Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 2
Текст из файла (страница 2)
е. суперпозиция является внутренней операцией для множества всех линейных функций. Результат суперпозиции для линейных функций также зависит, вообще говоря, от порядка их записи. Например, если Г(х) =2х+3, а я(х) =Зх+2, то (1 й) (х) есть функция атх+Ьм причем а,=2 3=6, Ь,=З 3-1-2=11, У а (и /)(х) — это функция а х+ Ь,, гдз о,=3 2 =6, Ьэ = -2 2+3 = 7. Следовательно, (7 й)(х) =-бх+11, а (и 1) (х) == = бх+7, т. е. для данных функций (7' д) (х) ~(п 1) (х). Другим примеоом множества функций, замкнутого относительно суперпозиции, является множество всех мяогочленов вида а0х" + аьх"-'+... + а,-ьх+ ал с ц лыми коэффициентами. Действительно, пусть 1'(х) =с,х"+с,хэ-'+...+сэ,х+с,, д(х) =Ь,х +Ь|х '+...+Ь„-тх+Ь„ — два таких многочлена.
Тогда суперпозицией (1 й) (х), как легко убедиться, является такое выражению Ьэ (сэх" + стх"-'+... + сд)~+ +Ья4сэх~+с~х~~+...+сх) з+...+Ьм. Вто есть многочлен степени тй, который имеет вид г(Ох™ + г(ех~~э — г+ + л э эх+ 4 и где коэффициенты бм 4, ..., д э выражаются определенным образом через коэффициенты 7(х) и й(х). Общее правило для нахождения чисел йо,. дь ..., с(,„~ по известным коэффициентам см ..., см Ьа, " Ьл до вольно громоздкое, но в каждом конкретном случае коэффициенты 4 удается вычислить без особых трудностей. Например, пусть ~(х) =х'+2х+2, я(х) =2х'+х+2.
Тогда Ц д) (х) = 2 (х'+ 2х+ 2)'+ (х'+ 2х+ 2) + 2 = = 2х'+ 8х'+ 17х'+ 18х+ 12, (д Д (х) = (2х'+ х+ 2)'+ 2 (2х'+ х+ 2) + 2 = = 4х'+ 4х'+ 13хэ+ бх+! О Ф Ц д) (х). В рассмотренных примерах множества функций, замкнутые относительно суперпозиции, были бесконечны. Однако это условие не является необходимым для замкнутости. Для множества, которое состоит лишь из двух функций у=х и у= — х, которые мы обозначили е(х) и е'(х), суперпозиция также будет внутренней операцией.
8 Действительно, (е е) (х) = е (х), (е и') (х) = (е' е) (х) = е' (х), (е' ° е') (х) = е (х), т. е. условие замкнутости выполняется. Даже из приведенных примеров видно, что множества, для которых суперпозиция является внутренней операцией, могут быть очень разными. Далее мы рассмотрим строение таких множеств для функции, определенных па конечных множествах. Упражнения 1. Найти суперпознцин (/ у)(х) и (у /) (х), где у=/(х) и у = у (х) †соответствен функции: з) у= 2х+3, у = Зх+ 4; 6) у=хз+йхз. у=хе+3; в) у=хе+2. у=хе+к+1; 2х+3 х+4 г) у= —, у=— ах+2' х — 1' 2.
Будут лн ззмкнуты относительно .суперпозиции такие мио. жествз функций: в) множество всех функций вида у=ах, где и — произвольное действительное число; б) множество всех функпнй вида у=х+о, где о †произвольн рзционзлы<ое число; в) множество функций у=х, у= !/х, у= — 1/х, у= — х, кзждзя нз которых рассматривается из множестве всех действительных чисел без нуля; г) множество многочленов степени не выле 3-й; 1 х — 1 ! д) множество функций у= —, у= —, у= 1 — х, у= —, 1 — х' х ' ' ь' у= —, у=х? х — 1' й 2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Как известно, отображением множесп/ва А в множество В называется соответствие, по которому каждому элементу множества А сопоставляется однозначно опрсделенный элемент множестваВ; этот элемент Ь называется образом элемента а; элемент а, в свою очередь, называется прообразом элемента Ь. Отображения одного множества в другое будем обозначать строчными буквами греческого алфавита. Если задано отображение гр множества А в множество В, то 9 это обозначается одним из двух способов: <р: А-+В, А ч В. Образ элемента а енА при отображении ~р будем обозна.
чать так: (а)«р (знак отображения будем записывать с п р а в а от символа элемента). Отображение одного множества в другое можно задавать описательно, указывая правило, по которому каждому элементу какого-то множества А ставится в соответствие его образ нз множества В, а также с помощью таблиц, графиков, стрелочных схем. Остановимся на указанных способах задания отображений произвольных множеств (как числовых, так и не- числовых).
