И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов (1128570), страница 2
Текст из файла (страница 2)
²°¨¶» ª®¡¨ ±«¨ fQn()g1¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼n=0®°²®£® «¼»µ ¬®£®·«¥®¢ ± ¥¤¨¨·»¬ ±² °¸¨¬ ª®½´´¨¶¨¥²®¬, ²® ±³¹¥±²¢³¾² ¨ ¥¤¨±²¢¥» ª®¬¯«¥ª±»¥ ª®½´´¨¶¨¥²»²¢¥°¦¤¥¨¥ 6an 6= 0 ¨ bn; n = 1; 2; 3; :::;² ª¨¥, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ®°²®£® «¼»µ ¬®£®·«¥®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨±²¢¥»¬ °¥¸¥¨¥¬ ±«¥¤³¾¹¥£®²°¥µ·«¥®£® °¥ª³°°¥²®£® ±®®²®¸¥¨¿:Qn+1() = ( bn )Qn() anQn 1 (); n = 1; 2; 3; :::;()± · «¼»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨Q0() = 1; Q1() = s1=s0:®ª § ²¥«¼±²¢®. · «¼»¥ ³±«®¢¨¿ ¯°®¢¥°¿¾²±¿ ¥¯®±°¥¤±²¢¥®. «¥¥, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ fQn g10 ¡ §¨± ¯°®±²° ±²¢ C []: ¬¥²¨¬, ·²®SfQnQmg = 0; ¥±«¨ n 6= m:¨SfQ2ng = SfQnng = An 6= 0:«¥¤®¢ ²¥«¼®, ª®½´´¨¶¨¥²» ° §«®¦¥¨¿ «¾¡®£® ¬®£®·«¥ ¯® ½²®¬³ ¡ §¨±³Xp = cnQnn15 µ®¤¿²±¿ ¯® ´®°¬³« ¬ ³°¼¥cn = SfApQn g :n · ±²®±²¨,Qn = Qn+1 + bnQn + anQn 1 +®±ª®«¼ª³ deg Qk n 1; ²® «¥¥¨n 2Xk=0SfQnQkg = 0 ) ck = 0:SfQn Qn 1 g SfQn n gan ===An 1An 12gSfQn :bn =ck Qk :AnAn 1An4 ¬¥· ¨¥ 2 ®£®·«¥» ¢²®°®£® °®¤ Pn ¨´³ª-Rn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ²®¬³ ¦¥ °¥ª³°°¥²®¬³ ±®®²®¸¥¨¾ (); ® ± ¤°³£¨¬¨ · «¼»¬¨ ³±«®¶¨¨ ¢²®°®£® °®¤ ¢¨¿¬¨:P0() = 0; P1() = s0;R0() = f (); R1() = Q1()f () P1():¥©±²¢¨²¥«¼®, · «¼»¥ ³±«®¢¨¿ ¯°®¢¥°¿¾²±¿ ¥¯®±°¥¤±²¢¥®.
