В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций пофункциональному анализуЛектор — Валерий Валентинович РыжиковIII курс, 5 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.Элементарное введение1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Нормированные и метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Нормированные пространства2.1. Операторы в нормированных пространствах . .

. . . . . . . . . . .2.1.1. Определение и свойства операторов . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Базис Гамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Важнейшие теоремы функционального анализа . . . . . . . . . . .2.2.1. Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза2.2.2. Теорема Банаха об обратном операторе .

. . . . . . . . . . .2.3. Спектр оператора и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Определение спектра и его простейшие свойства . . . . . . .2.3.2. Пример нахождения спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Ещё две теоремы о спектрах . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .2.3.4. Резольвента. Непустота спектра ограниченного оператора .2.4. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейных функционалов . .2.4.1. Вещественный вариант ТХБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Обобщение ТХБ на комплексный случай . . . . . . . . . . .2.5. Компактность. Слабая сходимость и слабая компактность . . . .

.2.5.1. Компактные и предкомпактные множества . . . . . . . . . .2.5.2. Слабая сходимость и слабая компактность . . . . . . . . . .2.6. Ещё две теоремы о сопряжённых пространствах . . . . . . . . . . .2.6.1. Общий вид функционалов в L1 [0, 1]. Несепарабельность L∗∞3.4445.............................................................................................................................................................................................................................................................................................777888911111112131414151616171818Гильбертовы пространства3.1. Операторы в гильбертовых пространствах . .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Понятие гильбертова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Лемма об ортогональной проекции и её следствия . . . . . . . . . .3.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве3.1.5. Свойства сопряжённых операторов . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Компактные (вполне непрерывные) операторы . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Определение и свойства компактных операторов . . . . . . . . . . .3.2.2. Свойства спектра компактных операторов . . . . . . . . . .

. . . .3.2.3. Теорема Гильберта – Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4. Интегральные операторы Гильберта – Шмидта . . . . . . . . . . . .3.3. Теория Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................191919191920202121222223232.........................................................ВведениеПредисловиеУбедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайте автору наdmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящее времясамого автора. Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будут обязательноприняты к сведению.Комментарии к тексту набраны мелким шрифтом с пометкой видаПримечание: Замечания по поводу...Как правило, такие примечания указывают на дырки и непонятности в рассуждениях лектора.

Следовательно, к тексту в окрестности таких пометок нужно относиться очень осторожно и внимательно его читать.В этой редакции не хватает одного вопроса: теорем Фредгольма. Читайте по КФ.Последнее обновление: 16 февраля 2006 года.Слова благодарностиЗа некоторые замеченные опечатки благодарность выносится Виктору Осокину, Анастасии Абрашитовой иДарье Ярцевой.Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения1◦ Следуя [3], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов.

Так,Int A — множество внутренних точек множества A, Cl A — замыкание множества A.2◦ Следуя [1], пространства интегрируемых в p-й степени функций обозначаются Lp .3◦ Индикатор множества A обозначается через IA .Литература[1] В. И. Богачёв. Основы теории меры. — Москва — Ижевск: RCD, 2003.[2] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.[3] В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. — М.: Наука, 1977.341.1.1. Нормированные и метрические пространства1.

Элементарное введение1.1. Основные понятия1.1.1. Нормированные и метрические пространстваОпределение. Нормированным пространством называется линейное (векторное) пространство X над полем K, в котором задана функция k·k : X → R+ , называемая нормой и удовлетворяющая следующим свойствам:1◦ Для ∀ x, y ∈ X имеем kx + yk 6 kxk + kyk — неравенство треугольника.2◦ Для ∀ x ∈ X, ∀ α ∈ K имеем kαxk = |α| · kxk — однородность.3◦ Для ∀ x ∈ X из kxk = 0 следует x = 0.Как следует из определения, поле K должно быть снабжено своей нормой. Мы будем рассматривать случаиK = R и K = C.Определение.

Метрическим пространством называется множество M , в котором задана функция ρ : M ×M → R+ , удовлетворяющая свойствам:1◦ Для ∀ x, y, z ∈ M имеем ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) — неравенство треугольника.2◦ Для ∀ x, y ∈ M имеем ρ(x, y) = ρ(y, x) — симметричность.3◦ Для ∀ x, y ∈ M из ρ(x, y) = 0 следует x = y.Если (X, k·k) — нормированное пространство, то норма в нём задаёт некоторую метрику: положим ρ(x, y) :=kx − yk. Выполнение всех свойств метрики очевидным образом следует из аксиом нормы. Отметим, что такаяметрика является трансляционно-инвариантной, то есть ∀ x, y, z ∈ X имеем ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), или, прощеговоря, расстояние между точками сохраняется при параллельных переносах.Определение. Последовательность {xn } ⊂ X называется фундаментальной, если ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n, m > Nимеем kxn − xm k < ε.Определение.

