И.А. Аптекарев, В.Н. Сорокин - Спектральная теория разностных операторов (1128570), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

–¥¯®·ª ‹¥­£¬¾° (a) ®±² ­®¢ª § ¤ ·¨. ¥¯°¥°»¢­»¥ ­ «®£¨.–¥¯®·ª®© ‹¥­£¬¾° ­ §»¢ ¾²¤¨±ª°¥²­³¾ ¤¨­ ¬¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³ fan(t)gn2N; ®¯¨±»¢ ¥¬³¾ ­¥«¨­¥©­®© ±¨±²¥¬®©®¡»ª­®¢¥­­»µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©(a_ n = an(an+1 an 1); n = 1; 2; :::;(6:11)a0 = 0:„«¿ ½²®© ±¨±²¥¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ § ¤ · Š®¸¨, ².¥. ¨¹¥²±¿ ½¢®«¾¶¨¿ § ¤ ­­»µ ­ · «¼­»µ ¤ ­­»µfan(0)g ! fan(t)g: (6:12)Š°®¬¥ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®£® ¨­²¥°¥± ¶¥¯®·ª ‹¥­£¬¾° ¯®«¥§­ ª ª ¤¨±ª°¥²¨§ ¶¨¿ ­¥ª®²®°»µ ¨§¢¥±²­»µ ³° ¢­¥­¨©¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ.

‚®-¯¥°¢»µ, ¯°¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥©§ ¬¥­¥ ¯¥°¥¬¥­­®© ¢°¥¬¥­¨ ±¨±²¥¬ (6.11) ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨±ª°¥²¨§ ¶¨¥© ³° ¢­¥­¨¿ ¾°£¥°± :@a = a @a :@t@x‚®-¢²®°»µ, ¢ ª ·¥±²¢¥ ­¥¯°¥°»¢­®£® ¯°¥¤¥« ¨§ (6.11) ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ Š®°²¥¢¥£ -¤¥ ”°¨§ :@v = @ 3v + 6v @v :@@x3@x„¥©±²¢¨²¥«¼­®, § ¯¨±» ¿ (6.11) ¢ ¢¨¤¥a_ (x) = a(x)(a(x + ) a(x ))¨ ¯®« £ ¿a(x) = 1 2v(x);159¨¬¥¥¬v_ = v(x + ) v(x ) 2v(x)(v(x + ) v(x )): §« £ ¿ ¢ °¿¤ ¯® ¯®±«¥¤­¥¥ ±®®²­®¸¥­¨¥, ¯®«³· ¥¬v_ = 2vx + x1 3vxxx 23vvx + O(5):‡ ¬¥­ x~ = x 2 ¯°¨¢®¤¨² ª ³° ¢­¥­¨¾@v = 1 3 @ 3v 23v @v + O(3):@t 3 @ x~3@ x~ˆ ­ ª®­¥¶, § ¬¥­ ¢°¥¬¥­¨ = 3 t ¯°¨¢®¤¨² ª ³° ¢­¥­¨¾@v = @ 3 v + 6v @v + O(2):@@x3@x3(b) Œ¥²®¤ ®¡° ²­®© ±¯¥ª²° «¼­®© § ¤ ·¨. ±±¬®²°¨¬ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤°®¡¼ ‘²¨«²¼¥± 1S (z ) =: (6:13)a1(t)za2(t)1z ³±²¼ § ¢¨±¨¬®±²¼ ®² t ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¤°®¡¨ an(t) ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ±¨±²¥¬®© ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨© (6.11). Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³ ¥ ½¢®«¾¶¨¿ ±¯¥ª²° «¼­»µ ¤ ­­»µ‘²¨«²¼¥± (S; fskg; ds);£¤¥Z 1 ds(x)1XskS (z ) = z k+1 =;zx0k=0¯®¤·¨­¿¥²±¿ ¤®±² ²®·­® ¯°®±²»¬ § ª®­ ¬.

‘«¥¤³¾¹¨¥ ²°¨²¥®°¥¬» ³±² ­ ¢«¨¢ ¾² ½²¨ § ª®­».160³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fan(t)gn2N ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±¨±²¥¬¥ (6.11). ’®£¤ ª®½´´¨¶¨¥­²» ±²¥¯¥­­®£®° §«®¦¥­¨¿ (¬®¬¥­²») °¥§®«¼¢¥­²­®© ´³­ª¶¨¨ S (z ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±«¥¤³¾¹¥© ±¨±²¥¬¥:s_ k(t) = sk+1(t) sk (t)s1(t): (6:14)’¥®°¥¬ 35„®ª § ²¥«¼±²¢®.¬³ (4.12)°®¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ £¥­¥²¨·¥±ª³¾ ±³¬-sk(t) = a1(t)2Xi2 =1ai (t)2i +1X2i3=1ai (t):::Xin 1 +13in =1ain (t);¨±¯®«¼§³¿ § ¢¨±¨¬®±²¼ (6.11) ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ai ®² ta_ i(t) = ai(t)(ai+1(t) ai 1(t)); a0(t) = 0:®«³· ¥¬s_ k = a1a2+a11+1X+11+1 iXXi2 =12ai2i3 =1ai :::3ai (ai +1 ai 1)222Xik 2 +1ik 1 =1Xi2 +1Xik 1+1aikai :::1ik =1Xik 1 +13aik +aik + :::i2 =1i3 =1ik =1ik 2 +1ik 1+11+1 i2+1::: + a1 ai2 ai3 :::aik 1 (aik 1+1 aik 1 1)aik +i2 =1 i3 =1ik 1 =1ik =1ik 2 +1ik 1+11+1+a1 ai2 :::aik 1aik :i2 =1ik 1 =1ik =1X XXXXXX„«¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¯° ¢®© · ±²¨ ¨±¯®«¼§³¥¬ ²®¦¤¥±²¢®a11+1Xi2 =1ai :::2Xip 2 +1ip 1 =1aipXip 1 +11ip =1aip (aip+1 aip 1)161Xip +1ip+1 =1aip :::+1Xik 1 +1ik =1aik =a11+1Xi2 =1ai :::Xip 2 +12aip aip +1 aip +211Xip 1 +21Xip+1 +1aip+1aip :::+2aikip 1 =1ip+1 =1ip+2 =1ik =1ip 2 +1ip 1ip +3ik 1 +11+1a1 ai2 :::aip 1 aip aip+1aip+2aip+2 :::aik ;i2 =1ip 1 =1ip =1ip+2 =1ik =1XXXXX£¤¥ 1 < p < k:ˆ¬¥¥¬ikX+1+11+1 iXXaik +s_ k = a1a2 ai ai :::1232+Xik 1 +1i2=1 i3 =1ik =1ik 1 +1ik 1 +11+31+2 i3+1aikaik a1a1a2a3 ai4 :::a1a2a3 ai3 ai4 :::ik =1i4=1ik =1i3 =1 i4 =1ik 1 +11+1i2 +2+ a1 ai2 ai2+1ai2+2 ai4 :::aiki2 =1i4 =1ik =1ik 1 +11+1i2i3 +3a1 ai2 ai3 ai3+1ai3+2 ai5 :::aik + :::i2 =1 i3 =1i5 =1ik =1X !XXX XXXXX XXX !::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: + a1a11+1Xi2 =11+1Xi2 =1+ a1ai :::2ai :::1+1Xi2 =12ik 3 =1Xik 4 +1aikik 3 =1ik 4ai :::2Xik 4 +1Xik 3 =1aik aik +1aik +233ikX33aikik 1 =1aikaik aik +1aik +2ik 2=1ik 3+1X33Xik 3 +2ik 2=1162222221ik =1aikX !ik 2 +3aik +ik =1ik 2+2aik aik +1aik +22Xik 1+1Xik =1aik+a11+1Xi2 =1+a1ai :::21+1XXik 3 +1ai :::2i2 =12aikik 2 =1ik 3 +1Xik 2 =1!ikX2aik aik +1aik +2 +ik 1=1ik 2+1Xaik2ik 1=1111aik aik +1aik +2:111‘ª« ¤»¢ ¥¬ £¥­¥²¨·¥±ª¨¥ ±³¬¬», ­ ·¨­ ¿ ± ¯®±«¥¤­¥© ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥.

Š ¯®±«¥¤­¥© ¯°¨¡ ¢«¿¥¬ ¯°¥¤¯®±«¥¤­¾¾, ¯®«³· ¥¬ikX+11+1Xaik aik +1aik +2aik +3:a1 ai :::3i2 =122ik 2 =1222Š °¥§³«¼² ²³ ¯°¨¡ ¢«¿¥¬ ²°¥²¼¾ ± ª®­¶ , ¯®«³· ¥¬a11+1Xi2 =1ai :::2Xik 4 +1ik 3 =1aikXik 3+13ik 2=1aik aik +1 aik +222Xik 2+32ik =1‡ ²¥¬ ¯°¨¡ ¢«¥­¨¥ ¥¹¥ ¤¢³µ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¤ ¥²a11+1Xi2 =1ai :::2Xik 5 +1ik 4 =1aikXik 4+14ik 3=1aik aik +1aik +2333Xik 3 +3ik 1 =1¨ ².¤.

‚ ¨²®£¥ ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¢»° ¦¥­¨¾s_ k = a1a2+a1a2a3= a1a2+11+1 iXXi2=1ai22i3 =1+11+3 iXXi3 =13ai3i4 =1i2+13XXi2=1ai2i3=1163ai :::3ai :::4ai :::3Xik 1 +1ik =1Xik 1 +1ik =1Xik 1 +1ik =1aik +aik =aik :aikaik :Xik 1+11ik =1aik ;ˆ ­ ª®­¥¶, ¯°¨¡ ¢«¿¿ ¨ ¢»·¨² ¿ s1sk ª ¯° ¢®© · ±²¨ ¯®«³·¥­­®£® ²®¦¤¥±²¢ , ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼s_ k = a1a2+a1a1iX+13Xi2=1aiiX+12Xi2 =1ai2222i3 =1ai :::3i3 =1= sk+1ai :::3Xik 1 +1ik =1s1sk :Xik 1 +1ik =1aik +aik s1sk =’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ .

4’¥®°¥¬ 36 ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fan (t)gn2N ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±¨±²¥¬¥ (6.11). ’®£¤ °¥§®«¼¢¥­²­ ¿ ´³­ª¶¨¿ S (z )³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾@ S (z; t) = (z s (t))S (z; t) 1: (6:15)1@t„®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¯® t ±²¥¯¥­­®© °¿¤S (z; t) ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³« (6.14). ®«³·¨¬111Xs_ k = Xzsk+1 s Xsk + z 1:1k+1k+2k+1 zk=0 zk=0 zk=0 z’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ . 4’¥®°¥¬ 37 ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fan (t)gn2N ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±¨±²¥¬¥ (6.11), ¨ ¯³±²¼an(0) > 0: (6:16)’®£¤ ±¯¥ª²° «¼­ ¿ ¬¥° ‘²¨«²¼¥± ds(x; t) ±³¹¥±²³¥² ¤«¿«¾¡®£® t > 0 ¨ ° ¢­ xt ds(x; 0)eds(x; t) = R 1 xt: (6:17)eds(x;0)0164 ¯®¬­¨¬, ·²® ³±«®¢¨¥ (6.16) ¿¢«¿¥²±¿­¥®¡µ®¤¨¬»¬ ¨ ¤®±² ²®·­»¬ ¤«¿ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¯°®¡«¥¬»¬®¬¥­²®¢ ‘²¨«²¼¥± .

®¤±² ¢¨¬ (6.17) ¢ ¨­²¥£° «¼­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¤«¿ °¥§®«¼¢¥­²­®© ´³­ª¶¨¨ ‘²¨«²¼¥± ¨ ¯°®¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¯® t :R 1 extds(x;0) !@ S (z; t) = @ R 0 z x@t@t 01 extds(x; 0) :°®¨§¢®¤­ ¿ ¯® t ¯° ¢®© · ±²¨ ¥±²¼R 1 xextds(x;0) R 1 xextds(x; 0) R 1 extds(x;0)@ S (z; t) = R 0 z x00 z x :RR111xtxtxt@t0 e ds(x; 0)0 e ds(x; 0) 0 e ds(x; 0)’®¦¤¥±²¢¥­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° « ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ¯¥°¢®© ¤°®¡¨ ¤ ¾²Z 1 (x z + z )Z1Z 1 extds(x; 0)xtxtz x e ds(x; 0) = 0 e ds(x; 0)+z 0 z x :0’ ª¨¬ ®¡° §®¬,R 1 extds(x;0) R 1 xextds(x; 0) R 1 extds(x; 0)@ S (z; t) = 1+z R 0 z x0101RR1xtxtxt ds(x; 0) ;@teds(x;0)eds(x;0)e000·²® ¢¢¨¤³ (6.15) ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°­»¬ ²®¦¤¥±²¢®¬.’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ .

4’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¶¥¤³° °¥¸¥­¨¿ § ¤ ·¨ Š®¸¨ ¤«¿ ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨© (6.11) ± ¯®¬®¹¼¾ ±¯¥ª²° «¼­®© § ¤ ·¨ ‘²¨«²¼¥± ¢»£«¿¤¨² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‘¯¥°¢ ¯® ­ · «¼­»¬¤ ­­»¬ °¥¸ ¥²±¿ ¯°¿¬ ¿ ±¯¥ª²° «¼­ ¿ § ¤ · :fak(0)g ! fS (z; 0); sk (0); ds(x; 0)g(±¯¥ª²° «¼­ ¿ ¬¥° ds(x; 0) ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­ «¨¸¼ ¤«¿¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ­ · «¼­»µ ¤ ­­»µ ak > 0): ‡ ²¥¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¤®ª § ­­»¬¨ ²¥®°¥¬ ¬¨ ­ µ®¤¿²±¿ ±¯¥ª²° «¼­»¥ ¤ ­­»¥ ¢ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ t :fS (z; 0); sk (0); ds(x; 0)g ! fS (z; t); sk(t); ds(x; t)g;„®ª § ²¥«¼±²¢®.165¯°¨ ½²®¬ ®²¬¥²¨¬, ·²® ½¢®«¾¶¨¿ ±¯¥ª²° «¼­®© ¬¥°» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¿¢­®© ´®°¬³«®©:xt ds(x; 0)e:ds(x; t) = R 1 xteds(x;0)0 ª®­¥¶, °¥¸ ¿ ®¡° ²­³¾ ±¯¥ª²° «¼­³¾ § ¤ ·³:fS (z; t); sk(t); ds(x; t)g ! fak (t)g;¬» ¯®«³· ¥¬ °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ Š®¸¨ ¤«¿ ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨©(6.11).Œ¥²®¤ ±¯¥ª²° «¼­®© § ¤ ·¨ ±«³¦¨² ­¥ ²®«¼ª® ª ª ¯°®¶¥¤³° ­ µ®¦¤¥­¨¿ °¥¸¥­¨¿ § ¤ ·¨ Š®¸¨ ¤«¿ ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨© (6.11), ­® ¨ ¯®§¢®«¿¥² ¤¥« ²¼ § ª«¾·¥­¨¿ ®¡¹¥£® µ ° ª²¥° .

‘¯° ¢¥¤«¨¢ ’¥®°¥¬ 38„«¿ ­ · «¼­»µ ¤ ­­»µ0 < ak (0) 6 C < 1(6:18)±¨±²¥¬ ³° ¢­¥­¨© (6.11) ¨¬¥¥² £«®¡ «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ (¤«¿«¾¡®£® t > 0):„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥¸ ¿ ¯°¿¬³¾ § ¤ ·³ ± ¤ ­­»¬¨ (6.18)¬» ¯®«³· ¥¬ ±¯¥ª²° «¼­³¾ ¬¥°³ ± ª®¬¯ ª²­»¬ ­®±¨²¥«¥¬.’ ª ª ª ½¢®«¾¶¨¿ ±¯¥ª²° «¼­®© ¬¥°» ­¥ ¬¥­¿¥² ¥¥ ­®±¨²¥«¿, ¢»°®¦¥­¨¥ ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ (6.17) ¨¬¥¥² ±¬»±« ¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ¬¥°³ ¤«¿ «¾¡®£® t > 0; ²® °¥¸ ¿ ®¡° ²­³¾ § ¤ ·³¬» ¢±¥£¤ ¡³¤¥¬ ®±² ¢ ²¼±¿ ¢ ª« ±±¥ (6.18) (­ ¯®¬­¨¬, ·²®¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ ak ¥±²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¤®±² ²®·­®¥, ­® ¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ° §°¥¸¨¬®±²¨ ¯°®¡«¥¬» ¬®¬¥­²®¢).

®½²®¬³ ¤ ­­ ¿ ¯°®¶¥¤³° °¥¸¥­¨¿ § ¤ ·¨ Š®¸¨ ¬®¦¥² ¡»²¼¯°®¤®«¦¥­ ¤«¿ «¾¡®£® t > 0:’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ . 4166‹¨²¥° ²³° 1. ¨ª¨¸¨­ ….Œ., ‘®°®ª¨­ ‚..  ¶¨®­ «¼­»¥ ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¨ ¨ ®°²®£®­ «¼­®±²¼. Œ.: ³ª , 1988.2. €µ¨¥§¥° .ˆ. Š« ±±¨·¥±ª ¿ ¯°®¡«¥¬ ¬®¬¥­²®¢. Œ.:”¨§¬ ²£¨§, 1961.3. Š³±¨± . ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¾ ¯°®±²° ­±²¢ H p: Œ.: Œ¨°,1984.4. €²ª¨­±®­ ”. „¨±ª°¥²­»¥ ¨ ­¥¯°¥°»¢­»¥ £° ­¨·­»¥§ ¤ ·¨.

Œ.:Œ¨°, 1968.167€¯²¥ª °¥¢ €«¥ª± ­¤° ˆ¢ ­®¢¨·‘®°®ª¨­ ‚« ¤¨¬¨° ¨ª®« ¥¢¨·‘¯¥ª²° «¼­ ¿ ²¥®°¨¿ ° §­®±²­»µ ®¯¥° ²®°®¢“·¥¡­®¥ ¯®±®¡¨¥Ž°¨£¨­ «-¬ ª¥² ¯®¤£®²®¢«¥­ ‚..‘®°®ª¨­»¬ ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ¨§¤ ²¥«¼±ª®© ±¨±²¥¬» LATEX2" ­ ¬¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬´ ª³«¼²¥²¥ Œƒ“.168.

Характеристики

Список файлов лекций