Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Математики всегда стараются избежать подобного разделения случаев — их число только увеличилось бы при переходе к уравнениям более высокой степени. Желательна была бы, конечно, формулировка: «Уравнение второй степени имеет два корня». Ее можно достичь, если, с одной стороны, так расширить понятие числа, что было бы возможным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а с другой -считать некоторые корни «несколько 105 раз» (ввести понятие кратного корня). И то и другое можно аккуратно сделать.
3. Общее уравнение третьей степени имеет вид Ахз+Вхз+Сх+0 =0. Разделив обе части этого уравнения на старший коэффициент А — решения от этого, очевидно, не меняются- приходим к уравнению вида хз+ ах»+ Ьх+ с = О. Введением новой неизвестной величины г=х+-- можно з избавиться от слагаемого, содержащего неизвестную во второй степени, т. е. привести уравнение к виду з+ (1) называемому редуцированным уравнением третьей степени. Сведения об истории открытия формулы корней кубического уравнения неполны и противоречивы. По-видимому, первым (около 1515 г.) нашел метод решения кубических уравнений профессор университета в Болонье С Ферро (1465 — 1526).
Независимо от него (около 1535 г.) этот метод открыл Н. Тарталья (1500 — 1557). Однако первым опубликовал формулу корней кубического уравнения Дж. Кардано (1501 — 1576) (его работа вышла в 1545 г.), и поэтому эта формула носит его имя. Отметим, что, возможно, Кардано был знаком с работами Тартальи и Ферро. В современных обозначениях метод решения уравнения (1) состоит в следующем. Введем две новые неизвестные и и а; положивши =и+а, имеем (и+а)з+р (и+а)+а=О ,з+,з+(,+„) (3„+р)+„=О. Если неизвестные и, а удовлетворяют системе з и+" = Р (3) то они также удовлетворяют уравнению (2). Решить систему (3) очень просто. Возведем первое уравнение в куб н подставим вместо пз его выражение из второго уравнения; получим, что и'=у удовлетворяет квадратному уравнению у +ду —,',*=О, шв Следовательно, а +." 7 от ра 2 У 4 27' и, наконец, а Г '7' г = ~7е — — + "~7 — + - + ~гг — — — у — + — .
(4) 2 р' 4 27 ~тг 2 У 4 27 ' Это н есть формула Кардано для решения редуцированного кубического уравнения (!). Сразу возникают вопросы: 4' и' 1) Что делать, если выражение — + — (О? 4 27 2) Сколько корней имеет кубическое упавнение? 3) Дает ли формула Кардано (4) во е решения уравнения (1)? Вопросы эти взаимосвязаны. Легко, например, убедиться, что уравнение ха — 19х+ 30 = 0 имеет решения — 5, 2, 3, а как раз в этом случае ~+ ~<0, чт так что квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл и три указанных корня этой формулой не выражаются.
Все говорит о том, что здесь еще больше, чем а случае квадратных уравнений, нельзя обойтись без введения каких-то «новых чисел», для которых извлечение квадрат« ного корня всегда возможно. Такие числа были постепенно введены на протяжении ХИ вЂ” Х1Х вв. Они называются комплексными числами. В комплексных' числах любое алгебраическое уравнение и-й степени имеет ровно и корней е).
Рассмотрим в качестве примера уравнение х" — 1=0. (5) Оно играет важную роль в теории и понадобится нам в-дальнейшем. В поле комплексных чисел это уравнение ') Прочесть о комплексных числах можно в книгах: К у рюш А. Г. Алгебраические уравнения прои»вольных степеч ней. — Мл Наука, 1975.— (Популярные лекции по математике), Курош А, Г, Курс высшей алгебры,— М,: Наука, 1975 (При меч. пер,) имеет н различных решений, которые называются корнями пей степени из единицы: 2и .; 2п Ро=1, Р!=соз — +Ез1п —, ..., 2и(е — !) . 2я(е — !) (6) Р„,=сов +Ез(п Для записи решений кубического уравнения нужны корни 3-й степени из 1.
В соответствии с формулами (6) вто будут следующие комплексные числа: 2п .. 2з ! Г'З. Ро=1, Р!=сов — +)з!и — = — — + — 4, з з ,4з .. 4к ! Р"3 . Р =соз — +! з(п — = — -- — — !. з= 3 3 = 2- 2 Можно показать, что три корня редуцированного кубического уравнения е'+ре+4=0 есть ~/ 2 Р 4 27 ~/ 2 Р 4 27 3 г 2 Р 4 27 ~l 2 У 4 27' 3 / е.=р'~/ ---+ ~' — +-+Р1„, ---- У -+- ° з,~ 2 Р 4 27 ~Г 2 У 4 27 Здесь буквой р обозначен р,— корень 3-й степени из 1; Р', как нетрудно видеть, равно р,. Это и есть окончательные формулы Кардина 4.
