазмой межзвездного пространстэа. В настоящем курса мы ограничимсн изучением простейшей модели проводящей среды - случаем идеальной жидкости.
Это оанвчавт, что иы будем пренебрегать всеми диссипативными процессами в проводящей жидкости, считая ее сжимаемой. Как иээестно, состояние идеальной жидкости полностью описывается заданием поля скоростей ее элементов Ъ' = ~Г(т; и), распределением давления Р = Р ~Р, П ) и плотности массы 1 = с 1г,т) . Эти величины удовлетворяют следующей системе гидродинвмических уравнвний1 уравнению непреоывности Ът — 'л' Т.тг = 0 (25.1) Э1 к нерелятиьнстскнм уравнениям днижвния агР+ Х М у з (25,2) Таким образом, при движении относительно элвктронейтральной сре- ды с током в последней возникают неравные нулю плотности объем- ного и поверхностного зарндов.
Этот зФФект является кинемвтиче- ским и его обьяснение полностью аналогично приведенному в й 25 объяснению появления плотности слизанных зарядов у движущегося тела с неравной нулю плотностью тока сэязвнных зарядов. - П2- д э где — = — +~зг%~Г- субстакциальная производная по времеви, -м м' — явотяость объемных сил, действующих на идеальную жидкость. В магнитной гидродинамике в качестве таких сил обычно выступает сине деревца 7= ре,— ~7Ч, (25.5) где у - плотность свободных зарядов, находящихся з жидкости.
— плотность токе проводимости, хотя иногда рассматривают и другие силы, например, гравитационные. В систему гидродипамичеоквх уравнений текке должно быть включено и уравнение состояния идеальной жидкости Р = Р~'~,т), (25,4) позволяющее представить давление в среде как Функцию пяотяоств ее массы Т и температуры Т . уравнения (25.1)-(25.4) при заданном вырежеиии для силы ~ дают возможность определить эволюцию величин 'х , Р и чг с течением времени в каждой точке идеальной жидкости. В магниткой гидродинамике ати уравнения дополпяотсн системой уравнений максвелла.
При условии пренебрежения токаии смещения по сравяению с токами проводимости данная система принимзет вид г.о1Н = — рь С ./ у ьВ с + с Зй с~иВ= О, (25.5) ) =Л~Е+ У)иВ~~. (25.6) Ддя получения замкнутой системы динамических у~авиений нам необ- ходимо прежде всего установить связь вектора ~ с векторами В и Е . Если считать идеальную иидкость электронейтральпой ( юъ ~ 0) и перелятивистски движущейся, то из соотяожепия (24.11), понучим — 115— Строго говоря, соотношении (24.П), а следоватеаьыо и данное выражение, применимы только в случае равномерыого и прямолинейного движения всех элементов идеальной жидкости. Однако в большинстве ярактичвски важных случеез, эйфекты, обусловленныа неинерциальностью днижения жидкости, оказываются настолько малыыи, что всегда можно использовать соотношания, полученные в рамках мгновенно сопутствующей иыерцнальной системе отсчета.
Существеыным моментоы , выделяющим ыагннтную гидродннамику в элвхтродннаиике движущихся сред, является предположение о беснонвчыо большой проводимости идеальной жидкости: Х вЂ” ою . Так как плотность токе ( в этом случае должна оставаться конечной, то нз выражения (25.6) следует, что Е = — ~(ьгЬ(. (25,7) С Поэтому лектор Е в магнитной гидродинамике однозначно определяется через векторы Ъ ы 3 . В этом случее первое из уравнений (25.5) теряет своЯ статус урввыения поля и служит для определения векторе ~ по известному вектору Д г С вЂ” тох Н, (25,8) 4х а второе уравнение принимает вид (25.8) йодстевляя соотношение (25.7) в материальные уравнении (24.1С) и учитывая, что для всех сред, с которыми имеет дело магнитная гщхродннвмнка, ул. = 1 с точностью до линейных по хк/с членов, получим Й= ~, ~~ =--"(".~нЗ.
Таким образом, полная система уравнений магнитной гидродннамикн идеальной проводюхей жидкости в иаотермичвском случаа(Т сояа~) ниевт знд .С.~~~ = -С~Р— т ~Й ~Й~, (25.9) — «Й.ч Т~~ = О, ът И. Р = Р(х), 26 с~ й~ =о. а~ а) малость скорости движения среды пс сравнению со скоростью света ьг/с сс т, б) достаточно большая величина проводимости среды Л ю, в) малость величины токов смещения по сравнению с токами проводимости )/~ !ай ! Используя соотношения (25.7) и обозначая характерный период изменения величии ~Г и Н череа со , это неравенство можно переписать в следующем вида: 17! " .~". Так кек по порядку величины справедливы оценки хьг Н то из уравнения (25.2) имеем 4-зг гис С Н (25.10) Эта системе содержит восемь уравнений и позвоняет определить М восеыь неиэвестню[ Н , хг , 'х' , Р при наличии заданных начальных и граничных условий.
Останьные знектродинамические величыны могу* быть получены поске этого из соотношений (25.7)— (25.8). Условиями применимости системы уравнений (25.9) являются: — 115- Поэтому условие (25.10) дает с( СС Н Фх (25. 1)) Это неравенство требует, чтобы плотность энергии магнитного поля была значительно меньше плотности акергии покоя идеельиой жидкости. Как мы увидим в дальиейшем, денное соотношение ограничивает также и скозрость распростракекия мегнитогидродинеыических волн: чг — — <сс . г Н 4згг 6 26 Непота ые з акты магкиткой ги о икамкки йагнитнея гидродинамике, з силу своей общности, достаточно широко ислольвуется для еналиаа процессов, происходящих в различных жидких и газообразных средах, ооладеющих высокой проводимостью. Особенно важное зыачекие ока приобретает в физике плазмы. Как известно, плазма представляет собой частично или полвостью иокизировамный газ, в котором тепловое движение препятствует рекомбинации ионов и свободных электронов.
Вещество в состоякии плазмы достаточно широко распространено в природе. Так, капрымер, Солнце и звевды состоят иа высокотемпературной плавмы; вещество в мекплакетком пространстве и особенно но внешней оболочке Земли — в ионосфере — типичный пример визкотемперетурной плазмы. В земяых условиях с плазмой мы встречаемся при прохождении электрических разрядов в различных средах и в процессах горения (языки пламени). Иэ-за высокой степени ионизации плазма облекает чреавычайно большой проводимостью, в результате чего вкешкме алектрические и иагнитные поля могут оказывать на кое существеыкое воздействие. Лвижение же электронов и исков плевмы, в свою очередь, сопровождается генерецией собственного алектроыагкиткого поля плеамы, иногда значительно ослабляющего действие внешних полей.
Поэтому.анализ поведения плазмы во внешких полях и исследование других электродикамических аффектов следует производить с учетом взаимного влияния поля и двииекия плазмы. Использование уравнений и соотношений магниткой гидродинемики з ряде случаев позволяет провести такой учет с достаточной для практических приложений степенью точности.
В настоящее время, в связи с проводимыии исследованиями — 117- и г Р = — будет величиной постоннной в любой точке плавменно- н 8ж го столба: Р + — ' = солшй = Р. Й (ы,у) (26 2) 8тг о Таким обрааом, газокннетическое давление, е следовательно и плотность плазмы, уменьшается в тех областях пространстве, где напряженность магнитного поля увеличивается Это означеет, что плавна в магнитном поле ведет себя как диамагнетик — выталкиваетсн полем в область более слабых полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
