Главная » Просмотр файлов » И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов

И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов (1128570), страница 2

Файл №1128570 И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов (И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов) 2 страницаИ.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов (1128570) страница 22019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Œ ²°¨¶» Ÿª®¡¨…±«¨ fQn()g1¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼n=0®°²®£®­ «¼­»µ ¬­®£®·«¥­®¢ ± ¥¤¨­¨·­»¬ ±² °¸¨¬ ª®½´´¨¶¨¥­²®¬, ²® ±³¹¥±²¢³¾² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­» ª®¬¯«¥ª±­»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²»“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 6an 6= 0 ¨ bn; n = 1; 2; 3; :::;² ª¨¥, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ®°²®£®­ «¼­»µ ¬­®£®·«¥­®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ±«¥¤³¾¹¥£®²°¥µ·«¥­­®£® °¥ª³°°¥­²­®£® ±®®²­®¸¥­¨¿:Qn+1() = ( bn )Qn() anQn 1 (); n = 1; 2; 3; :::;()± ­ · «¼­»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨Q0() = 1; Q1() = s1=s0:„®ª § ²¥«¼±²¢®.  · «¼­»¥ ³±«®¢¨¿ ¯°®¢¥°¿¾²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®.„ «¥¥, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fQn g10 ¡ §¨± ¯°®±²° ­±²¢ C []:‡ ¬¥²¨¬, ·²®SfQnQmg = 0; ¥±«¨ n 6= m:¨SfQ2ng = SfQnng = An 6= 0:‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª®½´´¨¶¨¥­²» ° §«®¦¥­¨¿ «¾¡®£® ¬­®£®·«¥­ ¯® ½²®¬³ ¡ §¨±³Xp = cnQnn15­ µ®¤¿²±¿ ¯® ´®°¬³« ¬ ”³°¼¥cn = SfApQn g :n‚ · ±²­®±²¨,Qn = Qn+1 + bnQn + anQn 1 +®±ª®«¼ª³ deg Qk n 1; ²®„ «¥¥¨n 2Xk=0SfQnQkg = 0 ) ck = 0:SfQn Qn 1 g SfQn n gan ===An 1An 12gSfQn :bn =ck Qk :AnAn 1An4‡ ¬¥· ­¨¥ 2 Œ­®£®·«¥­» ¢²®°®£® °®¤ Pn ¨´³­ª-Rn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ²®¬³ ¦¥ °¥ª³°°¥­²­®¬³ ±®®²­®¸¥­¨¾ (); ­® ± ¤°³£¨¬¨ ­ · «¼­»¬¨ ³±«®¶¨¨ ¢²®°®£® °®¤ ¢¨¿¬¨:P0() = 0; P1() = s0;R0() = f (); R1() = Q1()f () P1():„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ­ · «¼­»¥ ³±«®¢¨¿ ¯°®¢¥°¿¾²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®.

