Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Следовательно, т)1 и т)1, выдерживают циклические перестановки и поэтому выражаются рационально через коэффициенты уравнения и через А. Соответствующие представления можно подсчитать. Извлечением кубического корня можно получить гп и и«. По теореме Виета $, + $«+ Ч« — это коэффициент при г«с обратным знаком, т. е.

в случае редуцированного кубического уравнения п,=О. Зная п„ць и«, из системы линейных уравнений (7), можно получить $„~«, Ь. Если осуществить указанные вычисления, то можно убедиться, что 5ь $„Ь вычисляются по формулам Кардано. $» Аналогично, только технически более сложно, можно получить решение в радикалах уравнения 4-й степени. Что же касается уравнения 5-й степени, то аналогичное сведение к уравнениям низших степеней получить не удалось. Однако Лагранж не исключал его возможности.

Что такое понижение принципиально неосуществимо, показал в 1799 г. в работе «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степенна итальянский математик П. Руффини (1765 — 1822). Однако в его доказательстве содержались пробелы, которые ему не удалось устранить. Аккуратное доказательство было дано лишь в 1826 г. в работе норвежского математика Н. Г. Абеля (1802 — !829) «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую».

Глубокую причину несуществования функций от корней, удовлетворяющих уравнениям более низкой степени, чем рассматриваемое (исключение составляет всегда знакопеременная функция, удовлетворяющая квадратному уравнению) вскрыл гениальный французский математик Эварист Галуа (18!1 †18). Галуа сопоставил каждому уравнению группу тех перестановок его корней, которые не меняют значения всех полиномов от корней с коэффициентами, зависящими рационально от коэффициентов заданного уравнения. Эту группу называют тепеРь гРУппой Галуа рассматриваемого уравнения. Понятие группы Галуа уравнения можно ввести следующим образом.

Пусть 7" (х) = Π— алгебраическое уравнение некоторой степени и, 7(х) = а,х'+а«х '+... +а„ 1В а, ~ 0 (левая часть этого уравнения) — полинам степени л. Коэффициенты полинома — числа а„аь ..., а„должны принадлежать одновременно какому-либо числовому лолю— непустому множеству чисел, замкнутому относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от О. Числовым полем является, например, множество Я всех рациональных чисел. Поскольку необходимые понятия вводятся для всех числовых полей единообразно, достаточно рассмотреть лишь одно из иих. Поэтому мы будем считать, что коэффициенты многочлеиа 1(х) — рациональные числа.

Кроме того, можно предполагать (это доказывается в курсах алгебры), что все корни много- члена )".(х) — различны, т. е. уравнение )'(х) =О имеет л различных, вообще говоря, комплексных корней $ь $„... ..., $„. Рациональным отношением между корнями $ь $м... ..„$„называется всякое равенство вида ас,с,- с.й',Я "$."=0 (8) (~г ~а ".' ~и) где ~; — знак суммирования, сумма, стоящая в левой части этого равенства, берется по каким-то наборам показателей (ь („..., („а все .коэффициенты а~,~, рациональные числа. Иными словами, в левой части рационального отношения (8) стоит некоторый миогочлеи от $ь ~„..., $„с рациональными коэффициентами. Мно.

жество всех рациональных отношений между корнями уравнения )(х)=0 зависит только ог многочлена )(х). Понятно, что почленная сумма н почленное произведение рациональных отношений между корнями некоторого много- члена тоже будут рациональными отношениями между его корнями. Поскольку пример ненулевого рационального отношения легко указать для любого уравнения г(х)=0, отсюда получаем, что произвольному уравнению г(х) =0 соответствует бесконечное множество рациональных отношений между его корнями. Пусть теперь а=(~ й ~ ) — некоторая перестановка на множестве корней уравнения 1 (х) = О. Подействуем этой перестановкой на левую часть выражения (8).

