В.В. Рыжиков - Курс лекций по функциональному анализу (1128640), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. + An+l x 6 An+1 x + . . . + An+l x 6 kxk kAk+ . . . + kAk,(12)поэтому, если взять n достаточно большим, эту сумму можно сделать сколь угодно маленькой. В силу полнотыпространства, эта последовательность сходится. Очевидно, чтоkP xk 6 kxk∞Xi(13)kAk ,i=0поэтому оператор P ограничен. Из определения P выводим, чтоP (E − A)x = limn→∞nXi=0Ai (E − A)x = limn→∞nXi=010Ai x − Ai+1 x = lim x − An+1 x = x.n→∞(14)112.3.1. Определение спектра и его простейшие свойстваДалее, поскольку оператор E −A ограничен, знак предела можно перенести, и значит, (E − A)P x = x.

Такимобразом, оператор E − A обратим. Покажем теперь, что существенно требование обратимости. Возьмём оператор правого сдвига в пространстве ℓp . Он действует так:Rx = R(x1 , x2 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .).(15)Понятно, что kRk = 1. Очевидно, что левый обратный оператор существует — это левый сдвиг L, причём он тожеограничен. Но правого обратного не существует, поскольку Im R 6= ℓp , значит, не для каждого вектора будетвыполнено равенство RLx = x.

Таким образом, из существования левого обратного не вытекает существованиеправого обратного. Меняя местами операторы R и L, получаем пример, когда есть правый обратный, но нетлевого.Ясно, что A+B обратим тогда и только тогда, когда оператор A−1 (A+B) = E +A−1 Bобратим.A Посколькуограничен, по теореме Банаха обо обратном операторе A−1 тоже ограничен. Поскольку A−1 B 6 A−1 · kBk,в силу леммы достаточно взять C = kA1−1 k . Следствие 2.2.

Пусть A — обратимый ограниченный оператор в банаховом пространстве. Тогда ∃ C > 0,kxkдля которого kAxk< C, то есть ограниченный обратимый оператор не может как угодно сильно сжиматьвектора.Следствие 2.3 (Достаточное условие необратимости оператора). Если найдётся последовательность векторов {xi }∞i=1 , для которой имеем kxi k = 1, а kAxi k → 0, то оператор A не может быть обратим.2.3. Спектр оператора и его свойства2.3.1. Определение спектра и его простейшие свойстваГоворя о спектре операторов, мы всегда будем рассматривать только комплексные пространства.Определение. Пусть A — оператор. Спектром оператора называется множествоSpec A := {λ ∈ C : A − λE необратим} .(16)Основные свойства спектра ограниченного оператора можно сформулировать так: спектр является непустым компактным подмножеством в C (всё это мы аккуратно докажем).Строго говоря, это утверждение не всегда верно. Пусть наше пространство состоит из одной точки {0}.

Втаком пространстве всякий оператор является нулевым и обратимым, поэтому имеет пустой спектр. Но этослишком вырожденный случай, чтобы его было интересно рассматривать.Теорема 2.9. Пусть A — ограниченный оператор в банаховом пространстве. Тогда Spec A является компактным множеством, и справедливо включение Spec A ⊂ {λ : |λ| 6 kAk}. Рассмотрим оператор A − λE. Если он обратим при λ 6= 0, то доказывать нечего — спектр состоит неболее чем из одной точки, и включение, очевидно, выполнено. Пусть теперь λ 6= 0. Очевидно, что операторAA A− λE обратим тогда и только тогда, когда обратим E − λ .

А это, в свою очередь, имеет место, как только < 1. Следовательно, при |λ| > kAk имеем λ ∈/ Spec A.λОсталось показать, что спектр замкнут. Это следует в точности из теоремы об устойчивости обратимостиоператора при малых возмущениях: если оператор A−λ0 E обратим, то при добавлении к нему любого оператораλE достаточно малой нормы это свойство сохранится.

Но это означает, что множество C r Spec A открыто,поэтому Spec A замкнуто, что и требовалось доказать. Теперь выясним, откуда берутся необратимые операторы. Посмотрим, когда оператор A − λE может бытьнеобратим. Во-первых, может случиться так, что Ker(A − λE) 6= 0, и тогда причина необратимости в том, нашоператор не инъективен.

Кроме того, Im(A−λE) может не совпадать с исходным пространством, тогда обратноеотображение A−1 : X → X не может быть корректно задано.2.3.2. Пример нахождения спектраПример 3.1. Вычислим спектр оператора правого сдвига в ℓ1 . РассмотримR(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , x3 , . . .).(17)Поищем собственные векторы: с собственным значением λ = 0 их, очевидно, нет, кроме нулевого. Пусть λ 6= 0,тогда имеем цепочку равенств0 = λx1 ,x = λx ,12(18)x=λx,23...11122.3.3. Ещё две теоремы о спектрахПоскольку λ 6= 0, решая первое уравнение, сразу получаем x1 = 0.

Отсюда x2 = 0, и так далее. Значит,собственных векторов у этого оператора нет. Очевидно, kRk = 1, поскольку kRxk = kxk. Следовательно, весьспектр содержится в круге радиуса 1. Покажем, что при |λ| 6 1 оператор R − λE необратим, а именно, e1 ∈/Im(R − λE). В самом деле, решим уравнение(R − λE)y = e1 = (1, 0, 0, . .

.).Имеем1 = 0 − λy1 ,0 = y − λy ,120 = y2 − λy3 ,...y1 = − λ1 ,y = − 1 ,2λ2откудаy3 = − λ13 ,...В силу ограничения на λ, решение этого уравнения не лежит в пространстве ℓ1 . Значит, оператор необратим,поэтому спектр состоит из круга {|λ| 6 1}.Пример 3.2.

Пусть L — левый сдвиг:L(x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , . . .).Очевидно, что kLk = 1, поскольку вектора с первыми нулевыми координатами сохраняют норму. ПоэтомуSpec L ⊂ {|λ| 6 1}. Из соотношения(x2 , x3 , x4 , . . .) = (λx1 , λx2 , λx3 , . . .)видно, что собственные векторы этого оператора — в точности геометрические прогрессии. Более точно, при|λ| < 1 решением является геометрическая прогрессия (x1 , λx1 , λ2 x1 , . . .). Следовательно, круг {|λ| < 1} содержится в спектре. Но так как спектр замкнут, он совпадает с замкнутым кругом {|λ| 6 1}.2.3.3.

Ещё две теоремы о спектрахУтверждение 2.10. Для любого непустого компакта K ⊂ C найдётся оператор A : ℓp → ℓp такой, чтоSpec A = K. Пусть {ai }∞i=1 — последовательность, плотная в K.Примечание: Ясно, что эту последовательность надо строить с помощью метода половинного деления. Как конкретно —додумайте сами. Если кому-то покажется, что это сложно, напишите на dmvn@mccme.ru, и в следующей версии я напишу подробнее.ПоложимA(x1 , x2 , x3 , . . .) = (a1 x1 , a2 x2 , a3 x3 , . . .).В силу ограниченности последовательности {ai } этот оператор ограничен. Очевидно, что {ai } ⊂ Spec A, ибоAei = ai ei , но в силу замкнутости спектра имеем Cl {ai } = K ⊂ Spec A.

Пусть µ ∈/ K, тогда найдётся окрестностьUδ (µ), не пересекающаяся с K и тем более, с элементами последовательности. Рассмотрим(A − µE)x = (a1 − µ)x1 , (a2 − µ)x2 , . . . .Очевидно, к этому оператору имеется обратный оператор11−1x1 ,x2 , . . . .(A − µE) x =a1 − µa2 − µОн будет ограниченным, поскольку числа ai − µ отделены от нуля числом δ. Теорема 2.11. Пусть µ — мера Лебега на (0, 1). Пусть A : L1 (µ) → L1 (µ) — оператор, заданный по правилуA : f 7→ ϕf , где ϕ — ограничена µ-почти всюду. Покажем, чтоnoSpec A = Ess ϕ := λ ∈ C : ∀ ε > 0 имеем µ ϕ−1 B(λ, ε) > 0 ,то есть спектр состоит из всех существенных значений функции ϕ. Докажемтеорему в случае, когда Im ϕ ⊂ R.

Рассмотрим случай λ = 0. В этом случае для ∀ ε > 0 имеемµ ϕ−1 (−ε, ε) > 0. Рассмотрим Yn = ϕ−1 − n1 , n1 и fn := IYn . Сравним теперь нормы kfn k и kAfn k. Имеемkfn k = µ(Yn ) > 0, аZZ11kAfn k = |ϕfn | dµ = |ϕ| dµ 6 µ(Yn ) = kfn k .nnYn12132.3.4. Резольвента. Непустота спектра ограниченного оператораВ силу следствия 2.3 из теоремы Банаха, оператор A необратим. Общий случай сводится к рассмотрениюфункции ϕe = ϕ − λ. В самом деле, если λ — существенное значение для ϕ, то 0 будет существенным значениемдля ϕ.e Таким образом, Ess ϕ ⊂ Spec A.

Пусть ν ∈/ Ess ϕ, тогда ∃ ε > 0, для которого имеем µ ϕ−1 (ν −ε, ν +ε) = 0.Следовательно, для µ-почти всех x имеем |ϕ(x) − ν| > 2ε . Оператор A − νE будет обратим, если можно делить1на функцию ϕ − ν. Но это как раз можно делать, поскольку функция ϕ(x)−νограничена для µ-почти всех x.Итак, ν ∈/ Spec A, поэтому Ess ϕ = Spec A. 2.3.4. Резольвента. Непустота спектра ограниченного оператораОпределение. Пусть A : X → X — оператор.

Резольвентой оператора называется функцияRA : C r Spec A → End X,определённая по правилуRA (z) := (A − zE)−1 .Замечание. В тех случаях, когда понятно, о каком операторе идёт речь, мы будем опускать индекс урезольвенты.Лемма 2.12 (Тождество Гильберта). Для резольвенты справедливо следующее соотношение:R(z) − R(w) = (z − w)R(z)R(w). Рассмотрим тождество (A − wE) − (A − zE) = (z − w)E.

Характеристики

Список файлов лекций