„ «¥¥, Q (z) Q () Pn+1(z ) = S n+1 z n+1=16= S1 ( bn)Qn() anQn 1 ()z (z bn)Qn(z) anQn 1(z )(z )Qn()z(Qn(z ) Qn())= S+ Sz Q z(z) Q () Q (z) Q () an S n 1 z n 1=bn S n z n= 0 + zPn(z ) bnPn(z ) anPn 1(z ):®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ Rn ½²® «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© Qn ¨ Pn; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²²®¬³ ¦¥ °¥ª³°°¥­²­®¬³ ±®®²­®¸¥­¨¾.‡ ¬¥· ­¨¥ 3¨…±«¨ ¢¢¥±²¨ ¢¥«¨·¨­»Q 1 = 0; P 1 = 1; R 1 = 1b0 = s1=s0; a0 = s0;²® ¢ °¥ª³°°¥­²­»µ ´®°¬³« µ ¬®¦­® ¡° ²¼ n = 0; 1; 2; :::‡ ¯¨¸¥¬ °¥ª³°°¥­²­»¥ ±®®²­®¸¥­¨¿ ¢ ¬ ²°¨·­®© ´®°¬¥.Ž¡®§­ ·¨¬2Q 304Q = Q15:::±²®«¡¥¶ ®°²®£®­ «¼­»µ ¬­®£®·«¥­®¢.  ±±¬®²°¨¬ ¬ ²°¨¶³10b0 1BBa1 b1 1CCA=BB@ a2 b2 1 CCA (J )::::::::::::17=’®£¤ AQ = Q;².¥. Q ±®¡±²¢¥­­»© ¢¥ª²®° ¬ ²°¨¶» A:Œ ²°¨¶» ¢¨¤ (J ); £¤¥ b0; b1; b2; ::: ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±« , ¨ a1; a2; ::: ¯°®¨§¢®«¼­»¥®²«¨·­»¥ ®² ­³«¿ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±« , ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼¬ ²°¨¶ ¬¨ Ÿª®¡¨.ޝ°¥¤¥«¥­¨¥ 4181.4.’¥®°¥¬ —¥¡»¸¥¢ -” ¢ ° Ž¡®§­ ·¨¬ S ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ­¥±¨­£³«¿°­»µ ¬®¬¥­²­»µ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© s; ­®°¬¨°®¢ ­­»µ ³±«®¢¨¥¬ s0 = 1; ¨J ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¬ ²°¨¶ Ÿª®¡¨ A: ‚ ¯ ° £° ´¥ 1.3 ¬»¯®±²°®¨«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥:S !J’¥®°¥¬ 1 (—¥¡»¸¥¢-” ¢ °) ޲®¡° ¦¥­¨¥ ¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­®¥.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

¥¸ ¿ °¥ª³°°¥­²­»¥ ±®®²­®¸¥­¨¿AQ = Q ± ­ · «¼­»¬ ³±«®¢¨¥¬ Q0 = 1; ¯®«³·¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¬­®£®·«¥­®¢ Qn ±²¥¯¥­¨ n ± ¥¤¨­¨·­»¬ ±² °¸¨¬ª®½´´¨¶¨¥­²®¬. ²® ¡ §¨± ¯°®±²° ­±²¢ C []: ޝ°¥¤¥«¨¬«¨­¥©­»© ´³­ª¶¨®­ « S ­ ½²¨µ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®° µ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬SfQng =(1; ¥±«¨ n = 0;0; ¥±«¨ n 1:®«®¦¨¬sn = Sfng; n 2 Z+:’®£¤ s = fsng ¨ ¡³¤¥² ¨±ª®¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°®¢¥°¨¬ ±®®²­®¸¥­¨¿ ®°²®£®­ «¼­®±²¨ ¤«¿ ¬­®£®·«¥­®¢ Qn : ³±²¼ m < n; ²®£¤ ¨§ °¥ª³°°¥­²­»µ ±®®²­®¸¥­¨© ±«¥¤³¥², ·²®m Qn() 2< Qn+m ; :::; Qn m >) SfmQn()g = 0:‡¤¥±¼ < > «¨­¥©­ ¿ ®¡®«®·ª .„®ª ¦¥¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ s ­¥±¨­£³«¿°­ .19 § ¨­¤³ª¶¨¨: H0 = 1; H1 = 1:˜ £ ¨­¤³ª¶¨¨. ³±²¼ H0 6= 0; :::; Hn 6= 0: ’®£¤ s : : : s 0n Qn = H1 s: : : : : ::::::: : s: : : : : ) SfQn()ng = HHn+1 :n n 1n 1 : : : 2nn 1® ¨§ °¥ª³°°¥­²­»µ ´®°¬³« ±«¥¤³¥², ·²®nQn() = a1:::an Q0()+::: ) SfnQn ()g = a1:::an 6= 0 ) Hn+1 6= 0:4201.5.

¥¯°¥°»¢­»¥ ¤°®¡¨ ±±¬®²°¨¬ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤°®¡¼A0pn+1 == n+1 ;qn+1A1B0 +AB1 + + Bnn£¤¥ pn+1 ¨ qn+1 ¬­®£®·«¥­» ®² ¯ ° ¬¥²°®¢ ¤°®¡¨.Œ­®£®·«¥­» pn ¨ qn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ²°¥µ·«¥­­®¬³ °¥ª³°°¥­²­®¬³ ±®®²­®¸¥­¨¾“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 7(qn+1 = Bnqn + Anqn 1pn+1 = Bn pn + Anpn 1(n = 1; 2; 3; :::)± ­ · «¼­»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨p0 = 0 p1 = A0q0 = 1 q1 = B0„®ª § ²¥«¼±²¢®.  · «¼­»¥ ³±«®¢¨¿ ¢»¯®«­¥­». „ «¥¥ ° ±±³¦¤ ¥¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. § ¨­¤³ª¶¨¨. ˆ¬¥¥¬A0 = A0B1 :2 =B0 + BA B0B1 + A1® °¥ª³°°¥­²­»¬ ´®°¬³« ¬q2 = B1q1 + A1q0 = B1 B0 + A1p2 = B1p1 + A1p0 = B1 A0—²® ²°¥¡®¢ «®±¼.˜ £ ¨­¤³ª¶¨¨. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¤°®¡¼ n+1 ¨¬¥¥² n ½² ¦¥©. ’®£¤ , ¨±¯®«¼§³¿ ¤¢ ° § ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¨­¤³ª¶¨¨,1121¯®«³·¨¬pn+1 = pn (A ; :::; A ; B ; :::; B ; B + An ) =n 1 0n 2 n 1qn+1 qn 0BnBn 1 + BAnn pn 1 + An 1pn 2==Bn 1 + BAnn qn 1 + An 1qn 2B (B p + A p ) + Anpn 1 = Bnpn + Anpn 1 := n n1n1 n1n2Bn (Bn 1qn 1 + An 1qn 2) + Anqn 1 Bn qn + Anqn 14‘° ¢­¨¢ ¿ ¯®«³·¥­­»¥ °¥ª³°°¥­²­»¥ ±®®²­®¸¥­¨¿ ± ²¥¬¨, ·²® ¡»«¨ ¤®ª § ­» ¤«¿ ¬­®£®·«¥­®¢ Qn ¨ Pn; ¢¨¤¨¬,·²®Bn = z bn; n = 0; 1; 2; :::An = an ; n = 1; 2; :::A0 = 1’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯°¨µ®¤¨¬ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾.“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 8 €¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¨  ¤¥ ¨¬¥¾² ±«¥¤³¾¹¥¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¢ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤°®¡¼1:n+1 =a1z b0a2z b1az b2 z nbn‘«¥¤±²¢¨¥ 1 ”®°¬ «¼­»© ±²¥¯¥­­®© °¿¤ f (z ) ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¢ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤°®¡¼1f (z ) =;a1z b0 z b 122ª®²®° ¿ ±µ®¤¨²±¿ ª f (z ) ¯®ª®½´´¨¶¨¥­²­® (¯® ­¥ °µ¨¬¥¤®¢®© ­®°¬¥ ¯®«¿ ´®°¬ «¼­»µ ±²¥¯¥­­»µ °¿¤®¢).‡ ¬¥· ­¨¥ 4 ¥¯°¥°»¢­ ¿ ¤°®¡¼ °¥¸ ¥² ¯°¿¬³¾ ±¯¥ª²° «¼­³¾ § ¤ ·³ ¤«¿ ¬ ²°¨¶» Ÿª®¡¨.

