Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096)
Текст из файла
ПРОБЛЕМЫ НАУКИ И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА Л. А. КАЛУЖНИН, В. И. СУЩАНСКИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ Перевод с украинского Г. И. Фадина ИЗДАНИЕ ЕТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКНИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Гааа Бь»К 22.!41 К)7 УЛК 512.54+519,1+ 519.515 К а л у ж пи и Л.
Л., Суп!а н с кн й Ги И. Преобразования н перестановки: Пер. с укр. — '2-е изд., перераб. и доп. — Мл Наука. Главная редакция физюсо-математической литературы, 1985. — 160 с.— 1Проблемы науки и технического прогресса). Рецензент доктор физино-математических наук С. А. Степанов Лгз Аркадьевич Кааужкин вигалиа Неаиазич Еужаискид ПРЕОБЛЗОВЛНИИ И ПЕРЕЕТЛИОВКИ Редзнтор ВХ Л!. Горячая Технический редактор и. ЦЛ А ксельрад Художес!еенный редактор 7. Н. Коль«сизо Корректоры Л. и. Назарова, М. Л.
й!едзсдская ПБ !0 12670 Елена в набор 2б 1184 Подписано к печзтн 9107.85. Формзт 84«108'Бл БУмага тнп. лч 3 гзРннтУРз лнт«РзтУРнзв. печать высокая Уел аеч. л 8,4. лсл гр.-отт. 8,82. Уч.-нзд. л. 8,79. 1!евз 55 коп. Орленз Трудового Крзсного й~ зл нн нздзтельство «Нзукв» Глзвнзя редакция фнзнко-мзтемзтнческой литературы !17071 Москва В-71, Ленннсннй проспент, 15 грцепв Трулового Красного Впямеяи Пернья впогрзбнп гтзвтельствв «нзукви. 199021, ленинград, В-зй, 9 линял, !2 1702330000 — 121 053(02)-85 © Издвтельегво «Нзукз», Глзвнвн рпввкцня бмзпно-мвтелытнчесной литературы. Плерезол с ивановского, !979: с нзмепеннянн н дополненмямн, !985 Изучаются преобразования и перестановки конечных множеств, вводятся понятия группы перестановок и полугруппы преобразований, Приводятся элементарные сведения о группах преобразований.
Пз конкретных примерах рассказывается о применениях теории групп при решении комбпнаторных задач, изучении явлений симл!стрип в алгебре и геометрии, построении математической теории игр типа игры «в пятнадцать» плн «кубик Рубика». Проводится математический анализ теории этих игр. Первое издание вышло в 1979 г. Книга рассчитана на члпателей, серьезно интересующихся математикой.
Кинга будет также интересна всем, интересующимся игрой «кубик Рубика» п другпллн подобными играми. Табл. 8 Ил. 53. Пиблиогр. 27 назв. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ В книге в популярной форме излагаются начальные сведения из теории групп. Аппарат теории групп является основным прн изучении явлений симметрии, лежаших в основе фундаментальных закономерностей современного естествознания.
Именно поэтому теория групп нашла широкое применение не только в современной математике, но и в ядерной физике, кристаллографии, теории относительности, различных разделах химии. Име1отся опыты применения теоретико-групповых методов анализа в теории музыки, литературоведении, теории живописи, архитектуре. Математическая глубина п необычайно широкая сфера применений теории групп сочетаются с простотой ее основных положений, вполне доступных прн наличии хорошо иллюстрируюших примеров школьникам старших классов.
Поэтому теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории н проиллюстрировать на примерах, как абстрактные теоретико-групповые понятия применя1отся при решении конкретных задач из разделов математики, уже знакомых читателю. Изучение понятия группы будет в достаточной степени оправдано, только если его применения будут разнообразны и интересны.
Это одна из причин того, что основные теоретико-групповые понятия и результаты в книге излагаются в рамках теории групп перестановок конечных множеств. При таком изложении читатель постоянно работает с отображениями конечных множеств, что позволяет лучше усвоить понятия множества и функции — центральные понятия в школьном курсе математики. При написании книги использовался опыт изложения основ теории групп на кружках и факультативных занятиях в республиканской физико-математической школе- интернате при Киевском государственном университете.
3 Первое издание книги, вьппелшее в 1979 г.,— вто выполненный Г. Р!. Фа.шным перевод с украинского, котоГый был дополнен авторами включением новых параграфов, касающихся приложений групп перестановок. В настоящем издании по сравнению с первым 'расширены следующие параграфы: «Образующие симметрической группы», «Подгруппы симметрических групп. Группы перестановок», «Группы симметрий», «О решении алгебраических уравнений».
