В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (pdf) (1129086), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому создавал неоднородное магнитное поле, увеличивающееся кпееюиферии цилиндра (см.рис. 11) и достигающее там значении ь'ЗзтР , можно обеопечить изоляцию плазмы от окружающего пространстве нж у8жР ~ = lх+~ц~ РИ Рис. 11. Распределение магнитного полн и девления в плааме при ее равновесии Этот способ удержания плазмы широко используется в различных плазменных устройствах. Однако следует отметить, что равновесие плазменного столба в постоянном н неоднородном магнитном поле -Пв- эн е Гй1 Ы (26.5) Ък а~ Так квк го1~7Й1 = (НФ')й- (~7ч)Й + чгд'мН - Ндй тг, то учитывая, что дЫН О, первое нз уравнений (26.5) мы молем переписать в виде М вЂ” = ('Йд )ьг — (йт7) Н вЂ” Н дыи.
(26 ч) Второе уравнение системы (26.5) дает Зт. Ф вЂ” + тйыи + чучт = О. м Отсюда следует, что ) ГЬп 1 д(ь ьг = - — ~ — + (г дг с~ т ~э~ Подставляя это выражение в правую часть соотношения (26.Ф), по- лучим является неустойчивым, в результате чего палые возмущения плааменыого столба с течением времени ноэрастают, приводя к разрушению шагни*ной изоляпии и утечке плаамы. Поэтому изучение различных типов неустойчивостей в аамагниченной плазме и разработка аффективных способов нх подавлении является одной из наиболее венных задач фиаики высокотемпературной плазмы.
Другим эффектом, харектерным для магнитной гндродинамики, является аффект чвмороиекности" магнитных силовых линий в идеально проводя~(ую среду. Для того чтобы нагляднее себе представить суть этого аффекта, найдем уравнение, которому удовлетворвют магнитные силовые линии. Это мокно сделать, используя всего лишь два уравнения из системы (25.9): — 119- Разделим теперь это уравнение ве 'Г и перенесем второе и последующие слагаемые справа налево.
В результате будем иметь ю ьн и Ь уды)Й 4(Г-) (н-)Р учитывая, ч*о д у у ЭП -Т у- д а ~г — = - — 1Г'П вЂ” - — + /~7Д) М-.— —. И' П -" 'М а~ отсюда получим следующее уравнение "движения" для вектора —: Н, Т' — ~ — ) ( е)~Г С26 5) Рассмотрим теперь какие-либо две достаточно близкие частич- ки идеальной жидкости (см.рис. ГА). Обозначим радиус-вектор од- ной из них в некоторый момент времени 6 череа ~ , е другой- через г ~ Е . Найдем уравнение "движения" для вектора 0Я).
По определению имеем ~ е е, ею+ ~)-гг~) ьй- О Нем необходимо определить величину Е (Ф ч- ьх) . Так как ско- рость первой честили в момент времеви Й равна 1У~г,х), е второй - тГ (т + с, т ) , то эа достаточно малый промежуток времеви ьЕ первая часткца сместится на вектор тг(т;с) лЕ, а вторая - не вектор й~г.
Е, ~) лЕ . Поэтессу, как следует ив рис.уй, Г(~ ц = Е(» + 7<"+е,й) ~ - ~(,~) ~. Так как по нашему предположению вектор Я является малым, то с точностью до членов второго порядке малости справедливо раз- ложение и(- ед = дай) (еР)эЯЮ. Поэтому р(~+ ч)= е(й) (е )ива ~. - 120- Подстевлян это соотношение в определение (26.6), подучим иско- мое уравнение; ~е (е ~) г. ,к Сравнивая выражения (26.5) и (26.7), ры Й/т и Г удовлетворяют одному (26. 7) легко заметить, что вчктои гоцу же уравнению. Таким обрааом, если в некоторый начальный момент времени (= 0 Ка..с '"""'"л""- ние б = в-, где Й Т р - некоторый постоянный коэффициент пропорциональности, то и в любой момент времени л будет сира ведливо равенство "()=+2,6) ~й ею О Рис.12.
Зволюция вектора Г (Ц Это означает, что если в начальный иомеыт времени две кение-либо достаточно близкие частички нещества находились на одмой и той ке силовой линии мегнитного поля, то и в дальнейшем они будут находиться не той же силовой линии. Этот эфйект, получывший в научной литературе название эйфекта "вмороженности" магнитных силовых линий, строго выполняется только в случае идеально ( Х вЂ” фю) проводящей среды. Лля сред, обладающих конечными аначениями проводимости, он выполняется тем точнее, чем выше проводимость среды.
Следует отметить, что зФфект "вмороженности" является прямым следствием законе злекэроманитной индукции Фарадея, в силу которого поток вектора Й через любой аамкнутый жидкий контур- сохраняется. Поэтощу "вмораживание" магнитных силовых линий в проводящее вещество может не происходить, если поток вектора Н через любой замкнутый контур сохраняется с течением времени и беа него. Прямым следствием эйфекта "вмороженыости" магнитных силов м линий в вещество при А — а является ыагнмтная щуммуляпия — 121- воаможность генерации сверхсильных магнитных полей при быстром обжатии (например, с помощью ударной волны, образующейся при взрыве) проводящей среды в присутствии магнитного поля.
Действительно, так кек силовые лиыин магнитного полн в хороио проводящих средах следуют за частичками среды, то вынуждая их двыгзтьсн в направлении, перпендикулярном к линиям магнитного поля, мы можем добиваться сгущения оиловых лмний в некоторых областнх пространстве. А всякое сгущение сыловых лкний, как известно, означает увелычение напряженности магнитного поля в денной области. З 27. Магянтсг о инамические волны Одним из наиболее важных следствий теоремы о "вмороженности" магнитных силовых линий в идеально проводящие жидкие или гааообразные среды является утверждение, что неоднородные движения частичен среды в направлениях, перпендикулярньщ вектору Й, могут вызветь изменение напряженности магнитного поли. Поэтому всякое вознущание скорости среды в этом направлении неиабежно должно сопровождаться и возмущениями электромагнитного поля в среда.
Эти взаимосвязанные возмущения скорости среды и непряженности магнитного поля, как ыы увидим, будут иметь волнообразный характер, в реаультате чего в научной литературе они получили наиненование мегыитогидродинаыических волн. Для изучения характерных особеныостей, свойственных магнитогидродинаиическии волнам, рассмотриы следующую модельную задачу. Предположим, что покоящаяся олнсроДНнн прсводмаая жид= кость находится во внешнем постоянном и однсораднам магнитном псл8 г1с СчитаЯ жидкость идеальной, т е пренабр8гаЯ вс8ми диссипативными процессеми, изучим распространение в ыей малых возмущений.
В магнитной гидродинамике уравнения, определяющие эволюцию идеальной жидкости в электронегкитном поле, имеют, как иавестыо, вид — 122- Р—. РГг), Щ = АС"ЙЗ а~ Эта система содержит восемь уравнений относительно восьми ыеизнестных 'Г , Р , й , Й , входящих в них. спределыв вежторы Й и 17 из системы (27.1), иы можем найти и вектор Е: е = — — Г~ й~.
(27.2) С Разложим все входящие в систему (27.1) величины в ряхы по малому параметру, характеризующему рассматриваемое малое возмущение: Й = Й, и, й (27.5) ч7 = чг + й + игл + о 1 где ывдексом О обоаначены исходные невоаиущенные величивы, индексом 1 - величывы, линейные по малому параметру воаыущеиия, иидаксом 2 - неличмны, квадратичные по этощу параметру и т.д. Тея кек в невозмущенном состояыии скорость идеальыой жидкости равна нулю, то в соотношениях (27.5) мы долины положить йе- О.
