В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Выбирая x3 ∈ M r (U1 ∪ U2 ) и так далее, получим последовательность, у которой ρ(xi , xj ) > ε0 , поэтому из неё нельзя выделить фундаментальную. Таким образом, M непредкомпактно.Обратно, пусть для ∀ ε > 0 существует конечная ε-сеть. Пусть {xi } ⊂ M — произвольная последовательность, выделим из неё фундаментальную. Возьмём 1-сеть, тогда найдётся окрестность, в которой бесконечномного членов последовательности.
Выберем оттуда один элемент x∗1 и в качестве новой последовательностивозьмём только то, что попало в эту окрестность. Далее, существует конечная 12 -сеть, покрывающая новую последовательность. Снова выберем ту окрестность сети, в которой бесконечно много элементов, и в ней возьмёмпроизвольный x∗2 . Продолжим этот процесс, то есть на n-м шаге будем выбирать 21n -сеть. Ясно, что последовательность {x∗i } будет фундаментальна. Лемма 2.18 (Критерий конечномерности пространства).
Нормированное пространство X конечномерно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное ограниченное множество предкомпактно. Всякое бесконечное ограниченное множество в конечномерном пространстве предкомпактно, посколькув этом случае X ∼= Cn (или Rn ), а для этих пространств предкомпактность эквивалентна ограниченности.Обратно, пусть всякое ограниченное подмножество в L предкомпактно. Допустим, что X бесконечномерно,тогда возьмём единичный вектор e1 ∈ X. По предположению, X 6= X1 := he1 i, тогда по лемме Рисса найдётсяединичный вектор e2 ∈/ X1 , для которого ρ(e2 , X1 ) > 12 .
Вновь по предположению X 6= X2 := he1 , e2 i, тогдапостроим ещё один вектор e3 , для которого ρ(e3 , X2 ) > 12 , и так далее. Цепочка подпространств Xn будет16172.5.2. Слабая сходимость и слабая компактностьстрого возрастать, и последовательность {ei } будет ограниченным и не предкомпактным множеством, так какрасстояние между любыми двумя её элементами не меньше 12 . 2.5.2. Слабая сходимость и слабая компактностьОпределение. Говорят, что последовательность xn слабо сходится к x, если для любого ограниченногоwфункционала f на X имеем f (xn ) → f (x).
Обозначение: xn −→ x.Определение. Говорят, что последовательность функционалов fn ∗-слабо сходится к f , если для любого∗wвектора x ∈ X имеем fn (x) → f (x). Обозначение: fn −→ f .Примечание: Не знаю, зачем лепить звездочки куда ни попадя. И так понятно, что слабая сходимость векторов — на функwционалах, а слабая сходимость функционалов — на векторах. Поэтому будем писать fn −→ f .Определение. Говорят, что множество слабо компактно, если из любой его последовательности элементовможно выделить слабо сходящуюся.Теорема 2.19 (О слабой компактности единичной сферы). Пусть X — сепарабельное нормированноепространство. Тогда единичный шар в X ∗ слабо компактен.
Выберем в X счётное всюду плотное множество D := {xn }. Пусть {fn } — ограниченная последовательность функционалов. Рассмотрим последовательность чисел {fn (x1 )}. Она ограничена (мы сидим в единичном(1)шаре kf k 6 1), а потому содержит сходящуюся. Обозначим её через fn (x1 ). Рассмотрим последовательность (1)(2)чисел fn (x2 ) . Она тоже содержит сходящуюся подпоследовательность fn (x2 ).
Продолжая этот процесс и(n)выделяя диагональ ϕn := fn , получим последовательность функционалов, сходящуюся на всех векторах xi .Покажем, что сходимость имеет место для всех векторов x ∈ X. Покажем фундаментальность последовательности {ϕi (x)}. Рассмотрим последовательность элементов из D, сходящуюся к x, тогда, очевидно,|ϕm (x) − ϕn (x)| = |ϕm (x) − ϕm (xk ) + ϕm (xk ) − ϕn (xk ) + ϕn (xk ) − ϕn (x)| 66 |ϕm (x) − ϕm (xk )| + |ϕm (xk ) − ϕn (xk )| + |ϕn (xk ) − ϕn (x)| → 0.Но это и значит, что ϕn слабо сходится. Теорема доказана. Задача 2.3.