Добавлены новые параграфы: «Георема Кэпи», «Перестановочные конструкции», «Венгерский шарнирный кубик», «Другие игры». Расширены н частично изменены подборки задач. Киев Л. А. Калужнин В. И. Суи1анский 5 Ц СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ Действие (илн, иначе, операция) суперпозиции функций имеет ряд интересных свойств и много важных применений. Напомним определение и простейшие свойства суперпозицни для функций действительной переменной (функций, области определения и множества значений которых являются подмножествами множества действительных чисел). Пусть Г(х) и д(х) — произвольные функции действительной переменной. Суперпозицией этих функций (именио в том порядке, в котором они записаны) называется такая функция 6(х), что: а) область определения й(х) образована теми числами ло из области определения функции г (х), для которых ) (хо) принадлежит области определения функции д(х); б) значение функции й(х) в какой угодно точке хо из области ее определения связано со значениями ) (х) и д (х) равенством й (хо) = д Д(хо)) Таким образом, чтобы найти значение функции й(х) в точке хо, нужно найти г'(хо)=ио, а затем д(уо).
Число д(ио) и есть значение функции 6(х) в точке х,. Если функция и(х) в точке хо принимает значение и«о то это будем изображать так: хо —" и (хо) ио. Читается такая схема одним нз следующих способов: «функция и(х) в точке хо принимает значение по», «функция и (х) точке хо ставит в соответствие точку и,», «точка ио является образом точки х, под действием функции и(х)».
Для суперпозиции й(х) функций р=)(х) и х = д(х) такая схема будет иметь вид « хо — ро — ео о (егли функция ! (х) точке хо ставит в соответствие точку уо, а функция д(х) точке у,— точку го, то функция Й(х) точке х, ставит в соответствие точку го). 4 Пример. Пусть Г(х)=х', д(х)=япх. Чтобы найти значение суперпозиции Й(х) этих функций в неко. торой точке х„нужно возвести хо в квадрат, хо уо= хо, ! и найти значение у(х) в точке уо'. у, — з1 и у, = з! и (х';), И Объединяя эти две схемы, получаем хо уо=х~о е яп(х~о). 1 Таким образом, функция Й(х) каждой точке хо ставит в соответствие яп(хо), т.
е. Й(х) можно задать формулой Й (х) = з(п (х'). Рассмотрим теперь суперпозицию Й, (х) функций д (х) = = з1пх и 1(х) =х', т. е. суперпознцию тех же самых функций, но в обратном порядке. Получим хо — з)п хо — "-'(яп хо) . о!п ° ь.з' о, Это означает, что суперпозиция функций д(х) =з(пх и 1(х) =х' есть функция Й,(х) =(япх)'=з(пох. В Таким образом, суперпозиция функций зависит от порядка, в котором записаны функции. Будем обозначать суперпозицню функций у=~(х) и а=у(х) так: (! д) (х), т. е. х — у=1(х) о г =д(у).
1и 1 Следовательно, (! д) (х) =д(г'(х)). Особую роль относительно операции суперпозиции играет функция у=х, которую будем обозначать е(х). Схема этой функции такая: о ко хо для каждого числа хо. Очевидно, для любой функции у=)(х) выполняются равенства (1 е) (х) = (е 1) (х) =1 (х), или, в виде схемы, хо — уо = )' (хо) — уо, хо — хо — уо = ) (х,). о о Дадим отдельное обозначение и для функции у= — х, а именно е'(х). Мы будем рассматривать ьпюжества функций, имеющих следующее свойство.' Если функции 1' (х) и а (х) принадлежат заданному множеству функций, то и суперпозиция (1 а) (х) этих функций также принадлежит этому множеству. О таком множестве говорят, что оно замкнуто относительно операции суперпозиции функций, нли, иначе, что суперпозиция является внутренней операцией для такого множества. Найдем, например, суперпозицию двух линейных функций.
Пусть 1(х) =2х+5, д(х) =Зх+!. Для произвольного числа х, имеем хо ~ 2хо+5=уо ~ Зуо+1=3(2хо+ 5)+1, т. е. хоХ в З(2хо+5)+1=6хо+16, а следовательно, (~ д)(х)=-6х+16. Отсюда суперпозиция двух заданных линейных функций снова есть линейная функция. Легко доказать, что это верно и в общем случае; если ~(х) =ах+ 5, а д(х) =сх+й, то () а) (х) =с(ах+Ь)+й =- =асх+Ьс+й=аох+'Ьь т. е. снова функция линейная. Прн этом коэффициенты этой функции выражаются через коэффициенты )(х) и й (х) с помощью равенств ат = ас, Ьо — — Ьс+ А Следовательно, множество всех линейных функций вместе с каждыми двумя функциями содержит и их супер- позицию, т.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