В случае уравнений 1-й, 2-й и З-й степени нам известны формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения при помощи рациональных операций +, —, х,:, операции р' извлечения квадратного корня (в случае квадратного уравнения), операций р' и ( извлечения квадратного и кубического корней (в случае кубического уравнения). Подобные же правила были указаны и для уравнений 4-й степени учеником Дж. Кардано итальянским алгебранстом Л. Феррари (1522 — 1565). В них также участвуют лишь рациональные операции и операции у', .
Все попытки на протяжении почти трех веков (ХЧ1 — ХЧП1) найти подобные правила для уравнений 5-й и более высоких степеней при помощи рациональных операций и операций у не увенчались успехом. Постепенно стали подозревать, что, возможно, вообще нельзя выразить корни уравнения а-й степени для п ~ 5 через (08 коэффициенты лишь при помощи операций +, —, х, ! и г' для произвольных натуральных гл, т. е.
что нельзя свести решение таких уравнений рациональными операциями к последовательному решению уравнений специального вида у"=А. Корни уравнений у = А, т. е. то, что обычно обозначают через у А, принято называть радикалами, и поэтому задачу о возможности сведения нахожде. ния корней произвольного уравнения к нахождению уравнений вида у" = А принято называть задачей о выражении корней уравнения радикалами.
Попытки доказать или опровергнуть эту гипотезу особенно участились во второй половине ХЧП1 столетия и привели в начале Х1Х столетия к доказательству невозможности решения общего уравнения 5-й и более высоких степеней в радикалах. Среди работ ХЧ111 столетия в отмеченном направлении ясностью мысли выделяется мемуар знаменитого французского математика Ж.
Л. Лагранжа (1736 — !8!3), озаглавленный «Рассуждения об алгебраическом решении уравненнйъ (177! †17). В нем автор подробно и внимательно проанализировал известные методы решения уравнений 2-й, З-й и 4-й степени в радикалах, чтобы выяснить, 'как и почему в этих случаях такое решение удается. Пря этом он отметил следующее обстоятельство: во всех указанных случаях имеются некоторые функции от корней; ' которые удовлетворяют уравнениям более низкой степени и про которые 'уже известно, что они,решаются в радикалах. Корни исходного уравнения, в свою очередь, могут- быть найдены из этих промежуточных функций опять-тани из уравнений, решаемых в радикалах.
Далее, Лагранж исследует вопрос, каким образом на. ходятся подобные функции от корней в известных случаях. Оказалось, что это полиномы ~р($ь $„;.., $,) от корней $ь в„..., $„, которые при всевозможных перестановках корней — а нх число, как известно, равно и! — принимают не п1, а меньшее число значений, и даже меньшее, чем и (л — степень исследуемого уравнения). Это произойдет тогда, когда <ран $„..., г ) ие меняется при некоторых нереста но вк ах корней. Вот каким образом перестановки появились в вопросе о решении уравнения в радикалах! Если функция <р Яь..., $„) от корней принимает только Й различных значений ~„..., ~р„, то коэффициенты многочлена (у — Чч)" (у — Ч.) = — у'+у у"-'+" +б по одной известной уже давно, теореме-это так называемая основная теорема о симметрических функциях— должны рационально выражаться через коэффициенты исследуемого уравнения а,х" + а,х"-'+...+ а„= О.
4 Примеры. 1. Пусть Ь(эь ..., $„)=Л вЂ” знакопеременная функция Ь=П 6 -~-) [(и от корней уравнения л-й степени. Она принимает при всевозможных перестановках корней лишь два значения съ и — А в зависимости от того, будет ли перестановка четной или нечетной. Следовательно, дискриминант уравнения 0 =й' не меняется при всевозможных перестановках и выражается рационально через коэффициенты исследуемого уравнения. Для квадратного уравнения ах'+ +Ьх+с=О Р=Ь' — 4ас, Знакопеременная функция о от корней удовлетворяет уравнениям уч — (Ьз — 4ас) = О и уе+ (4р'+ 27де) = О соответственно. Мы узнаем выражения под квадратным корнем в формуле для решения квадратного уравнения и — с точностью до постоянного множителя — в формуле Кардано.
2. Другой пример появился в упоминавшейся выше работе Лагранжа. Это так называемые резольвенты Лагранжа. Мы их рассмотрим, как и сам Лагранж, для случая уравнения 3-й степени. При помощи кубических корней из 1 1 р они определяются следующим образом Чч=Ь+Ь+$з, Ч1 ь1+Р$2+р ьз тй = ге+ р'И+ М' (7) ыо для редуцированного кубического уравнения х'+рх+д=О Р = — 4ра — 27д'. Здесь 5ь $,, 5 — корни исследуемого кубического уравнения. Обратим внимание на вторую и третью резольвенты. Как нетрудно видеть, при циклической перестановке коРней Й, $«, Ы вЂ” '(З«, Ь, Ь) они лишь умножаются на р' и р соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