Строя таблицу отображения <у: А -+.В, в нее записывают все возможные пары вида (а, (а)р), пенА: х ~ а, .( а, ~ ... ~ а» (х)~р ~ (а,)ср / (ах)~р ~ ... / (аа)~р Такая таблица полностью задает отображение лишь тогда, когда множество А конечно и исчерпывается элементами а„ам ..., и„. Построение графиков отображений нечисловых мио. жеств А, В несколько отличается от построения графиков числовых функций, с которым читатель хорошо знаком.
Оно осуществляется так. Проводят два взаимно перпендикулярных луча, которые выходят из одной точки,— «оси координаты На горизонтальном луче произвольным способом (иапример, через одинаковые промежутки) отмечают точки, которые отвечают элементам множества А, а на вертикальном — точки, которые отвечают элементам 'множества В. Через эти точки проводят соответственно вертикальные,и горизонтальные прямые, которые образуют прямоугольную сетку. Чтобы пост(1оить график отображения ~: А- В, нужно поставить точки в тех вершинах сетки, «координатами» которых являются всевозможные пары вида (а, (а)у), где а — произвольный элемент множества А.
4 Пример 1. Пусть А=(г, а, и, л), В=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), а ~р: А- В есть отображение, по которому каждой букве из множества А ставится в соответствие ее порядковый номер в слове «логарифм». График этого отображения дан на рис. 1. ~ (о С помощью стрелочных схем, или, как их ен!е называют, графов, отображения множеств задают так: элементы множеств А и В обозначают различными точками плоскости (для множества А — слева, а для множества  — справа) и каждую из точек, которыми обозначены элементы множества А, соединяют стрелкой слева направо с точкой, которой обозначен соответствующий элемент множества В. 4 Пример 2. Пусть А=(3, 2, 6, 7), В=!28, 12, 4, 5, 11), <р: А-э — отображение, которое каждому числу из А ставит в соответствие наимень- я! шее общее кратное этого числа и числа 4.
Это отображение полностью описывается стрелочной схемои, изображенной на рис. 2. Следовательно, имеем (3)ср = 12, (2)<р = 4, (6)<р = 12, (7)(р =28. 4» Условимся обозначать число элементов конечного множества А символом ! А (. Например, ) (а, Ь, с, Д~'= 2 = 4, ((1, 7, 10)! = 3 и т.
п. Пусть 7 множества А' и В конечные и ~ А ~ = =т, !В~=а. Ясно, что существует г лишь конечное число различных Рис. ! отображений А в В, если считать разными отображения, которые действуют по-разному по меньшей мере на один элемент множества А.
Пользуясь тем, что каждое отображение А в В полностью описывается своей таблицей значений, подсчитаем, сколько именно существует разных отображений множества А в множество В. Рис. 2 Обозначим элементы множества А символами аь а„... , а . Тогда таблицу каждого отображения А в В можно !1 будет записать так сч ам где Ь„ Ь„ ..., Ь вЂ” обозначения некоторых, не обязательно разных элементов множества В. Верхний ряд таблицы одинаков для всех отображений А в В, а нижний меняется, потому что разным отображениям отвечают разные таблицы.
При этом разных отображений А в В будет столько, сколькими разными способами можно заполнить второй ряд рассмотренной таблицы. В каждую клетку второго ряда таблицы можно записать обозначения любого элемента множества В. Таким образом, каждую из ьч клеток нижнего ряда таблицы отображения можно заполнить а разными способами независимо от способа заполяения других клеток. А это означает, что в таблице отображения можно образовать всего ла...а=ам разных нижних рядов. Следовательно, существует а разных отображений А в В.
Выделяется и отдельно изучается несколько важных классов отображений одного множества в другое. 1. Отображение на все множество. Отображение йи А— -в. В называется отображением на все множество В илп ооръекцией, если для каждого элемента Ь ен В найдется такой элемент аы А, что (а) гр=Ь. 4 Примеры. 3. Пусть А = К, В= К~ есть соответственно множество всех действительных и множество всех положительных действительных чисел. Зададим отображение йи К-+Р,'+ положив (х)ср=х' для каждого х~ й.
Отображение <р будет сюръекцией, потому что для каждого числа у~ К" существует по меньшей мере одно число х ~ Й, такое, что (х) 4~=у. Достаточно положить х=Уу. Даже больше, для каждого уз- =К~ существует точно два прообраза: )'у, — 1'у. 4. Пусть А =Т вЂ” множество всех прямоугольных треугольников на плоскости, В = К+. Определим отображение р: Т -+ К~ так: поставим в соответствие каждому прямоугольному треугольнику из Т число, которое является его площадью при фиксированной единице измерения; р есть сюръекция, так как для произвольного 12 хе= Р" сугцествует прямо)фольиый треуголышк (с катетами ~' х и 23~ х), который имеет площадь х. Существует даже бесконечно много прямоугольных треугольников, которые имеют площадь х (например, треугольники с катетами )Гх/й, 2ЬРх, Ь=-1, 2, 3, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
