Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Эта теорема называется основной теоремой о симметрических многочленах. Мы докажем эту теорему лишь для многочленов с тремя неизвестными. Рассмотрение этого случая даст нам возможность обозреть все этапы полного доказательства. Понятно, что каждый симметрический многочлен с произвольным числом переменных является суммой орбитальных многочленов.
А потому для доказательства теоремы в случае л = 3 достаточно убедиться, что многочлены вида о,(х,"), о (хлх,'), ов(х~х,'х, ) можно представить в виде многочленов от а„а„аг. 1) Убедимся методом математической индукции по числу й, что каждая степенная сумма вл — — х~+х,"+х"„ выражается через элементарные симметрические много- члены. Действительно, з,=х,+х,+хз совпадает с о„ 5, =' х1 + х'-, + х,,' = (х,+х,+хз)' — 2(х,хз+хэхз+хзхэ) = =о,' — 2ом 5»=а',— Зпзаэ+За». ВыРазим тепеРь 5» длЯ пРоизвольного й чеРез многочлены зь »~й.
Имеем оз5»-» = (хз+ ха+ ха) (х +х» +»»э ) =5»+Оа(х хэ). Отсюда 5» =а»5» з — о,(х,' — 'х,), Аналогично, пэз» з =о»(х» — 'х,)+оз(х» 'х,х), оэз»-э = оз(х, хзхэ). Определяя из двух последних равенств миогочлен о,(х,' — 'х,) и-подставляя его в предыдущее, будем иметь 5» = П»5»-з — П»5»-з+ Озз»-а. В соответствии с предположением индукции степенные СУММЫ 5» ь 5» м 5» з МОЖНО ЗаПИСатЬ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНОВ от элементарных симметрических многочленов, следовательно, через'ннх можно выразить и сумму 5». 2) В $ 13 было установлено, -что любой орбитальный многочлен вида о,(х,'х',) выражается через степенные суммы.
По только что доказанному, о,(х,'х,') можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. 3) Пусть о,(х»х,'х,") — некоторый орбитальный много- член, и пусть, например, число пз — наименьшее из чисел й, 1, пз. Тогда имеем о (х х'х,'") =х х'"х'"о (х'-'"х'-'") =о'"о, (х» — 'хз— з(заз) з э а э(з э ) з з(з э )~ о,(х»-"х', — ) — орбита одночлена с меньшим числом переменных, т. е, этот случай сводится к предыдущим.
Основная теорема о симметрических многочленах для а = 3 доказана. Для и = 2 доказательство будет вполне аналогично, но значительно проще. Предлагаем читателю провести его самостоятельно. М Рассмотрим несколько примеров применения основной теоремы о симметрических многочленах. 1. Решить систему х+ ху+ у = 7, х'+ ху+ у' = 13. (1) Выразим симметрические многочлены в левых частях обоих уравнений через оз=х+у и оа=ху и введем новые 100 неизвестные и=х+у, о=ху. Получим вспомогательную систему и+о=7, и' — о=13.
Она имеет два решения: и= — б, о=12; и =4, и=3. Значит, множество решений исходной системы (1) равно объединению множества решений следующих двух систем: х+у= — б, ху=!2; х+у=4, ху=З: Множество решений первой из них пусто, а множество решений второй — ((1; 3), (3; 1)!. Следовательно, множество решений исходной системы (!) есть 6 () ((1; 3), (3; 1)) = ((1; 3), (3; Ц). 2. Доказать, что при а+Ь+с=О справедливо тождество аз 1-Ьз 1 сз ЗаЬс Выразим симметрический многочлен а'+Ь'+ с' — ЗаЬс через элементарные симметрические многочлены о, = =а+Ь+с, о,=аЬ+ас-,'-Ьс, оз= аЬс.
Как было ужеустановлено при доказательстве теоремы о симметрических многочленах, многочленом от оь о„о,, который совпадает с суммой ~ = а'+ Ь'+ с', является о," — Зо,о, + Зоз. Поэтому получим аз+ Ьз -1- сз — ЗаЬс = о, '— Зозоз+ Зоз — Зоз = о,' — Зо,оз. Поскольку по условию-о,=О, то аз+Ьз+сз — ЗаЬс также равняется О, откуда и вытекает правильность доказываемого тождества. 3. Составить квадратное уравнение с корнями хь хм если хз+хз — — 2, х)+хз — — 82. Такое уравнение можно составить, использовав теорему Виета. Для этого нужно найти, чему равняется произведение корней.
Выражая х,'+х,'г зз через элементарные симметрические многочлены, получим аз = о1 — 4о,'о, + 2о,'. Если в это равенство подставить вместо аз и о, их значения, то будем иметь квадратное уравнение для ом 2оз — ! боз + бб = О. 1О! ОтСЮда О',о = 11, О2" = — 3.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, ИСКОМЫМИ ураВ- пениями будут х' — 2х+ 11 = О, х' — 2х — 3 = О. в Наряду с симметрическими многочленами часто приходится иметь дело с четносимметрическими многочленами. Четносимметрическил1и называются многочлены, инвариантные относительно всех четных перестановок. Следовательно, группа инерции четносимметрического много- члена будет содержать знакопеременную группу.
Поскольку в симметрической группе о2 четной будет лишь тождественная перестановка, то каждый многочлен с двумя неизвестными четносимметрический, т. е. в этом случае понятие четносимметричности излишне. Однако уже среди многочленов о тремя неизвестными есть нечетносимметрические, например х,+2х,+Зх, (группа инерции этого многочлена единичная). Понятно, что каждый симметрический многочлен четносимметрический, но не наоборот. Например, знакопеременный многочлен А (х„х„..., хл) четносимметрический 'для любого и, но не симметрический.