«¥¥, Q (z) Q () Pn+1(z ) = S n+1 z n+1=16= S1 ( bn)Qn() anQn 1 ()z (z bn)Qn(z) anQn 1(z )(z )Qn()z(Qn(z ) Qn())= S+ Sz Q z(z) Q () Q (z) Q () an S n 1 z n 1=bn S n z n= 0 + zPn(z ) bnPn(z ) anPn 1(z ):®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ Rn ½²® «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥© Qn ¨ Pn; ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ® ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²²®¬³ ¦¥ °¥ª³°°¥²®¬³ ±®®²®¸¥¨¾. ¬¥· ¨¥ 3¨ ±«¨ ¢¢¥±²¨ ¢¥«¨·¨»Q 1 = 0; P 1 = 1; R 1 = 1b0 = s1=s0; a0 = s0;²® ¢ °¥ª³°°¥²»µ ´®°¬³« µ ¬®¦® ¡° ²¼ n = 0; 1; 2; ::: ¯¨¸¥¬ °¥ª³°°¥²»¥ ±®®²®¸¥¨¿ ¢ ¬ ²°¨·®© ´®°¬¥.¡®§ ·¨¬2Q 304Q = Q15:::±²®«¡¥¶ ®°²®£® «¼»µ ¬®£®·«¥®¢. ±±¬®²°¨¬ ¬ ²°¨¶³10b0 1BBa1 b1 1CCA=BB@ a2 b2 1 CCA (J )::::::::::::17=®£¤ AQ = Q;².¥. Q ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®° ¬ ²°¨¶» A: ²°¨¶» ¢¨¤ (J ); £¤¥ b0; b1; b2; ::: ¯°®¨§¢®«¼»¥ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« , ¨ a1; a2; ::: ¯°®¨§¢®«¼»¥®²«¨·»¥ ®² ³«¿ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« , ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼¬ ²°¨¶ ¬¨ ª®¡¨.¯°¥¤¥«¥¨¥ 4181.4.¥®°¥¬ ¥¡»¸¥¢ - ¢ ° ¡®§ ·¨¬ S ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¥±¨£³«¿°»µ ¬®¬¥²»µ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥© s; ®°¬¨°®¢ »µ ³±«®¢¨¥¬ s0 = 1; ¨J ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ A: ¯ ° £° ´¥ 1.3 ¬»¯®±²°®¨«¨ ®²®¡° ¦¥¨¥:S !J¥®°¥¬ 1 (¥¡»¸¥¢- ¢ °) ²®¡° ¦¥¨¥ ¢§ ¨¬®®¤®§ ·®¥.®ª § ²¥«¼±²¢®.
¥¸ ¿ °¥ª³°°¥²»¥ ±®®²®¸¥¨¿AQ = Q ± · «¼»¬ ³±«®¢¨¥¬ Q0 = 1; ¯®«³·¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¬®£®·«¥®¢ Qn ±²¥¯¥¨ n ± ¥¤¨¨·»¬ ±² °¸¨¬ª®½´´¨¶¨¥²®¬. ²® ¡ §¨± ¯°®±²° ±²¢ C []: ¯°¥¤¥«¨¬«¨¥©»© ´³ª¶¨® « S ½²¨µ ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®° µ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬SfQng =(1; ¥±«¨ n = 0;0; ¥±«¨ n 1:®«®¦¨¬sn = Sfng; n 2 Z+:®£¤ s = fsng ¨ ¡³¤¥² ¨±ª®¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼¾. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯°®¢¥°¨¬ ±®®²®¸¥¨¿ ®°²®£® «¼®±²¨ ¤«¿ ¬®£®·«¥®¢ Qn : ³±²¼ m < n; ²®£¤ ¨§ °¥ª³°°¥²»µ ±®®²®¸¥¨© ±«¥¤³¥², ·²®m Qn() 2< Qn+m ; :::; Qn m >) SfmQn()g = 0:¤¥±¼ < > «¨¥© ¿ ®¡®«®·ª .®ª ¦¥¬ ¯® ¨¤³ª¶¨¨, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ s ¥±¨£³«¿° .19 § ¨¤³ª¶¨¨: H0 = 1; H1 = 1: £ ¨¤³ª¶¨¨. ³±²¼ H0 6= 0; :::; Hn 6= 0: ®£¤ s : : : s 0n Qn = H1 s: : : : : ::::::: : s: : : : : ) SfQn()ng = HHn+1 :n n 1n 1 : : : 2nn 1® ¨§ °¥ª³°°¥²»µ ´®°¬³« ±«¥¤³¥², ·²®nQn() = a1:::an Q0()+::: ) SfnQn ()g = a1:::an 6= 0 ) Hn+1 6= 0:4201.5.
¥¯°¥°»¢»¥ ¤°®¡¨ ±±¬®²°¨¬ ¥¯°¥°»¢³¾ ¤°®¡¼A0pn+1 == n+1 ;qn+1A1B0 +AB1 + + Bnn£¤¥ pn+1 ¨ qn+1 ¬®£®·«¥» ®² ¯ ° ¬¥²°®¢ ¤°®¡¨.®£®·«¥» pn ¨ qn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ²°¥µ·«¥®¬³ °¥ª³°°¥²®¬³ ±®®²®¸¥¨¾²¢¥°¦¤¥¨¥ 7(qn+1 = Bnqn + Anqn 1pn+1 = Bn pn + Anpn 1(n = 1; 2; 3; :::)± · «¼»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨p0 = 0 p1 = A0q0 = 1 q1 = B0®ª § ²¥«¼±²¢®. · «¼»¥ ³±«®¢¨¿ ¢»¯®«¥». «¥¥ ° ±±³¦¤ ¥¬ ¯® ¨¤³ª¶¨¨. § ¨¤³ª¶¨¨. ¬¥¥¬A0 = A0B1 :2 =B0 + BA B0B1 + A1® °¥ª³°°¥²»¬ ´®°¬³« ¬q2 = B1q1 + A1q0 = B1 B0 + A1p2 = B1p1 + A1p0 = B1 A0²® ²°¥¡®¢ «®±¼. £ ¨¤³ª¶¨¨. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¤°®¡¼ n+1 ¨¬¥¥² n ½² ¦¥©. ®£¤ , ¨±¯®«¼§³¿ ¤¢ ° § ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¨¤³ª¶¨¨,1121¯®«³·¨¬pn+1 = pn (A ; :::; A ; B ; :::; B ; B + An ) =n 1 0n 2 n 1qn+1 qn 0BnBn 1 + BAnn pn 1 + An 1pn 2==Bn 1 + BAnn qn 1 + An 1qn 2B (B p + A p ) + Anpn 1 = Bnpn + Anpn 1 := n n1n1 n1n2Bn (Bn 1qn 1 + An 1qn 2) + Anqn 1 Bn qn + Anqn 14° ¢¨¢ ¿ ¯®«³·¥»¥ °¥ª³°°¥²»¥ ±®®²®¸¥¨¿ ± ²¥¬¨, ·²® ¡»«¨ ¤®ª § » ¤«¿ ¬®£®·«¥®¢ Qn ¨ Pn; ¢¨¤¨¬,·²®Bn = z bn; n = 0; 1; 2; :::An = an ; n = 1; 2; :::A0 = 1 ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯°¨µ®¤¨¬ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥¨¾.²¢¥°¦¤¥¨¥ 8 ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¨ ¤¥ ¨¬¥¾² ±«¥¤³¾¹¥¥ ° §«®¦¥¨¥ ¢ ¥¯°¥°»¢³¾ ¤°®¡¼1:n+1 =a1z b0a2z b1az b2 z nbn«¥¤±²¢¨¥ 1 ®°¬ «¼»© ±²¥¯¥®© °¿¤ f (z ) ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ° §«®¦¥¨¥ ¢ ¥¯°¥°»¢³¾ ¤°®¡¼1f (z ) =;a1z b0 z b 122ª®²®° ¿ ±µ®¤¨²±¿ ª f (z ) ¯®ª®½´´¨¶¨¥²® (¯® ¥ °µ¨¬¥¤®¢®© ®°¬¥ ¯®«¿ ´®°¬ «¼»µ ±²¥¯¥»µ °¿¤®¢). ¬¥· ¨¥ 4 ¥¯°¥°»¢ ¿ ¤°®¡¼ °¥¸ ¥² ¯°¿¬³¾ ±¯¥ª²° «¼³¾ § ¤ ·³ ¤«¿ ¬ ²°¨¶» ª®¡¨.
¨¬¥®, ¯® ½«¥¬¥² ¬ ¬ ²°¨¶» ¢®±±² ¢«¨¢ ¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ±²¥¯¥»µ ¬®¬¥²®¢, ².¥. ±¯¥ª²° «¼»¥ ¤ »¥ § ¤ ·¨.±² ®¢¨¬±¿ ¥¹¥ ®¤®¬ ¯®¤µ®¤¥ ª ¨§³·¥¨¾ ¥¯°¥°»¢»µ ¤°®¡¥©, ®±®¢ ®¬ ª®¬¯®§¨¶¨¿µ ¤°®¡®-«¨¥©»µ®²®¡° ¦¥¨©. ±±¬®²°¨¬ Sm+1 (Z ) = B A+m Z :m®£¤ ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ¥¯°¥°»¢®© ¤°®¡¨ ¨¬¥¥¬n+1 = S1 S2 ::: Sn+1(0): Sm+1 ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¬ ²°¨¶ 0 A Sm+1 = 1 Bmm®¬¯®§¨¶¨¨ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬ ²°¨¶Mn+1 = S1S2:::Sn+1«¥¤®¢ ²¥«¼®,p p Mn+1 = qn qn+1n n+1²±¾¤ «¥£ª® ¯®«³· ¾²±¿ °¥ª³°°¥²»¥ ´®°¬³«»:p p 0 A p p A + p B Mn+1 = MnSn+1 = qn 1 qn 1 Bn = qn qn 1 An + q nB nn 1 nnn n 1 nn n231.6. ¥§®«¼¢¥² ³±²¼ A ¬ ²°¨¶ ª®¡¨, ².¥.0b0 11BCCa1 b1 1BA=Ba2 b2 1 CBC@::::::: A:::::£¤¥ b0; b1; b2; ::: ¯°®¨§¢®«¼»¥ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« , ¨ a1; a2; :::¯°®¨§¢®«¼»¥ ®²«¨·»¥ ®² ³«¿ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« .
»·¨±«¨¬ °¥§®«¼¢¥²³ ½²®© ¬ ²°¨¶».¬ ²°¨¶» A §»¢ ¥²±¿¯°¥¤¥«¥¨¥ 5 ¥§®«¼¢¥²®©¬ ²°¨¶ Rz = (z E A) 1;§ ¢¨±¿¹ ¿ ®² ¯ ° ¬¥²° z: ¤¥±¼ E ¡¥±ª®¥· ¿ ¥¤¨¨· ¿ ¬ ²°¨¶ .°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬ ²°¨¶ Rz ¤®«¦ ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ¤¢³¬¬ ²°¨·»¬ ³° ¢¥¨¿¬Rz (z E A) = (z E A) Rz = E:» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ ³° ¢¥¨¿ ¨¬¥¾² ¥¤¨±²¢¥®¥ °¥¸¥¨¥ ¨ ©¤¥¬ ¥£® ¢ ¿¢®¬ ¢¨¤¥.°¥¦¤¥ ¢±¥£® ®²¬¥²¨¬, ·²® °¥§®«¼¢¥²³ «¥£ª® ° §«®¦¨²¼¢ ´®°¬ «¼»© ±²¥¯¥®© °¿¤:Rz =1XAnn+1 :zn=024¥©±²¢¨²¥«¼®,(z E A) X1An1 n+1 X1 n+1XAAn+1 = E +n+1zn=0n=0 zn+1 = E:zn=0®² ¦¥ ®²¢¥² ¯®«³·¨¬ ¯¥°¥¬®¦ ¿ ¬ ²°¨¶» ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥. ª¨¬ ®¡° §®¬, ½«¥¬¥²» ¬ ²°¨¶» Rz ±³²¼ ´®°¬ «¼»¥ ±²¥¯¥»¥ °¿¤». ¬¥²¨¬, ·²® ¬ ²°¨¶ A ®¯°¥¤¥«¿¥² ¥ª®²®°»© «¨¥©»©®¯¥° ²®°.
¨¬¥®, ®¡®§ ·¨¬ D «¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢®,±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¡¥±ª®¥·»µ ´¨¨²»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥©(¢¥ª²®°-±²®«¡¶®¢) ª®¬¯«¥ª±»µ ·¨±¥«2x 306x1 77 ;x=64 x2 5:::(«¨¸¼ ª®¥·®¥ ·¨±«® ·«¥®¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ®²«¨·® ®²³«¿). ¯°¥¤¥«¨¬ ¢ D ±² ¤ °²®¥ ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¯® ´®°¬³«¥1X(x; y) = xn yn:n=0®£¤ D ¡³¤¥² ¯°¥¤£¨«¼¡¥°²®¢»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬. ® ¥¯®«®¥. £® ¯®¯®«¥¨¥¬ ¡³¤¥² ±² ¤ °²®¥ £¨«¼¡¥°²®¢® ¯°®±²° ±²¢® H = l2: ¡®§ ·¨¬ feng1n=0 ª ®¨·¥±ª¨© ¡ §¨±½²®£® ¯°®±²° ±²¢ ( n ¬ ¬¥±²¥ ±²®¨² 1; ®±² «¼»¥ ½«¥¬¥²» - ³«¨). ²® «£¥¡° ¨·¥±ª¨© ¡ §¨± ¢ «¨¥©®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ D ¨ ¯®« ¿ ®°²®®°¬¨°®¢ ¿ ±¨±²¥¬ ¢ H:¯°¥¤¥«¥® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬ ²°¨¶» A ±²®«¡¥¶ x :y = Ax:25°¨ ½²®¬ y 2 H (´ ª²¨·¥±ª¨ y 2 D): ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²°¨¶³ A ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¢±¾¤³ ¯«®²® ®¯°¥¤¥«¥»©®¯¥° ²®° ¢ H :A : D ! H:( ±«¨ A ®£° ¨·¥»© ®¯¥° ²®°, ²® ® ¯® ¥¯°¥°»¢®±²¨¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¢±¥ ¯°®±²° ±²¢® H:)«¥¤³¥² ° §«¨· ²¼ ¯®¿²¨¥ °¥§®«¼¢¥²» ¬ ²°¨¶ ¨ °¥§®«¼¢¥²» ®¯¥° ²®° .
¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¬» ¨¬¥¥¬ ¬ ²°¨¶³, ½«¥¬¥²» ª®²®°®© ±³²¼ ´®°¬ «¼»¥ ±²¥¯¥»¥ °¿¤», ¢® ¢²®°®¬ { ¬ ²°¨¶³ ®£° ¨·¥®£® ®¯¥° ²®° . ©¤¥¬ ¬ ²°¨·»© ½«¥¬¥²(Rz )0;0 = (Rz e0; e0): ¬¥²¨¬, ·²® ·¨±« sn ±³²¼ ¬®¬¥²» ®¯¥° ²®° A; ².¥.sn = (Ane0; e0):¥©±²¢¨²¥«¼®,AQ = Q ) AnQ = nQ ) n¯®±ª®«¼ª³SfQkg ==1Xk=0(An)0;kQk ) sn = Sfng = (An)0;0;(1; ¥±«¨ k = 0;0; ¥±«¨ k 1: ª¨¬ ®¡° §®¬,11X(Ane0; e0) Xsn(Rz e0; e0) ==n=0z n+1n+1 = f (z ):zn=0·¨²»¢ ¿ ½²³ ±¢¿§¼, ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥26®°¬ «¼»© ±²¥¯¥®© °¿¤ f (z ) §»¢ ¥²±¿ °¥§®«¼¢¥²®© ´³ª¶¨¥© ®¯¥° ²®° A:¯°¥¤¥«¥¨¥ 6¡®§ ·¨¬ 1-© ±²®«¡¥¶ ¬ ²°¨¶» Rz2y 306y1 77y=64 y2 5:::®£¤ (z E A)y = e0:°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¢¥«¨·¨» yn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ¥®¤®°®¤®¬³ °¥ª³°°¥²®¬³ ±®®²®¸¥¨¾8b0y0 + y1 = zy0 1>>><a1y0 + b1y1 + y2 = zy1:::::::::::::::::::::::::::::::::::>>anyn 1 + bnyn + yn+1 = zyn>::::::::::::::::::::::::::::::::::::¡¹¥¥ °¥¸¥¨¥ ¥®¤®°®¤®£® ³° ¢¥¨¿ ° ¢® ±³¬¬¥ · ±²®£® °¥¸¥¨¿ ¥®¤®°®¤®£® ³° ¢¥¨¿ ¨ ®¡¹¥£® °¥¸¥¨¿±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®¤®°®¤®£® ³° ¢¥¨¿.