Каждый одночлен а1„~,... с„В,'~,' ° ь„" под действием перестановки преобразуется в одночлен о~,,...~„фф ...$„" (козффициенты при всех одночленах а "и 112 остаются неизменными). Левая часть соотношения (8) пре- образуется в следующее выражение: (Гг к«, ..., С„) Это число может оказаться отличным от нуля. Все перестановки из симметрической группы на множестве корней $ь $„..., $„уравнения 1(х) =О можно разделить на две части — те, что сохраняют рациональное огношение (8), и те, что нарушают его. Если перестановки а и р сохраняют рациональное отношение (8), то очевидно, что их произведение а р и обратная перестановка к каждой из них также будут преобразовывать это равенство в верхнее соотношение, такого же вида. Иными словами, множество всевозможных перестановок, сохраняющих соотношение (8) (поскольку оно не пустое!), образует группу.

Эта группа и называется группой Галуа уравнения г (х).= О. По свойствам этой группы Галуа можно определить, будет ли данное уравнение разрешимо в радикалах илн нет. Г1олученный признак содержит в виде частных случаев все ранее известные сведения о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Но не исключается, что некоторые уравнения с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах. Возможно это или нет, устанавливается опять-таки на основании признака; найденного Галуа. Исследование свойств групп Галуа выходит за рамки нашего изложения. Отметим только, что если группа Галуа данного уравнения является абелевой, то уравнение разрешимо в радикалах. Разрешимыми в радикалах будут уравнения, группа Галуа которых являегся одной из групп диэдра, группой симметрий тетраэдра и куба. Это примеры так назуваемых разрешимых групп, т.

е. групп Галуа уравнений, разрешимых в радикалах. Наиболее «маленьким» примером нгрозргшимой группы является знакопеременная группа А„состоящая из 60 перестановок; неразрешимой является также и содержащая ее группа 5». Можно сказать, что в неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах «виновны» именно эти группы: среди уравнений 5-й степени имеются такие, группа Галуа которых совпадает с А, или 5».

Примером такого уравнения является х" — 1Ох — 2 = О. ыз Поскольку группа Галуа уравнения является столь важной его характеристикой, возникает вопрос, как же строить эту группу по уравнению? Оказывается, что нет необходимости проверять, выдерживают ли все рациональные отношения от корней уравнения /(х) = О данную перестановку его корней. Достаточно ограничиться такой про. веркой для конечной и вполне обозримой части этих отношений. С доказательством последнего и других упомянутых здесь утверждений можно познакомиться по одной из книг, посвященных изложению теории Галуа и указанных в списке литературы. Упражнения 1. Используя днскриминант /1 кубического уравнения, невозможно установить, все корни этого уравнения совпадают,.или же совпадают лишь два из них. Приведите пример выражения; составленного из корней данного уравнения, которое позволяло бы это делать.

2. Доказать, что если се †коре многочлена /(х), т. е. /(а)=0, то /(х) делится на х — а без остатка, т, е. найдется такой многочлен й(х), что /(х)=(х — сг)д(х). 3. Пусть $м $э, ..., $» — корни уравнения /(х)=0, где /(х) =х" +а,хч э+...+аа. Доказать, что имеют место равенства ог (Эг, $з, ..., Рл) = — ам оэ(1м Ь, ", $ ) =пз, аа(йю $з, ", $л) ( — 1)" а .

Это утвержденяе при п=2 читателям хорошо известно как теорема Виста. В общем случае оно тоже так называется. Пусть й (Ь 4 ., эх) — некоторый симметрический многочлен с рациональными коэффициентами ст корней $м $з,..., $а уравнения /(х)=0. Доказать, что существует такое рациональное число с, для которого выражение в (ьг ьз $ )+с=о будет рациональным соотношением между «орнями уравнения /(х)=0. б. Привести примеры числовых полей, отличных от поля рациональных чисел (1. Проверить, что всевозможные числа вида и+ьг'з, и, ь =-а, образуют числовое поле. 6.

Доказать, что если квадратный корень иэ дискримчнанта многочлена /(х) является рациональным числом, то группа Галуа этого многочлена целиком состоит из четных перестановок. й 18. ИГРА ен ПЯТНАДЦАТЬэ Теория перестановок нашла применение и прн математическом анализе многих популярных игр. Например, одно время очень популярной была почти забытая теперь 114 игра «в пятнадцатьи. И «виноваты» в том, что она забыта, математики, потому что они строго доказали, что определенные позиции этой игры являются выигрышными, а остальные — нет.

Характеристики

Список файлов книги