Доказать, что на втором шаге доказательства всё корректно: результат не зависит отвыбора последовательности, сходящейся к x.Лемма 2.20. Существует изометричное вложение X ֒→ X ∗∗ . Зададим вложение так: x 7→ Fx , где Fx ∈ X ∗∗ — функционал на X ∗ , действующий на элементах f ∈ X ∗следующим образом:Fx : f 7→ f (x).Это вложение, очевидно, линейно.
Докажем, что это изометрия. Обозначим норму в X ∗∗ через k·k2 . С однойстороны, по определению нормы имеем |f (x)| 6 kf k · kxk, поэтомуkxk > supf|f (x)|= kxk2 .kf kС другой стороны, в силу одного из следствий теоремы Хана – Банаха, для всякого x0 ∈ X найдётся функционал f0 такой, что |f0 (x0 )| = kf0 k · kx0 k, поэтомуkxk2 = supf|f (x)|> kxk ,kf kследовательно, kxk = kxk2 . Утверждение 2.21. Слабо ограниченная последовательность ограничена по норме. Применим теорему Банаха – Штейнгауза к пространствам X ∗ и X ∗∗ , то есть вместо последовательности{xi } рассматривая её образ в X ∗∗ . В силу этой теоремы семейство образов будет ограниченным, но в силуизометричности вложения этим свойством будет обладать и исходное семейство векторов. Примечание: На лекциях следующего утверждения не было, но наверняка было на семинарах.
А кому-нибудь, возможно,попадётся на экзамене.Утверждение 2.22. Слабый предел единствен.ww Допустим, что xn −→ x и xn −→ y, причём x 6= y. Тогда, по определению слабой сходимости, длялюбого f имеем f (xn ) → f (x) и f (xn ) → f (y). Следовательно, для всякого функционала f имеем f (x) = f (y),то есть f (x − y) = 0. Но по лемме о продолжении функционала существует f , который равен 1 на векторе x − y.Противоречие.
172.6.1. Общий вид функционалов в L1 [0, 1]. Несепарабельность L∗∞182.6. Ещё две теоремы о сопряжённых пространствах2.6.1. Общий вид функционалов в L1 [0, 1]. Несепарабельность L∗∞Теорема 2.23. Рассмотрим пространство X := L1 ([0, 1], µ) и любой ограниченный функционал ϕ ∈ X ∗ .Тогда найдётся функция g ∈ L∞ такая, чтоZϕ(f ) = f g dµ.(22) Докажем сначала для индикаторов. Рассмотрим функцию ν(A) = ϕ(IA ), где A — измеримое множество.Легко видеть, что эта функция абсолютно непрерывна относительно меры µ. Если Rмы покажем, что ν являетсязарядом, то по теореме Радона – Никодима найдётся функция g такая, что ν(A) = g · IA dµ.
Имеем|ϕ(IA )|< M,A : µ(A)>0 µ(A)(23)supтак как µ(A) = kIA k, а функционал ϕ ограничен.Покажем, что g ∈ L∞ . В самом деле, положим Ac := {x : g(x) > c}. Допустим, что g ∈/ L∞ . Тогда для ∀ cимеем µ(Ac ) > 0. Значит,ϕ(IAc )c · µ(Ac )>= с.(24)kIAc kµ(Ac )Но в силу (23) это выражение не превосходит M , а мы предположили, что c произвольно. Противоречие.Таким образом, для индикаторов утверждение теоремы проверено.
В общем случае, как обычно, приближаемпроизвольную функцию ступенчатыми: fn → f . ТогдаRϕ(fn ) =fn g dµ↓R ↓ϕ(f ) =f g dµи всё доказано.Покажем, что ν является зарядом, то есть проверим её счётную аддитивность. Имеемν∞Gi=1NG−1∞GAi = νAi + νAi .i=1(25)i=NКонечная аддитивность очевидна, а второе слагаемое стремится к нулю в силу абсолютной непрерывности, так∞FAi ց ∅ при N → ∞. какi=NЛемма 2.24. Пусть пространство X несепарабельно. Тогда X ∗ также несепарабельно.
Допустим, что X ∗ сепарабельно. Пусть {ϕi } — счётное всюду плотное семейство функционалов. Найдемсемейство единичных векторов xi таких, что ϕi (xi ) > 12 kϕi k. Пусть M := Cl hxi i — замкнутое подпространство. Покажем, что M 6= X. В самом деле, если бы M совпало с X, то линейные комбинации векторов xi срациональными координатами были бы плотны в X, что противоречит несепарабельности X.Возьмём вектор y такой, что ρ(y, M ) > 0 и kyk = 1. По следствию теоремы Хана – Банаха найдётся функционал ψ такой, что ψ(y) = 1 и ψ(M ) = 0.
Тогда, очевидно, kψ − ϕi k > |ψ(y) − ϕi (y)|, а кроме того,kψ − ϕi k > |ψ(xi ) − ϕi (xi )| >1kϕi k .2(26)Но по предположению о сепарабельности пространства найдётся последовательность функционалов ϕik , длякоторой kψ − ϕik k → 0 при k → ∞. Значит, в силу написанных неравенств kψik k → 0.
Но отсюда следует, чтоkψk = 0. Это противоречит тому, что ψ(y) 6= 0. Теорема 2.25. Пространство L∗∞ [0, 1] несепарабельно. В самом деле, пространство L∞ [0, 1] несепарабельно, так как можно взять семейство континуальное семейство функций вида Ix := I[0,x] , и если x 6= y, то kIx − Iy k = 1, т.
е. в пространстве существует несчётномерный«ёж». А тогда по лемме и пространство L∗∞ [0, 1] будет несепарабельным. RСледствие 2.6. Существуют непрерывные функционалы на L∞ , не задающиеся формулой ϕ(f ) = f g dµ,где g ∈ L1 , а f ∈ L∞ .18193.1.1. Понятие гильбертова пространства3. Гильбертовы пространства3.1. Операторы в гильбертовых пространствах3.1.1. Понятие гильбертова пространстваОпределение. Гильбертовым пространством называетсяевклидово пространство, полное относительноpнормы, задаваемой скалярным произведением: kxk := (x, x). Его мы всегда будем обозначать буквой H.Напомним, что скалярное произведение предполагается невырожденным! Именно поэтому норма заданакорректно.3.1.2.
Сопряжённые операторыОпределение. Пусть A — ограниченный оператор в H. Если оператор B таков, что (Ax, y) = (x, By)для всех x, y ∈ H, то B называется сопряжённым к A и обозначается A∗ . Если A = A∗ , то A называетсясамосопряжённым.Замечание. Существование сопряжённого оператора для всякого ограниченного оператора будет доказанонесколько позже.Отношение сопряжённости является симметричным: если B сопряжён к A, то A сопряжён к B.
Действительно, имеем(Ax, y) = (x, By) ⇔ (Ax, y) = (x, By) ⇔ (By, x) = (y, Ax),а это и означает, что оператор A сопряжён к B.Утверждение 3.1. Имеет место соотношение (A∗ )∗ = A. По определению имеем для всех x, y((Ax, y) = (x, A∗ y),⇒ Ax, y = (A∗ )∗ x, y ⇔∗ ∗∗(A ) x, y = x, A y ;(A − (A∗ )∗ )x, y = 0,но из невырожденности скалярного произведения следует A − (A∗ )∗ x = 0 для всех x, поэтому A = (A∗ )∗ . 3.1.3. Лемма об ортогональной проекции и её следствияПримечание: Следующие леммы были неоправданно свалены лектором в одну кучу. Они полезны сами по себе.Лемма 3.2 (Об ортогональной проекции). Пусть H0 — замкнутое подпространство в H. Тогда длялюбого вектора h ∈ H r H0 найдётся единственный ближайший вектор из H0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
