В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Имеем ρ(h, H0 ) =: a > 0 в силу того, что одно из этих множеств замкнуто, а второе компактно. Выберемпоследовательность {hn } ⊂ H0 так, чтобы ρ(hn , h) → a при n → ∞. Покажем, что {hn } фундаментальна.Нам понадобится тождество параллелограмма: «сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суммеквадратов его сторон».
В силу этого тождества для достаточно больших n и m получаем2hn + hm 6 2(a2 + ε) + 2(a2 + ε) − 4a2 = 4ε,khn − hm k = 2 kh − hn k + 2 kh − hm k − 4 h −2222и тем самым фундаментальность установлена.Далее, H0 — замкнутое подпространство полного пространства, и потому оно полно. Следовательно, {hn }сходится к некоторому элементу h0 ∈ H0 .
По непрерывности имеем ρ(hn , h) → ρ(h0 , h). С другой стороны, этотпредел равен a в силу выбора hn . Следовательно, ρ(h0 , h) = a. Следствие 3.1. Пусть H0 ⊂ H — замкнутое подпространство. Всякий вектор h ∈ H представим в видеh = h0 + g, где h0 ∈ H0 , а g ∈ H0⊥ .2 Пусть x ∈ H0 . По лемме, функция d(x) := kh − xk достигает минимума на некотором векторе h0 ∈ H0 .2Поэтому функция ϕ(t) := kh − h0 + txk имеет минимум при t = 0. Тогда ϕ′ (0) = 0. Распишем скалярныйквадрат: ϕ(t) = (h− h0 + tx, h− h0 + tx) = kh − h0 k2 + 2t Re(x, h− h0 )+ t2 (x, x), поэтому ϕ′ (0) = 2 Re(x, h− h0 ) = 0.Далее, вместо вектора x рассматривая вектор i · x, получаем Im(x, h − h0 ) = 0. Следовательно, (x, h − h0 ) = 0.Таким образом, всякий вектор x ∈ H0 ортогонален вектору h−h0 , то есть h−h0 ∈ H0⊥ .
Тождество h = h0 +(h−h0 ),очевидно, является искомым разложением. 19203.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве3.1.4. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространствеГильбертовы пространства хороши тем, что всякий функционал в них устроен очень просто: это скалярноеумножение не некоторый (фиксированный) вектор.Лемма 3.3 (Рисса). Пусть f — ограниченный функционал. Тогда найдётся вектор h0 ∈ H, для которогоf (x) = (x, h0 ).
Если f ≡ 0, то доказывать нечего: берём h0 := 0. Пусть теперь f 6= 0. Очевидно, ядро K := Ker f —замкнутое подпространство. Покажем, что dim K ⊥ = 1. Рассмотрим ненулевые вектора h1 , h2 ∈ K ⊥ . Рассмотримвекторv = f (h1 )h2 − f (h2 )h1 .С одной стороны, v ∈ K ⊥ как линейная комбинация векторов из K ⊥ . С другой стороны, он лежит и в K,потому что f (v) = f (h1 )f (h2 ) − f (h2 )f (h1 ) = 0.
Но K ∩ K ⊥ = 0, поэтому v = 0, следовательно вектора h1 и h2пропорциональны.Рассмотрим уравнение f (x) = (x, µh1 ), где µ — неизвестное. Определим его, подставив x = h1 : получимF (h1 ) = µ(h1 , h1 ). Итак, µ найдено. Тогда для всякого x ∈ K ⊥ имеем f (x) = (x, µh1 ).
В самом деле, x = λh1 ,поэтомуf (x) = f (λh1 ) = λf (h1 ) = λ(h1 , µh1 ) = (λh1 , µh1 ) = (x, µh1 ).Аналогично, если x ∈ K, то равенство тоже верно: и слева, и справа получаем ноль. Но поскольку H = K ⊕ K ⊥ ,по следствию из леммы об ортогональной проекции это верно и на всём пространстве. Утверждение 3.4. Сопряжённый оператор существует. Пусть A — ограниченный линейный оператор в H. Зафиксируем y ∈ H и рассмотрим функционалf (x) := (Ax, y). Линейность его очевидна, а ограниченность следует из неравенства Коши – Буняковского:|(Ax, y)| 6 kAxk · kyk 6 kAk · kyk · kxk .По лемме Рисса получаем f (x) = (x, A∗ y), где A∗ y — обозначение для сопряжённого оператора, применённогок вектору y.Проверим корректность определения.
Пусть мы получили таким способом два вектора v1 и v2 . Для них имеем(Ax, y) = (x, v1 ) = (x, v2 ), причём это верно для любого x. Таким образом, для всех x имеем (x, v1 − v2 ) = 0.Подставим x = v1 − v2 , получим (v1 − v2 , v1 − v2 ) = 0, откуда v1 = v2 .Очевидно, что получаемый таким способом оператор будет линейным. 3.1.5. Свойства сопряжённых операторовЛемма 3.5. Для любого ограниченного оператора A имеет место равенство kA∗ k = kAk. Действительно, kAxk2 = (Ax, Ax) = (A∗ Ax, x) 6 kA∗ Ak · kxk2 по неравенству Коши – Буняковского.2Перейдём к верхней грани по kxk = 1, получим kAk 6 kA∗ Ak 6 kA∗ k · kAk, откуда kAk 6 kA∗ k. Меняя в этих∗выкладках местами операторы A и A , получаем обратное неравенство.
Теорема 3.6. Пусть про операторы A и B известно, что (Ax, y) = (x, By). Тогда kAk 6 ∞. Покажем, что ограниченности A эквивалентна тому, чтоsup |(Ax, y)| < ∞.(1)kxk=1kyk=1В самом деле, имеемAxsupAx,= kAk .kAxkkxk=1(2)kAxk6=0Рассмотрим функционал ϕx (y) := (Ax, y). Пусть kxk = 1, тогда мы имеем семейство непрерывных функционалов {ϕx }. Тогда| sup ϕx (y)| = sup |(x, By)| 6 kByk 6 C(y),(3)kxk=1kxk=1то есть мы имеем семейство поточечно ограниченных функционалов. По теореме Банаха – Штейнгауза kϕx k 6 C.Отсюда sup |ϕx (y)| 6 const, то есть sup |(Ax, y)| 6 const.
А это и значит, что оператор A ограничен. kxk=1kyk=120213.2.1. Определение и свойства компактных операторов3.2. Компактные (вполне непрерывные) операторы3.2.1. Определение и свойства компактных операторовОпределение. Оператор называется компактным, если образ единичного шара предкомпактен.Утверждение 3.7. Сумма компактных операторов есть снова компактный оператор. Очевидно, если воспользоваться, например, критерием Хаусдорфа.
Утверждение 3.8. Произведение компактного и ограниченного операторов есть компактный оператор. Пусть A — компактный, а B — ограниченный операторы. Сначала покажем,что оператор AB компактен.Если множество M ограничено, то B(M ) тоже ограничено. Тогда A B(M ) предкомпактно, и всё доказано.Теперь покажем, что BA тоже компактный оператор. Для этого воспользуемся критерием Хаусдорфа предкомпактности множества. В силу компактностиA, для любого ε в множестве A(M ) существует конечная ε-сеть.Очевидно, что для множества B A(M ) годится kBk · ε-сеть, которая получается из исходной сети после применения оператора B. Следствие 3.2.
Компактные операторы образуют двусторонний идеал в алгебре операторов.Следствие 3.3. Компактный оператор в бесконечномерном пространстве необратим. В самом деле, допустим противное. Поскольку AA−1 = id, в силу предыдущего утверждения получаем, что id является компактным оператором. Но это неверно, поскольку в бесконечномерном пространствеединичный шар не является предкомпактом. Теорема 3.9. Следующие утверждения эквивалентны:1. Оператор A компактен;2.
Оператор A∗ компактен;3. Оператор A∗ A компактен. Мы уже знаем, что от умножения на ограниченный с любой стороны компактный оператор не теряетсвоих чудесных свойств, поэтому «1 ⇒ 3» и «2 ⇒ 3» доказаны.Докажем, что 3 ⇒ 1. Рассмотрим последовательность {xn } такую, что kxn k = 1. Так как оператор A∗ Aкомпактен, то {A∗ Axn } содержит сходящуюся подпоследовательность. Тогда перенумеруем её, и будем считать,что {xn } — это она и есть.
Покажем, что {Axn } тоже содержит сходящуюся. Действительно, имеем(Axn − Axm , Axn − Axm ) = (A∗ A)(xn − xm ), xn − xm → 0,(4)| {z }k·k62так как (A∗ A)(xn − xm ) → 0. Теорема 3.10. Пусть An — последовательность компактных операторов в банаховом пространстве, иAn → A по норме. Тогда A компактен. Пусть {xn } — ограниченная последовательность. Нужно доказать, что из последовательности {Axn }можно выбрать фундаментальную.(1)(1)Так как A1 компактен, то выбираем последовательность xn такую, что последовательность A1 xn сходится.(2)(2)(i)Из неё выбираем xn такую, что A2 xn сходится, и так далее.
Возьмём диагональ yi := xi и покажем, что последовательность Ayi фундаментальна. По условию kxn k 6 C, а kAk yn − Ak ym k → 0 в силу фундаментальности.Кроме того, kA − Ak k → 0. ПоэтомуkAyn − Aym k 6 kAyn − Ak yn k + kAk yn − Ak ym k + kAk ym − Aym k 66 kA − Ak k · kyn k + kAk yn − Ak ym k + kA − Ak k · kym k 66 kA − Ak k · C + kAk yn − Ak ym k + kA − Ak k · C → 0,а это и значит, что последовательность {Ayi } фундаментальна. Лемма 3.11. Пусть последовательность {xn } в банаховом пространстве слабо сходится к x0 и предкомпактна.
Тогда xn → x0 по норме пространства. В силу предкомпактности из последовательности можно выделить фундаментальную подпоследовательность xnk . В силу полноты пространства она сходится к некоторому вектору xb. Из сходимости по норме следуетwb. Но слабый предел единствен, поэтому xb = x0 , что и требовалось. слабая сходимость, поэтому xnk −→ xСледствие 3.4. Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сходящуюся понорме.21223.2.2. Свойства спектра компактных операторов Как уже было доказано, слабо сходящаяся последовательность ограничена. По определению компактного оператора, {Axn } предкомпактно, поэтому содержит сходящуюся к некоторой точке y подпоследовательность.Очевидно, что {Axn } тоже слабо сходится, а поскольку слабый предел совпадает с сильным (если последнийсуществует), то и образ всей последовательности сходится к y. 3.2.2.
Свойства спектра компактных операторовЛемма 3.12. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы. Докажем утверждение индукцией по количеству k собственных векторов e1 , . . . , ek c собственными значениями λ1 , . . . , λk соответственно. При k = 1 доказывать нечего. Пусть k > 1, иe1 + . . . + ek−1 + ek = 0,тогда, применяя к этому равенству оператор, получаемλ1 e1 + . . . + λk−1 ek−1 + λk ek = 0.Вычтем отсюда исходное равенство, умноженное на λk , получим(λ1 − λk )e1 + . . . + (λk−1 − λk )ek−1 = 0.По предположению индукции такое возможно только если ei = 0 при i = 1, .
. . , k − 1. Но тогда и ek = 0. Замечание. Отрицание линейной независимости было сделано для линейной комбинации с единичнымикоэффициентами. Но ясно, что это не существенно, так как вектора yi := ai ei также являются собственными, иможно предполагать, что зависимы именно они (но уже с единичными коэффициентами).Теорема 3.13. Пусть оператор A : X → X — компактен, пространство X — банахово. Тогда количествособственных значений вне всякого круга радиуса r > 0 с центром в нуле лишь конечное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
