В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть {λn } — попарно различные ненулевые собственные значения оператора A. Покажем, что λn → 0.Допустим противное, тогда из {λn } можно выделить подпоследовательность так, что после перенумерациипоследовательность |λ1n | ограничена. Рассмотрим цепочку подпространств Xn := he1 , . . . , en i, где ei — собственный вектор с собственным значением λi . Тогда e1 , .
. . , en будут линейно независимыми, следовательно,{Xn } — строго возрастающая цепочка. В силу леммы о почти перпендикуляре, найдутся единичные векторыnPxn ∈ Xn , для которых ρ (xn , Xn−1 ) > 12 . Разложим их по базису подпространств Xn : пусть xn =ck ek .
Какk=1xnnограничена. Подействуем на неёлегко видеть, Axλn − xn ∈ Xn−1 . По предположению, последовательность λnоператором A и увидим, что получается ёж. В самом деле, при n < m имеемv :=AxnAxmAxnAxm−xm + xm −,−=λnλmλnλ| {z }|{z m }∈Xm−1∈Xm−1значит, kvk = k−xm + (вектор из Xm−1 )k > 21 , а это противоречит компактности оператора A. 3.2.3. Теорема Гильберта – ШмидтаВ этом разделе A — компактный самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H.Введём обозначение Q(x) := (Ax, x). Заметим, что это число всегда вещественно в силу самосопряжённостиоператора.wЛемма 3.14. Пусть xn −→ x. Тогда Q(xn ) → Q(x). Имеем|Q(xn ) − Q(x)| = |(Axn , xn ) − (Ax, x)| = |(Axn , xn ) − (Ax, xn ) + (Ax, xn ) − (Ax, x)| 6 ! 6 |(Axn , xn ) − (Ax, xn )| + |(Ax, xn ) − (Ax, x)| = A(xn − x), xn + x, A(xn − x) 66 kA(xn − x)k · kxn k + kxk · kA(xn − x)k → 0.Здесь равенство «!» следует из свойств самосопряжённого оператора, а сходимость к нулю вытекает из свойствкомпактных операторов и ограниченности kxn k (а это — следствие слабой сходимости).
Лемма 3.15. Если |Q(x)| достигает на единичной сфере своего максимума в точке x0 , то для любого⊥⊥вектора y такого, что (x0 , y) = 0, выполнено (Ax0 , y) = 0, то есть hx0 i ⊂ hAx0 i .22233.2.4. Интегральные операторы Гильберта – ШмидтаРассмотрим векторx0 + ay, a ∈ C.kx0 + aykИспользуя самосопряжённость оператора и теорему Пифагора для векторов x0 и y, получаем12Q(v) =22 · Q(x0 ) + 2 Re a(Ax0 , y) + |a| Q(y) .1 + |a| · kykv :=Если (Ax0 , y) 6= 0, то выбирая a малым по модулю и подкручивая его аргумент, можно сделать так, что числоRe a(Ax0 , y) будет ненулевым вещественным и будет иметь тот же знак, что и Q(x0 ).
Тогда |Q(v)| > |Q(x0 )|, амы предположили, что x0 максимизирует модуль Q. Полученное противоречие показывает, что (Ax0 , y) = 0. Следствие 3.5. Если |Q(x)| достиг максимума на векторе x0 , то это собственный вектор оператора A.⊥⊥ По лемме имеем hx0 i⊥ ⊂ hAx0 i⊥ , поэтому hx0 i⊥ ⊃ hAx0 i⊥ , то есть hAx0 i ⊂ hx0 i. Теорема 3.16 (Гильберта – Шмидта). Компактный самосопряжённый оператор A в сепарабельном гильбертовом пространстве H обладает базисом из собственных векторов. Будем строить элементы базиса по индукции в порядке убывания модулей собственных значений.Покажем, что на единичной сфере функция |Q(x)| достигает своего максимума.
Пусть S := sup |Q(x)|, а xn —последовательность единичных векторов, реализующая S. Поскольку единичный шар слабо предкомпактен,wможно выбрать подпоследовательность yn −→ y. При этом в силу первой леммы получаем |Q(yn )| → |Q(y)|,поэтому |Q(y)| = S.⊥В качестве первого базисного вектора e1 возьмём вектор y. Теперь рассмотрим he1 i . Оно в силу самосопряжённости оператора инвариантно относительно A. В нём повторим эту же процедуру, найдём e2 , и так далее.Если начиная с какого-то момента мы получаем Q(x) ≡ 0, это означает, что ненулевые собственные значениякончились, и мы попали в ядро оператора. Во противном случае получаем последовательность ненулевых собственных значений {λn }.
Они, очевидно, сходятся к нулю. В самом деле, если бы их модули были ограниченыснизу, то образы единичных базисных векторов образовывали бы «ежа», а не предкомпактное множество. 3.2.4. Интегральные операторы Гильберта – ШмидтаОпределение. Рассмотрим функцию K(x, y) ∈ C[a, b]2 и оператор A : L1 [a, b] → L1 [a, b], заданный так:A(f ) :=ZbK(x, y)f (y) dy.aЭтот оператор называется интегральным оператором Гильберта – Шмидта. Функция K называется ядроминтегрального оператора.
Через AK мы будем обозначать оператор с ядром K.Задача 3.1. Доказать, что A∗K = AK .Для сокращения записи не будем писать пределы интегрирования по [a, b]. Все нормы для функций понимаются в смысле тех пространств, где эти функции живут.Утверждение 3.17. Интегральный оператор A с ядром K ограничен. Очевидным образом следует из ограниченности ядра K(x, y). Теорема 3.18. Интегральный оператор Гильберта – Шмидта A с ядром K компактен. Идея доказательства состоит в том, чтобы приблизить оператор по норме конечномерными операторами:как мы знаем, конечномерный оператор компактен и предел компактных компактен.
Разобьём квадрат сеткойn × n, и вместо функции K(x, y) возьмём ступенчатую функцию Kn (x, y), которая на каждом квадратике сеткиравна значению функции K в центре квадратика. Ясно, что при увеличении n имеем kKn − Kk → 0 и потомуkAKn − AK k → 0. Конечномерность образов операторов Kn очевидна.
Значит, оператор A является пределомкомпактных операторов и потому сам компактен. 3.3. Теория ФредгольмаТри теоремы Фредгольма очень хорошо изложены в книге Колмогорова и Фомина. Не вижу смысла переписывать их сюда. Читайте гл. IX, §2, п. 4.Замечание. В пятом издании этой книги на странице 469 (доказательство теорем Фредгольма, перед первой леммой) имеется опечатка. Там написано «... где A — комплексный оператор...» имелся в виду, конечно,компактный оператор.В стёпинских лекциях (см.
http://dmvn.mexmat.net) можно прочесть доказательство этих теорем для банаховых пространств.23Предметный указательлинейное, 15частичное, 15Базис Гамеля, 8Банахово пространство, 4Бинарное отношение, 15Фундаментальная последовательность, 4Функционаллинейный, 7Верхняя грань, 15Всюду плотное множество, 5Частичное упорядочение, 15Частичный порядок, 15Чебышёвская норма, 4Замкнутый шар, 5ЛеммаЦорна, 15Линейное упорядочение, 15Линейный порядок, 15Линейный функционал, 7Шарзамкнутый, 5открытый, 5Элементмаксимальный, 15Максимальный элемент, 15Метрика, 4Метрическое пространство, 4Множествовсюду плотное, 5нигде не плотное, 5первой категории, 5Неограниченный оператор, 7Непрерывный оператор, 7Нигде не плотное множество, 5Норма, 4оператора, 7равномерная, 4чебышёвская, 4Нормированное пространство, 4Ограниченный оператор, 7Оператор, 7неограниченный, 7непрерывный, 7ограниченный, 7резольвента, 13спектр, 11тождественный, 7Открытый шар, 5Отношениеантисимметричное, 15бинарное, 15рефлексивное, 15симметричное, 15транзитивное, 15частичного порядка, 15Отображениесжимающее, 6Полное пространство, 4Последовательностьфундаментальная, 4Пространствобанахово, 4метрическое, 4нормированное, 4полное, 4Равномерная норма, 4Резольвента оператора, 13Сжимающее отображение, 6Спектр оператора, 11Сходимость последовательности, 4ТеоремаБахаха об обратном операторе, 9Бэра о вложенных шарах, 5Бэра о категориях, 5Достаточное условие необратимости оператора, 11Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза, 8Тождество Гильберта, 13Устойчивость обратимости оператора при малых возмущениях,10Хана – Банаха о продолжении ограниченного функционала, 14о пополнении, 7о сжимающих отображениях, 6Тождественный оператор, 7Упорядочение24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