€ ¨¬¥­­®, ¯® ½«¥¬¥­² ¬ ¬ ²°¨¶» ¢®±±² ­ ¢«¨¢ ¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±²¥¯¥­­»µ ¬®¬¥­²®¢, ².¥. ±¯¥ª²° «¼­»¥ ¤ ­­»¥ § ¤ ·¨.ޱ² ­®¢¨¬±¿ ¥¹¥ ­ ®¤­®¬ ¯®¤µ®¤¥ ª ¨§³·¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­»µ ¤°®¡¥©, ®±­®¢ ­­®¬ ­ ª®¬¯®§¨¶¨¿µ ¤°®¡­®-«¨­¥©­»µ®²®¡° ¦¥­¨©.  ±±¬®²°¨¬ „‹ŽSm+1 (Z ) = B A+m Z :m’®£¤ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤°®¡¨ ¨¬¥¥¬n+1 = S1 S2 ::: Sn+1(0):„‹Ž Sm+1 ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¬ ²°¨¶ 0 A Sm+1 = 1 BmmŠ®¬¯®§¨¶¨¨ „‹Ž ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¬ ²°¨¶Mn+1 = S1S2:::Sn+1‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,p p Mn+1 = qn qn+1n n+1޲±¾¤ «¥£ª® ¯®«³· ¾²±¿ °¥ª³°°¥­²­»¥ ´®°¬³«»:p p 0 A p p A + p B Mn+1 = MnSn+1 = qn 1 qn 1 Bn = qn qn 1 An + q nB nn 1 nnn n 1 nn n231.6. ¥§®«¼¢¥­² ³±²¼ A ¬ ²°¨¶ Ÿª®¡¨, ².¥.0b0 11BCCa1 b1 1BA=Ba2 b2 1 CBC@::::::: A:::::£¤¥ b0; b1; b2; ::: ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±« , ¨ a1; a2; :::¯°®¨§¢®«¼­»¥ ®²«¨·­»¥ ®² ­³«¿ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±« .

‚»·¨±«¨¬ °¥§®«¼¢¥­²³ ½²®© ¬ ²°¨¶».¬ ²°¨¶» A ­ §»¢ ¥²±¿Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5 ¥§®«¼¢¥­²®©¬ ²°¨¶ Rz = (z E A) 1;§ ¢¨±¿¹ ¿ ®² ¯ ° ¬¥²° z: ‡¤¥±¼ E ¡¥±ª®­¥·­ ¿ ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ .„°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬ ²°¨¶ Rz ¤®«¦­ ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ¤¢³¬¬ ²°¨·­»¬ ³° ¢­¥­¨¿¬Rz (z E A) = (z E A) Rz = E:Œ» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ ³° ¢­¥­¨¿ ¨¬¥¾² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ ¨ ­ ©¤¥¬ ¥£® ¢ ¿¢­®¬ ¢¨¤¥.°¥¦¤¥ ¢±¥£® ®²¬¥²¨¬, ·²® °¥§®«¼¢¥­²³ «¥£ª® ° §«®¦¨²¼¢ ´®°¬ «¼­»© ±²¥¯¥­­®© °¿¤:Rz =1XAnn+1 :zn=024„¥©±²¢¨²¥«¼­®,(z E A) X1An1 n+1 X1 n+1XAAn+1 = E +n+1zn=0n=0 zn+1 = E:zn=0’®² ¦¥ ®²¢¥² ¯®«³·¨¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¿ ¬ ²°¨¶» ¢ ¤°³£®¬ ¯®°¿¤ª¥.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½«¥¬¥­²» ¬ ²°¨¶» Rz ±³²¼ ´®°¬ «¼­»¥ ±²¥¯¥­­»¥ °¿¤».‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬ ²°¨¶ A ®¯°¥¤¥«¿¥² ­¥ª®²®°»© «¨­¥©­»©®¯¥° ²®°.