Кроме того, введем принятые в гидродинамике обоаначения РЩ=Р, — ~т) = и, О, а) где и. — скорость звуке в среда. Подставим таперь соотношения (27.3) в смстему уравиеыий (27.1) и представим полученные уравнения в виде рядов. Приравнивая к нулю вырежения, играющие роль коаффициеитов этих рядов, мы можем получить уравнения иагнитной гидродииамики в прмближевми любого порядка по малому параметру воамущения. Так как гох Й = О , и = О, то в нулевом порядке имеем О = -чгР,, ~ со о р М Отсюда следует, что в невозмущенном состоянии давление во всех точках жидкости одинаково, а плотность жидкости не только одн<г родна, но и на зависит от времени.
В первом приближении по малому параметру возмущения система уравнений (27.1) примет вид 4и (27.4) ат', — + с Аыъ =О. м~ В силу (27.2) вектор Е в атом приближении определяется следующим соотношением: (27.5) Решения этих уравнениИ будем искать в виде плоских волн, предполагая, что воаиущение плотное*и вещее~за ь, и векторы Й,, т~ зависят от координат и времени только через зкспоненциальный множитель ехр(Цкт.- оьВ)). В этом случае действие оператора а а~ — на любую из перечисленных величин эквивалентно уыножению этой величины на -см , а действие оператора Ч - эквивалентно умножению на ск .
Поэтому система уравнений (27.4) может быть записана в виде 'Е сй3у = 1л с К ч — ~Но~КН,Я, (27.6) С.Л вЂ” сеК Ь; = О. Т Как следует из последнего уравнения данной системы, волна скорости идеальноИ жидкости чг прм ыаличии возщущениИ плотности 1 - 124- среды ( 'е; и' О) всегде имеет продольную составляющую: КйФ О. Волна ыагйитного поля, в силу второго иа уравнений (27.6), всегда является поперечной ( к Нч = О); волна электрического поли (27.5) в общем случае может иметь и продольную составляющую: кГ,м ОВ силу последнего иа соотношений (27.6) волыа плотности проводящей жидкости напосредственно свяаана с распрострайением продольной волны скорости: 'Й = — ась/ .
(27.7) т С,> Ф Испольауя вто равенство, векторные уравнения (27.М) можно запиоать в виде 2 -ь т,чай, = — ''(кй')к + — и(Й Ц) — ,—(х Н,), (27.8) СОН< = )то(КтУ, ) — ~~, Я~о). (27.10) спроецируем теперь уравненмя (27.7) на ось к .
Учитывая соотноиеныя (27.9) и (27.10), имеем ~ч Ноы с<~(г + — Н =0 о х фто вх (27,П) СОН, ч-7У КН = О. ах х оо Проецируя уравнения (27.8) на осн ц и ч. , получим Для нонкретного аналиаа данных уравнений нам необходимо переписать их покомпонентно. Не огреничквая общности, выберем систему координат тек, чтобы ось ц была направлена вдоль вектора К, а вектор Р лекал в плоскости цд (см.рис.1З): К = (О,к,О~, Н, = (О,Н,Н ~.
(27.9) ю ~ ь Ф Тогда векторы Ю и Н в силу соотношеыий К Н = О, к ц Ф О, могут иметь следующие компоненты: Й = ) Н,„,О, Н„)~, тг, = ~их, О„, 1Г,~. - 125- Ы'- сэва. чг = — к~ьг + — "г( Н о ы ~~ ы 2, су ~ Ноы иг ~Г = онН о х уг фх> ТГ (27. 12) Зто уравнение показывает, что частота и волновой вектор компонент Ю„ и Н,„ связаны следующим дисперсионныи соотношением: ы ! Ном! (27.13) Зная дисперснонное соотноиание, мы можем определить фазовую 'Ц и групповую и' скорости распространения волн и и Н, . По опх 1к' ределанию имеем Таким обрааом, векторныа уравнанмя (27.8) распались на уравнения (27.11), содержащие только компоненты Ю„' и Н,„,и на уравнения (27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
