Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1 г) Обратным для преобразования а произвольного множества М называеп>ся такое преобразование р много множества, чпю справедливы равенства а*() =й а=е. Это преобразование выполняет ту же роль, что и противоположное число для операции сложения чисел нлн обратное чксло для операции умножения чисел. Так же как н обратное число а-' (которое существует только для а~О), преобразование, обратное к данному, может суа(ествовать, а может и не суи(ествовать. Например, обратным к преобразованию (3 4 1 5 2) является преобразеванне (3 5 1 2 4) ' а для постоянных преобразований обратных преобразований не существует.
Но в тех случаях, когда обратное преобразование сувсствуепг, оно единственно. Действительно, допустим, что для некоторого преоб. разования ~р множества М существует два обратных преобразования <р„ и <ре, <р, ~ ~р„ т. е. одновременно выполняются равенства Ч'<р~=%1'Ч=в Ч'фз=Чт''р=е Из этих равенств и свойства ассоциативности действия умножения преобразований последовательно имеем <р1 = ~р1. е = ср1 (~р ° ~рз) = (~р1 ° <р) ° ~рт — — е ° ~рз = барм или (а) (и р) = (Ь) (а р) = (с)р, (а)е = (Ь)е и а = Ь.
откуда Мы пришли к противоречию, которое и доказывает, что а — инъекция. 25 и мы пришли к 'противоречию, которое свидетельствует о том, что наше допущение неверно. Единственное преобразование, обратное к преобразованию у, далее будем обозначать ~р-". Когда же существует обратное преобразование? Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает такая теорема.
Т е о р е м а. Преобразование, обратное к преобразованию сс множества М, существуе~п тогда и только п1огда, когда сс является биекцией множества М. Доказательство. Необходимость. Пусть для преобразования а существует обратное к нему преобразование р, т.
е. а р =)) и=е. Тогда для каждого у~ М имеем у=(у) е=(у) ф а) =((у)р)я=а(и), где г =(у)р. Следовательно, для каждого у я М существует элемент г я М, такой, что (г)и=у, и а — сюръекция. Покажем, что преобразование и будет также инъекцней. Допустим, что это не так. Тогда найдутся различные элементы а, Ь ~ М, для которых (а)а = (Ь)а = с. Поэтому будем иметь ((а)а)р = ((Ь)и)() = (с)р, Достаточность. Пусть и — биективное преобразование. Тогда для каждого хы М существует единственный прообраз — такой элемент у~М, что (у)и =х.
Поэтому можно определить такое преобразование р множества М, которое ставит в соответствие каждому элементу хан М его прообраз у при преобразовании ох если у — х, то х — у. а в Р действительно является преобразованием, так как, поскольку а — сюръекция, оно определено для каждого элемента из М. Из самого определения р вытекает, что выполняются равенства ((х)и)р = х и ((х)р)и = х для каждого х~М. Это означает, что и ° р=)) и=-е, т.
е. р — преобразование, обратное к и. Теорема доказана. Пользуясь этой теоремой, легко решить вопрос о существовании обратной функции. Обратной для функг(ии Г" (х) называется такая функция д(х), что (1 д) (х) =(й")') (х) =х. Для того чтобы функция )(х) имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она осуществляла биективное отображение сбласти своего определения на множество своих значений. Очевидно, преобразования а и а-т взаимно обратны, т. е. каждое из них обратно к другому. Следовательно, (а-')-' = и. < П р и м е р ы.
6. Пусть ~2 — поворот плоскости на угол 2п/3 против часовой стрелки вокруг точки О. Поскольку Ч~ — биекция, Ч~-' существует. Легко понять, что Ч~-' — поворот плоскости на угол 2п/3 по часовой стрелке вокруг точки О. 7. Функции у= 2х+3, у =х' — биективные преобразования х — ~ 2х+ 3, х-~х' множества действительных чисел К на себя. Поэтому для них существуют обратные преобразования, а именно л — З ь ~ х — — —, х-+-у х.
2 Следовательно, функции у= —" и у=у х обратны соот- 2 ветственно к функциям у=2х+3, у=х'. 26 Функции у = х', у = з(п х — преобразования х-+.хе, х- 3!их множества К, которые не биективны. А поэтому для них не существует обратных. Однако можно рассмотреть ограничение функции у=х' на множество К'() (!!) неотрицательных действительных чисел, Это функция, область определения которой есть множество К'[((О), причем во всех точках области определения она совпадает с функцией у=х'. Это ограничение будет биективным преобразованием множества й+[) (О), т.
е. для него существует обратное преобразование х-~ Р х. Таким образом, функция у=3/ х обратна к ог р ан ичени ю функции у=х' на множество К'Ц(0) [а не к функции у=х', как часто говорят). Вполне аналогично можно рассмотреть ограничение функции у=в!пх на промежуток [ — л?2, л?2]. Это ограничение является биектпвным отображением множества [ — л!2, л!2! на множество [ — 1, Ц.
Следовательно, для него существует обратное — функция у = агсз!и х. 8. Пусть преобразование ср множества точек плоскости является параллельным переносом в заданном направлении на расстояние д. Ясно, что <р — биективное преобразование, следовательно, для него существует обратное. Это также параллельный перенос на то же самое расстояние, но в противоположном направлении.
Ф. Для преобразования конечного множества М существует обратное преобразование тогда и только тогда, когда оно является переел!оковкой. Пусть дана перестановка 1 2 3 ... и 7= й !2 !3 " !ь) тогда обратная к ней перестановка, как вытекает из правила умножения перестановок, будет такая: (й !9 !з " ~п) Ее столбцы можно переставить так, чтобы числа верхнего ряда были расположены в порядке возрастания. Например, обратной к перестановке ! 2 3 4 5 б 7 (4 2 1 5 7 б 3) будет перестановка 4 2 1 5 7 б 3 1 2 3 4 5 6 7 (! 2 3 4 5 б 7) (3 2 ? 1 4 6 5)' Для преобразований 'произвольного множества мояшз составлять и решать уравнения.
Как пример рассмотрим уравнения первой степени. Пусть <р, ф — произвольные преобразования множества М. Существуют ли такие преобразования х у этого множества, для которых выполнялись бы равенства (5) (6) <р х=ф, у'ср=Ф р Если такие преобразования существуют, то единственны ли они? Подчеркнем, что следует рассматривать оба уравнения, так как операция умножения преобразований некоммутативна и эти уравнения могут иметь разные решения. Довольно легко ответить на вопрос о существовании и единственности решения для уравнений (5) и (6), в которых «коэффициент» ср — перестановка. Если ср — перестановка, то решения уравнений (5) и (6) суи(еспмуют и единственны. Доказывается этот факт следующим образом. Поскольку <р — биекция, для него существует обратное преобразование ~р'.
Можно поэтому рассмотреть преобразования ср-' ° ф и ф ° ~р-' (отметим, что, вообще говоря, Ч-' файф ~р-', так как операция умножения преобразований некоммутатнвна). Покажем, что ~р-' ф будет решением уравнения (5). Для этого вычислим произведение ~р (Чг" ф). Используя ассоциативность операции умножения преобразований и определение обратного преобразования, получим <р ° (~р-'ф) =(~р ° ~р-') *ф=е ф=ф А это и означает, что <р-т ф — решение уравнения (5). Аналогично доказывается, что преобразование «р ср '— решение уравнения (6). Теперь докажем, что указанные решения уравнений (5) и (6) единственны. Действитедьно, если преобразования а и () — решения уравнений (5) и (6) соответственно, (7) (8) <р а=ф () ч=ф, то, умножая равенство (7) слева на ~р-т, а равенство (8) справа на сс-', получим ср-'(Ч~ ° а) =~р 'ф (() ° ~р) ° (р т=ф Ф ) йа т е.
(ф' р) =гр 'Ф р (гр гр ')=ф' Г' е.а=~р з ф, и=<р-т.ф, р . в = эр ° гр т, р = гр. гр-т. ."-тн равенства означают, что никаких других решений, кроме отмеченных ранее, уравнения (5) и (6) не имеют. ж Пр и мер 9. Пусть М = (1, 2, 3, 4), (2 3 4 1) ' т (2 1 4 3) ' Пструдно проверить, что решением уравнения (5) будет перестановка (3 2 1 4)' а решением уравнения (6) — перестановка "~' 'Р (1 4 3 2)" 'Р 'ф Если преобразование ~р в уравнениях (5) и (6) — ие перестановка, то эти уравнения могут иметь решения, а могут и не иметь их (см. упражнения 8 — 1!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