€ ¨¬¥­­®, ®¡®§­ ·¨¬ D «¨­¥©­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®,±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¡¥±ª®­¥·­»µ ´¨­¨²­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©(¢¥ª²®°-±²®«¡¶®¢) ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«2x 306x1 77 ;x=64 x2 5:::(«¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ·«¥­®¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ®²«¨·­® ®²­³«¿). ޝ°¥¤¥«¨¬ ¢ D ±² ­¤ °²­®¥ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¯® ´®°¬³«¥1X(x; y) = xn yn:n=0’®£¤ D ¡³¤¥² ¯°¥¤£¨«¼¡¥°²®¢»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬. Ž­® ­¥¯®«­®¥. …£® ¯®¯®«­¥­¨¥¬ ¡³¤¥² ±² ­¤ °²­®¥ £¨«¼¡¥°²®¢® ¯°®±²° ­±²¢® H = l2: Ž¡®§­ ·¨¬ feng1n=0 ª ­®­¨·¥±ª¨© ¡ §¨±½²®£® ¯°®±²° ­±²¢ (­ n ¬ ¬¥±²¥ ±²®¨² 1; ®±² «¼­»¥ ½«¥¬¥­²» - ­³«¨). ²® «£¥¡° ¨·¥±ª¨© ¡ §¨± ¢ «¨­¥©­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ D ¨ ¯®«­ ¿ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­ ¿ ±¨±²¥¬ ¢ H:ޝ°¥¤¥«¥­® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¬ ²°¨¶» A ­ ±²®«¡¥¶ x :y = Ax:25°¨ ½²®¬ y 2 H (´ ª²¨·¥±ª¨ y 2 D): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²°¨¶³ A ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¢±¾¤³ ¯«®²­® ®¯°¥¤¥«¥­­»©®¯¥° ²®° ¢ H :A : D ! H:(…±«¨ A ®£° ­¨·¥­­»© ®¯¥° ²®°, ²® ®­ ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ­ ¢±¥ ¯°®±²° ­±²¢® H:)‘«¥¤³¥² ° §«¨· ²¼ ¯®­¿²¨¥ °¥§®«¼¢¥­²» ¬ ²°¨¶ ¨ °¥§®«¼¢¥­²» ®¯¥° ²®° .

‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¬» ¨¬¥¥¬ ¬ ²°¨¶³, ½«¥¬¥­²» ª®²®°®© ±³²¼ ´®°¬ «¼­»¥ ±²¥¯¥­­»¥ °¿¤», ¢® ¢²®°®¬ { ¬ ²°¨¶³ ®£° ­¨·¥­­®£® ®¯¥° ²®° . ©¤¥¬ ¬ ²°¨·­»© ½«¥¬¥­²(Rz )0;0 = (Rz e0; e0):‡ ¬¥²¨¬, ·²® ·¨±« sn ±³²¼ ¬®¬¥­²» ®¯¥° ²®° A; ².¥.sn = (Ane0; e0):„¥©±²¢¨²¥«¼­®,AQ = Q ) AnQ = nQ ) n¯®±ª®«¼ª³SfQkg ==1Xk=0(An)0;kQk ) sn = Sfng = (An)0;0;(1; ¥±«¨ k = 0;0; ¥±«¨ k 1:’ ª¨¬ ®¡° §®¬,11X(Ane0; e0) Xsn(Rz e0; e0) ==n=0z n+1n+1 = f (z ):zn=0“·¨²»¢ ¿ ½²³ ±¢¿§¼, ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥26”®°¬ «¼­»© ±²¥¯¥­­®© °¿¤ f (z ) ­ §»¢ ¥²±¿ °¥§®«¼¢¥­²­®© ´³­ª¶¨¥© ®¯¥° ²®° A:ޝ°¥¤¥«¥­¨¥ 6Ž¡®§­ ·¨¬ 1-© ±²®«¡¥¶ ¬ ²°¨¶» Rz2y 306y1 77y=64 y2 5:::’®£¤ (z E A)y = e0:„°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¢¥«¨·¨­» yn ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ­¥®¤­®°®¤­®¬³ °¥ª³°°¥­²­®¬³ ±®®²­®¸¥­¨¾8b0y0 + y1 = zy0 1>>><a1y0 + b1y1 + y2 = zy1:::::::::::::::::::::::::::::::::::>>anyn 1 + bnyn + yn+1 = zyn>::::::::::::::::::::::::::::::::::::Ž¡¹¥¥ °¥¸¥­¨¥ ­¥®¤­®°®¤­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ° ¢­® ±³¬¬¥ · ±²­®£® °¥¸¥­¨¿ ­¥®¤­®°®¤­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¨ ®¡¹¥£® °¥¸¥­¨¿±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®¤­®°®¤­®£® ³° ¢­¥­¨¿.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
646,26 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее