В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Это согласуется с логическим правилом (A → B) ⇔ (B → A). Пусть kAk = ∞, тогда, используяопределение нормы оператора, можно выбрать последовательность {xi }, для которой kxi k = 1, но kAxi k → ∞.xiРассмотрим другую последовательность yi := kAx. Тогда kyi k → 0, но kAyi k = 1 9 0, поэтому A не можетikбыть непрерывным.
При рассмотрении операторов возникает естественный вопрос: а существуют ли неограниченные операторы?Для неполных пространств примеры таких операторов строятся совсем легко. Возьмём, например, в качестве Xпространство C[0, 1] с нормой k·kL1 , а в качестве Y — то же пространство с равномерной нормой k·kC . Рассмотримтождественный оператор на функциях fn вида1011n7x82.1.2.
Базис ГамеляПонятно, что равномерная норма каждой функции fn равна 1, а нормы этих функций в смысле L1 стремятсяк нулю с ростом n. Поэтому оператор не будет непрерывным.2.1.2. Базис ГамеляОпределение. Базис Гамеля — такая система векторов B ⊂ X, что всякий вектор x ∈ X единственнымобразом представляется в виде конечной линейной комбинации векторов из B.Теорема 2.3.
Всякое линейное пространство X обладает базисом Гамеля.Примечание: При доказательстве мы будем использовать лемму Цорна. О том, что это такое, см. ниже в том разделе, гдедоказывается теорема Хана – Банаха. Доказательство придумал я сам, поэтому возможна лажа. В основе доказательства будет лежать следующая идея: возьмём какой-нибудь ненулевой вектор x1 ∈ Xи рассмотрим X1 := hx1 i. Если X 6= X1 , то найдётся ещё вектор x2 ∈/ X1 .
Положим X2 := hX1 , x2 i, тогдаX1 ⊂ X2 . Если и на этом шаге нам не повезло, и вновь X2 6= X, то найдём третий вектор, и так далее. Так мыописали процесс расширения конечномерного подпространства.Формализуем это построение с использованием леммы Цорна. Система векторов называется линейно независимой, если любая конечная подсистема в ней линейно независима. Пусть (L, {ei }) — подпространство с базисом{ei }, а (M, {fj }) — подпространство с базисом {fj }. Будем говорить, что L ≺ M , если {ei } ⊂ {fj }. Рассмотриммножество всех расширений, получается, что мы ввели на нём частичное упорядочение. Пусть (Mα , {ei }α ) —цепь расширений. Очевидно, что расширение[[Mα , {ei }αявляется верхней гранью этой цепи.
По лемме Цорна в нашем множестве найдётся максимальный элемент(S, {ei }). Ясно, что S = X, поскольку если бы это было не так, то можно было бы расширить S на вектор из X,которого ещё нет в линейной оболочке базиса S. Но тогда {ei } — базис X, что и требовалось доказать.
Если верить в лемму Цорна, то с помощью этой теоремы можно легко построить пример неограниченногооператора в любом бесконечномерном пространстве. Пусть Γ — базис Гамеля пространства X. Выберем счётноеподмножество среди базисных элементов и занумеруем их, получим набор {γi }. Зададим действие оператора набазисных векторах: положим Aγi = iγi , а для всех остальных базисных векторов e ∈ Γ r {γi } положим Ae = 0.Тем самым мы задали действие оператора на всех векторах пространства X, ибо всякий вектор единственнымnnPPобразом разлагается по нашему базису. Поэтому, если x =ai ei , то Ax =ai Aei и тем самым оно однозначноi=1i=1определено.
Вместе с этим ясно, что оператор A неограничен, поскольку для всякого M > 0 найдётся вектор,который растягивается этим оператором больше, чем в M раз.2.2. Важнейшие теоремы функционального анализа2.2.1. Принцип равномерной ограниченности Банаха – ШтейнгаузаТеорема 2.4 (Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза). Пусть X — банахово,а Y — нормированное пространство.
Пусть Ai : X → Y — семейство ограниченных операторов. Пусть длявсякого x ∈ X существует число Cx > 0 такое, что для ∀ i имеем kAi xk 6 Cx . Тогда найдётся такое C > 0,что kAi k 6 C для всех i. Рассмотрим семейство множествXn := {x ∈ X : ∀ i имеем kAi xk 6 n} .SОчевидно, что X = Xn . Поскольку X не есть множество первой категории, найдётся XN такое, что оно неявляется нигде не плотным в X. Значит, есть шар, где оно всюду плотно.Покажем, что все множества Xn замкнуты.
Для этого докажем, что дополнения к ним открыты. Пустьx∈/ Xn . Значит, ∃ k, для которого kAk xk > n + 2ε. Пусть v ∈ X. Если kvk 6 kAk xk−(n+ε), тоkAk kkAk k kAk xk − (n + ε)kAk (x + v)k = kAk x + Ak vk > kAk xk −= n + ε > n,kAk k(1)то есть (x + v) ∈/ Xn .По лемме 1.7, множество XN содержит некоторый шар B. Достаточно установить равномерную ограниченe — копия шара B с центром вность операторов на некотором шаре, содержащем начало координат.
Пусть Be можно представить как w1 − w2 , где wi ∈ B. По неравенству треначале координат. Каждый вектор v ∈ Bугольника и определению множества XN для всех i получаем kAi vk = kAi w1 − Ai w2 k 6 N + N = 2N . Но это иозначает равномерную ограниченность. 892.2.2. Теорема Банаха об обратном оператореЗамечание. В этой теореме множество операторов может иметь какую угодно мощность. Иначе говоря, всеиндексы операторов — это не натуральные числа, а элементы произвольного индексного множества.Замечание.
Покажем, что нельзя опустить требование банаховости пространств. Пусть X — пространствофинитных последовательностей, а Y = ℓp . Определим семейство операторов так:Ai (x1 , x2 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . .) := (0, 0, . . . , 0, ixi , 0, . . .).(2)Ясно, что для каждой финитной последовательности x найдётся нужная константа Cx , ибо Ai x = 0 при достаточно больших i (если последовательность финитна, то она имеет вид (x1 , . . . , xN , 0, 0, .
. .), поэтому достаточнобудет взять i > N ), но, с другой стороны, kAi k = i → ∞ при i → ∞.2.2.2. Теорема Банаха об обратном оператореЗаметим, что если оператор A : X → Y обладает тем свойством, что Im A = Y , а Ker A = 0, то A биективени потому существует обратное отображение A−1 : Y → X.Лемма 2.5. Пусть A : X → Y — линейная биекция банаховых пространств.
ПоложимYk := y ∈ Y : A−1 y 6 k kyk .(3)Тогда существует такое YN , что Cl YN = Y . Поскольку Y — полное пространство, по теореме Бэра существует YM , плотное в некотором шаре B.Обозначим через P пересечение некоторого шарового слоя с центром в точке y0 ∈ YM , целиком лежащего вшаре B, с множеством YM . Рассмотрим копию Pe множества P , сдвинутую в начало координат.
Всякий векторv ∈ Pe представляется в виде разности y − y0 , где y ∈ P . Имеем −1 −1 A v = A (y − y0 ) 6 A−1 y + A−1 y0 6 M kyk + ky0 k =2 ky0 k= M ky − y0 + y0 k + ky0 k 6 M ky − y0 k + 2 ky0 k = M ky − y0 k 1 +.ky − y0 kЗаметим, что последний множитель может быть ограничен сверху некоторой константой C, не зависящей ни отчего, поскольку число ky − y0 k отделено от нуля. Беря в качестве N := [CM ] + 1, получаем, что YN плотно в Pe.Но поскольку в силу своего определения множество YN инвариантно относительно гомотетий, оно будет плотнои во всём пространстве.
Теорема 2.6 (Банаха об обратном операторе). Пусть A : X → Y — линейная биекция банаховых пространств. Тогда обратное отображение A−1 : Y → X тоже будет ограниченным оператором. Линейность обратного отображения очевидна. Докажем ограниченность. Рассмотрим ненулевой векторy ∈ Y . По предыдущей лемме существует всюду плотное в Y множество YN . Тогда существует y1 ∈ YN , дляkykкоторого ky − y1 k 6 kyk2 , причём ky1 k 6 kyk.
Далее, существует y2 ∈ YN , для которого ky − (y1 + y2 )k 6 22 ,kykпричём ky2 k 6 2 , и так далее. На n-м шаге существует yn ∈ YN , для которого ky − (y1 + y2 + . . . + yn )k 6 kyk2n ,kykпричём kyn k 6 2n−1 .Рассмотрим xn := A−1 yn . По определениюYN имеем kxn k 6 N kyn k 6 N 2kykn−1 . Значит, в силу полнотыPпространства X и сходимости рядаkxn k существует пределx := limp→∞Тогдаp→∞n=1n=1pp∞XXX −1 A y = kxk = xn = lim xn = lim A−1 yn 6n=1(4)xn .n=1pppXXXAx = A limxn = limAxn = limyn = y.p→∞Отсюда A−1 y = x, поэтомуpXp→∞n=1p→∞p→∞(5)n=1n=16Следовательно, оператор A−1 ограничен. 9∞∞∞XX −1 XkykA yn 6N kyn k 6N n−1 = 2N kyk .2n=1n=1n=1102.2.2. Теорема Банаха об обратном оператореПокажемтеперь, что для ограниченности полнота X и Y существенна.
В качестве примера возьмем X =ℓ1 , k·kℓ1 , а Y = ℓ1 , k·kℓ2 . Оператор возьмём, как водится, тождественным. Очевидно, чтоXX2|xi | 6iпоэтому!2|xi |isX2|xi | 6iX(6),(7)|xi | .iОтсюда kxk2 6 kxk1 . Рассмотрим последовательностьx(N ) =11, . . . , , 0, . . . .|N {z N}(8)NОчевидно, x(N ) 1 = 1, а x(N ) 2 = √1N , поэтому оператор id : Y → X не является ограниченным.Как мы знаем, из теоремы о базисе Гамеля следует, что на всяком бесконечномерном пространстве существует неограниченный линейный оператор. Аналогично строится и неограниченный линейный функционал.Рассмотрим счётное подмножество {γi } базиса Гамеля.
Положим ϕ(γi ) = i kγi k, а на всех остальных векторахбазиса положим его равным нулю. Тогда возьмём какое-нибудь полное пространство X и оснастим его другойнормой k·k := k·kX + k·kϕ , то есть положим kxk := kxkX + |ϕ(x)|. Обозначим новое пространство через Xϕ .Рассмотрим оператор id : Xϕ → X. Его норма, очевидно, не превосходит 1, но обратный оператор не будетограниченным, поскольку он увеличивает норму i-го вектора в (1 + i) раз.Теорема 2.7 (Устойчивость обратимости оператора при малых возмущениях). Пусть A : X → X —ограниченный обратимый оператор в банаховом пространстве. Тогда существует C > 0 такое, что длявсякого оператора B с нормой kBk 6 C оператор A + B будет обратим.
Для начала докажем вспомогательное утверждение, полезное само по себе.Лемма 2.8. Если A : X → X — оператор в банаховом пространстве такой, что kAk < 1, то операторE − A обратим. Покажем, что оператор∞X(E − A)−1 :=Ai(9)i=0является искомым. Для начала объясним, как следует понимать операторный ряд и почему он сходится. Определим значение оператора∞XP =Ai(10)i=0на векторе x следующим образом:P x := lim Sn (x), где Sn x :=n→∞nXAi x.(11)i=0Покажем, что последовательность частичных сумм этого ряда является фундаментальной последовательностью.В самом деле, n+1n+lkSn+l x − Sn xk = An+1 x + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