Говорят, что последовательность {xn } ⊂ X сходится к x ∈ X, если kxn − xk → 0 при n → ∞.Определение. Пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательностьимеет предел.Определение. Банаховым пространством называется полное нормированное пространство. RПример 1.1. Пространство Lp (X, µ) = f : |f |p dµ < ∞ , p ∈ [1, +∞) является банаховым пространствомс нормойZ1/ppkf k :=|f | dµ.(1)XЗдесь мы, конечно, должны сделать небольшую поправку. Чтобы все свойства нормы были выполнены, нужно рассматривать не само множество функций с интегрируемой p-ой степенью, а факторпространство X ∼ , вп.в.котором f ∼ g тогда и только тогда, когда f = g. В противном случае не будет выполнено свойство 3◦ нормы.Пример 1.2.

Пространство ℓp = Lp (N, #), где # — мера, задаваемая как мощность множества. Иначе говоря,это пространство последовательностей x = {xn } с нормойkxk :=∞Xp|xn |n=1!1/p.(2)Теорема 1.1. Пространство ℓ1 является полным пространством. Мы будем писать индексы элементов пространства сверху. Фиксируем фундаментальную последова∞тельность {xn } ⊂ ℓ1 . Фиксируем i ∈ N и рассмотрим последовательность {xni }n=1 . Она, очевидно, являетсяфундаментальной, поэтому в силу критерия Коши для числовых последовательностей она сходится к некоторому числу xi .

Положим x = (x1 , x2 , . . .). Запишем теперь условие Коши для исходной последовательности:∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n, m > N имеем kxn − xm k < ε. Перейдём в этом неравенстве к пределу при n → ∞ и фиксированном m, получим kx − xm k 6 ε, но это и означает, что xm → x. Примечание: Мы не обосновали, почему, собственно говоря, x ∈ ℓ1 , но это несложно доказывается. Достаточно выбратьдостаточно близкие к xi элементы исходных последовательностей.Определение.

Норма в пространстве C[a, b] непрерывных на отрезке [a, b] функций обычно задаётся так:kf k := max |f (x)|.x∈[a,b]4(3)51.1.2. Полные метрические пространстваЭта норма называется равномерной, или чебышёвской.Теорема 1.2. Пространство C[a, b] полно по равномерной норме.

Пусть {fn } — фундаментальная последовательность функций. Тогда ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n, m > N имеемkfn − fm k < ε. Отсюда сразу получаем, что ∀ x ∈ [a, b] имеем |fn (x) − fm (x)| < ε. Следовательно, при каждомфиксированном x ∈ [a, b] существует предел lim fn (x) =: f (x). Покажем, что fn ⇒ f .

Для этого достаточноnперейти к пределу в неравенстве при n → ∞, тогда получим ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ m > N имеем kf − fm k 6 ε.Это в точности означает равномерную сходимость. Но равномерный предел непрерывных функций непрерывен,поэтому f ∈ C[a, b]. 1.1.2. Полные метрические пространстваОпределение. Пусть (M, ρ) — метрическое пространство. Шаром (открытым) называется множествоB(x, r) := {y ∈ M : ρ(x, y) < r} .(4)Если неравенство нестрогое, то шар называется замкнутым.Примечание: Определения топологии на лекции не было. Не было сказано и то, что открытый шар является открытыммножеством в топологическом смысле, и аналогично про замкнутый.

Доказательства этих фактов несложные, но всё это надопомнить.Теорема 1.3 (Бэра о вложенных шарах). Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство. Пустьei (xi , ri ) — последовательность вложенных замкнутых шаров, причём ri → 0. Тогда ∃ ! x ∈ T Bei .Bei ⊃ Bei+1 , последовательность {xi } будет фундаментальной и потому сходится к Поскольку ri → 0, а Bнекоторому x ∈ M в силу полноты пространства. Покажем, что x является искомой точкой. Действительно,ei0 такой, что x ∈ei0 , тогда бы точка x не лежала бы ни в одном из шаров, начиная сесли бы нашёлся шар B/Beномера i0 . Но поскольку дополнение к Bi0 открыто, x можно отделить окрестностью от всех шаров, начиная сномера i0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций