Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Упражнения 1. Доказать, что произведение параллельных переносов снова будет параллельным переносом, 2. Изобразить преобразования, ааданные таблицами, с помощью стрелочных схем и найти произведения этих преобразований: 1 (4 2 3 2 4)' (3 1 2 1 2)' 3. Доказать, что произведение симметрий относительно прямых, которые пересекаются, является поворотом. 4. Преобразования ф, ф заданы графиками, Указать правило нахождения графика файф. 6.
Если произведение ~р ° ф преобразований ф, ф конечного множества в перестановка, то <р и ф - перестановки. Доказать это. 6. Если для заданного преобразования ~р существует такое число и, что фа †тождественн преобразование, то ф — биекция, Докюать шо (определение ьа см. в 4 6), 7. Решить уравнения: ) (6 4 3 2 1 6) (3 2 1 4 6 6)! уравнения и сколько: 9. Пусть М вЂ” произвольное множество, ф: М вЂ” ьМ' — некоторое преобразование М.
Правым (левым) обратным к ф иазываетея такое преобразование и множества М, что ф ° сг=е (соответственно а ф=е). Докажите, что преобразование ф тога и только тогда обладает правым (левым) обратным, когда ф инъективно (соответственно сюръектнвио), Оу Об ® Оу Об О~ Об О2 Оу Об Об Оу © Ор ® Об Рис. 8 19. Если ф инъективно (сюръективно), то уравнение (5) (соответственно (6)) прн любом преобразовании ф имеет решение (но, вообще говоря, не адно). Докажите это, используя упражаение 9.
11. Пусть ф сюръективно (инъективно). Докажите, что если уравнение (5) (соответственно (6)) имеет решение, то оно единственно, 12. 2л физкультурников выстроены в шеренгу по одному. Рассчитавшись на первого-второго, они сдваивают ряды. Стоящие во втором ряду, пачипая с бывшего левофлангового, делают. аобходной маневр» и переходят нр правый край так, что левофланговый обращается в правофлангового (рис, 8). Считая, что номера на майках физкультурников соответствуют перед перегруппировкой их порядиовыи номерам в шеренге, найти перестановку, характеризующую рзспо.чожение физкультурников в шеренге после трехкратной пере группировки, 6 4.
ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК И ПО»»УГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИИ Как было установлено, операция умножения преобразований произвольного множества М имеет ряд свойств, которые не зависят от природы элементов множества М. Эти свойства могут быть разными для разных совокупностей преобразований множества М. Например, в множестве всех преобразований не для каждого преабразо- 36 (4 3 2 !) (! 2 4 3)' 8. Какие решения имеют следующие (2 ! 3 4 3) (3 2 4 1 5) 4 5 6'! ! 6 51' вания существует обратное, а в множестве биектнвных, преобразований это имеет место. Операция умножения произвольных преобразований некоммутативна, а операция умножения (последовательного выполнения) параллельных переносов иа плоскости коммутативна: Изучать свойства отдельных классов преобразований относительно операции умножения бывает нужно очень часто.
А потому удобно разработать определенную общую схему изучения таких свойств. Кроме операции умножения преобразований, приходится иметь дело и с другими операциями, которые задаются на разных множествах. Например, рассматривается операция сложения действительных чисел, операция умножения в множестве рациональных чисел, операция возведения в степень в множестве целых чисел и т. д. Это наводит на мысль рассмотреть общее понятие операции.
Из приведенных примеров видно, что операция, заданная на некотором множестве Р, произвольной паре элементов из Р ставит в соответствие определенный элемент из Р (результат применения операции). Например, операция сложения целых чисел паре (2, 3) ставит в соответствие число 5, а паре ( — 2, 1) — число — 1; операция умножения перестановок на и!!ожестае (1, 2, 3) паре перестановок '!'!2 1 3/ ' '!3 1 2Д ставит в соответствие перестановку з з~ и т. д. Следовательно, естественно дать такое о п р е д е л е и и е: Опера!(ией на множестве Р называется соответствие, при котором с каждой парой элементов из Р сопоставлен определенный элемент этого же множества. Операции обозначают разными символами, например +, х...
а и т. д. Если операция на множестве Р обозначена символом а и паре (а, Ь) элементов из Р она ставит в соответствие элемент с, то коротко это записывают так: а вЬ=с. Элемент с называют композицией или, чаще, произзеденаем элемеигаое а, Ь, а операцию э в этом случае называ!о! В. умножением (это оправдано тем, что очень часто операцию в понимают как умножение перестановок).
Примерами множеств с операциями являются множество целых чисел с операцией сложения, множество пграллельных переносов на плоскости с операцией их по. следовательного выполнения, множество положительных действительных чисел с операцией возведения в степень (паре положительных чисел (а, о) ставится в соответствие число аг), множество перестановок первых 100 натуральных чисел с операцией умножения перестановок. Рассматриваются множества с операциямн, которь. имеют определенные свойства. Из сказанного в предыдущем параграфе вытекает, что естественно выделять дьг совокупности преобразований — множество всех преобразований и множество перестановок.
Запишем отдельно свойства операции умножения произвольных преобразований и свойства операции умножения перестановок нз множестве М. Будем обозначать совокупность всех преобразований множества М символом Р (М), а совокупность всех перестановок на этом множестве — символом 3 (М). А.
Свойства операции умножения преобразованийй из Р(М). А,. Произведение двух преобразований множесп:ст М вЂ” тоэкг преобразование этого множества: если ~р, ~р ен Р (М), то- и рф ен Р(М). Иными слсвамп, множество Р(М) замкнуто относительно операции умножения преобразований. Ам Операция умножения преобразований имеет свой- синю ассоциапшвности, т. е. для каждых ~р, ф, гвенР(М) справедливо равенство (т ф) = р (ф ) А,. Существует единственное преобразование е еи Р(М), такое, что для каждого ~р Р (М) е ° ~р=~р е=~р. Б. Свойства операции умножения перестановок из 5(М).
Б,. Если <р, фя 5(М), то и ~р фен 5(М). Бв. Операция умножения перестановок ассоциативна. Бв. Существует единственная перестановка 'е е= 3(М), такая, что для каждой перестановки ~р ен 5 (М) имее.и В4. Для каждой перестановка <р вил(М) существует такая перестановка фен5 (М), что <р ~р=ф ° р=а. Общая схема, по которой изучаются совокупности преобразований с операциями умножения, должна как-то учитывать серию свойств А или серию свойств Б.
Это достигается введением общих понятий группы и полу- группы. О п р е д е л е н и е. Произвольное множество Р с заданной на нем операцией в называется полугруппой, если: а) для каждых а, Ь АР произведение йвЬ принадлежит Р; б) для каждых трех элементов а, Ь, с ен Р выполняется равенство (а в Ь) в с = а в (Ь в с), (1) т.
е. операция умножения, заданная на Р, ассоциативна; в) существует такой элемент е ен Р, что для каждого аен Р имеем а*е ева=а. Элементе называется нейтральным для операции в. М Примеры. 1. Множество Е всех целых чисел для сложения — полугруппа. Действительно, сумма целых чисел — снова целое число. Операция сложения целых чисел имеет ассоциативное свойство.
Нейтральным элементом для опеоации сложения целых чисел служит число О, потому что для каждого а ен Х имеем а+0=0+а=а. 2. Множество Я" всех положительных рациональных чисел для операции умножения — полугруппа. 3. Множество преобразований Р (М), для операции последовательного выполнения преобразований — полу- группа.
Множество К+ положительных действительных чисел с заданной на нем операцией а в Ь = аь не будет полу- группой, так как зта операция не ассоциативна, т. е. для чисел из К~ не всегда выполняется равенство (1). Например, (2вЗ) в2-62в(Зв2) (потому что (2')'=64, а 2' = 512). ~ с1 п р ед е л е н и е. Множество Р с заданной на ига< операцией в назь<вается группой, если удовлетворяя>т<>< требования а) — в) определения полугруппы и, кроме того, такое требование: г) для каждого элемента а ~Р существует такой элемент Ь ~ Р, что а а Ь = Ь в а = е. 4 Примеры.
4. Множество.2 всех целых чисел для операции сложения — группа. Действительно, в примере 1 было проверено выполнение требований а) — в). Кроме того, для каждого числа а ен Х существует такое число Ь ен Х (противоположное к а); что а+Ь=Ь+а=О. Следовательно, выполняется и последнее требование определения группы. 5. Множество К > положительных действительных чисел для операции умножения — группа.
Действительно, произведение положительных чисел— снова положительное число; операция умножения чисел' ассоциативна; нейтральным элементом является число 1; для каждого числа а ~ )с+ существует обратное к нему число а-'. 6. Множество всех поворотов плоскости вокруг фиксированной точки на произвольные углы для операции последовательного выполнения поворотов — группа. Действительно, произведение поворотов плоскости вокруг точки. О на углы а и р является поворотом вокруг втой точки или на угол а+ (), или на угол ~а в ))1; операция умножения поворотов ассоциативна, так как таковой является операция умножения произвольных преобразований; нейтральный элемент †тождественн преобразование плоскости, которое можно рассматривать как поворот вокруг точки О на О радианов; обратным к повороту на угол а будет поворот на угол †.
Совокупность 5(М) всех перестановок на множестве М (1, 2, 3, ..., п) для операции умножения перестановок образует группу Эта группа называется симметрической группой перестановок на множестве М. Выполнение всех требований определения группы 'вытекает из свойств Б< — Бм Каждая группа будет также и полугруппой, но не наоборот. Например, множество целых неотрицательных чисел для действия сложения — полугруппа, но не группа. 34 Операции сложения и умножения чисел имеют свойство коммутативности.
Однако требование коммутативности не включено в определение полугруппы и группы. Это объясняется тем, что операция умножении преобразований не коммутативна, а исторически понятие группы воз. никло именно на основе изучдния свойств операции умножения перестановок на конечных множествах (понятие полугруппы появилось значительно позднее). Отдельно рассматриваются группы, для которых выполняется требование коммутативности. Они называются абглевыми (в честь норвежского математика Н.
Г. Лбеля (1802 — !829), установившего роль таких групп в теории разрешимости алгебраических уравнений в радикалах). Для множеств с заданными на них операциями проверять выполнение свойств группы бывает довольно трудно. Если множество конечно, для такой проверки можно воспользоваться так называемой таблицей умножения группы. Эту таблицу составляют подобно таблице умножения целых чисел.
Строят ее так. Пусть а1. ам "° 1 ал — все элементы группы О. Запишем их в первом ряду и в первом столбце подготовленной таблицы. Затем заполним клетки таблицы, записывая в них произведения соответствующих элементов первого ряда и первого столбца в указанном порядке. В результате получим Ыа ы~ *я1 Иа еЮ1 Ып анл 4 Примеры. 7. Пусть 6 — множество перестановок (! 2 3)' (2 3 !)' а (3 1 2) Непосредственно перемножая их, легко убеждаемся, что таблица умножения элементов из б будет такая: ас ссс ~ аэ 8. Пусть Н вЂ” множество преобразований ~1 2 3)' (! 1 1~' ~ (2 2 2)' " (3 3 3~' Перемножая таблицу: эти преобразования получим такую в Пользуясь двумя последними таблицами, легко убедиться, что множества б и Н для операции умножения преобразований образуют соответственно группу и полу- группу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