Четносимметрическим будет, в частности, каждый миогочлен, который под действием произвольной транспозиции меняет знак. Многочлеиы с таким свойством называются антисимметрическими. Как было установлено в $ 13, многочлен А (хь х„..., хл) антисимметрический. Вполне понятно также, что произведение симметрического многочлена на произвольный антисимметрический многочлен снова анти- симметрический многочлен. В частности, антисимметрическими будут миогочлены вида р (хм х„..., х,) А (х„хе...., х,), где р(х„х„..., хл) — любой симметрический многочлен. Можно доказать, что каждый антисимметрический много- член записывается в виде такого произведения (см.
упражнение 7). Ясно, что произведение двух антисимметрических многочленов — многочлен симметрический. Лемма. Действуя на произвольный четносимметраческий многочлен ) (х1, х2„..., х,) нечетными перестановками, будем получать один и тот же многочлен, п1. е. (Х1 Х2~ ~ Хл) /в (Х1, Х2 1 Хл) для любых нечетных перестановок а, Р. 202 Действительно, в этом случае а а и р а — четные перестановки и, следовательно, ~а ° а г» а Действуя на обе части этого равенства перестановкой а-', получим (га ° а) а-' — ()» ° а) а-' Поскольку (1')'=1" для любых перестановок о, т, то Г(ь.ь> ь- ~(» Ю в-' Используя ассоциативность умножения перестановок, получим ~а (а а-ч 1» ° (а а-ч В силу определения обратной перестановки имеем 1 '= =1»', т.
е. )-=~». Т е о р е м а. Каждый четносимметрический мнсгочлен может быть представлен, и притом единственным образом, в виде суммы симметрического и антисимметрического многочленов. Доказательство. Единственность. Пусть заданный четносимметрический многочлеи 1 представлен в виде 1=д+Ь, где с( — некоторый симметрический, Ь вЂ” антисимметрический многочлены. Подействуем на обе части этого равенства какой-нибудь нечетной перестановкой а: (ь а+Ьа Однако, в силу предположений о и и Ь, й"=д, Ь'= — Ь, т.
е. ~ч=д — Ь. (2) Складывая и вычитая почленно равенства (1) и (2), получим 2 ' 2 1+1" 1 — 1ь (3) Отметим, что в силу ранее доказанной леммы правые части равенств (3) не изменятся, если вместо а взять какую-нибудь другую нечетную перестановку )1. Проведенные рассуждения доказывают, что если разложение (1) возможно, то обязательно для и и Ь справедливы формулы (3), т, е.
у и Ь, если существу(от, то определены однозначно. 1ОЗ Существо па н ие. Лля доказательства сущестаовання разложения (!) необходимо проверить, что: () / = — + —, где а — некоторая (безразлично /(/а / /а какая) нечетная перестановка; 2) 6= — — симметрический миогочлен; /+/ 2 / — / 3) Н = —,-антисимметрическии многочлен. 2 Но 1) очевидно, а для доказательства 2) и 3) достаточно заметить следующее.
Если Р— ч е т н а я перестановка, то /а=/, ц )а=~ 'а=~ а силу леммы, так как а Р— нечетная перестановка. Поэтому ба=6, НР=Н. Если же Р - нечетная перестановка, то /а = /" н силу леммы, а (/а)а =/"'и=/, так как а ° Р будет четной перестановкой. Поэтому Теорема доказана. В частности, любой многочлен с двумя неизвестными является суммой симметрического и антисимметрнческого многсчленов. Упражнения К пыразить через злементзрные симметрические многочлены~ а) х)+х,'; б) х(+х)+х): в) оз(х";хз).
2. Решить системы уравйеннй; в) у'х+)Гу+2 У хд, «+д 20, б) х'+ уз+ 2х+ 2ь 23, хе+у'+ хв !9, н) х+у 4, ьч+д' 82, а. Найти площадь треугольника, зная его периметр, сумму квавратов длин его сторон и сумму кубов длин его сторон. 4. Если некоторый многочлен /(уь у,) обращается в нуль при податановке х,+хз вместо д, и х,хт вместо д„то он тождественно равен нулю. /(оказать зто. б. Теорема динстзенносщи1 для произвольного симметрического многочлена /(хь х,) существуез только один многочлен д(у,, д,), такой, что /(хь х,) Е(от, оз). Доказать ато утверждение, используя упражнение 4. б.
Если / (хь хз) — антисимметРический многочлен, то /(х„.тб=о. Локазать зто. Сформулировать н доказать аналогичное утверждение иля многочленов с тремя переменными. 7. Используя предыдущее упражнение, доказать, что произвольный антисимметрический многочлен /(»и х,) е двумя переменными имеет нид (х,-ха)д(хь хз), где К(хо ха)-симметрический много- член, 8. Функция /(х,, хз, ..., х„) от и переменных назмвается симметрической, если она не изменяет значений при произвольной пере.
сгановке аргументов, т. е. кля любой перестановки о зм Яз имеем /(хшо %»ю " хопа)=/(хь хз "., х„). /(окажите, что функция /(хь хь хз)= ~ ! х,— хз!+х,+хз — 2хз!+~ х,— хз)+х,+хз+2хз симметрическая. й )7. О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. Алгебраическим уравнением степени и называется уравнение вида аех" + атх"-з+... + а„тх+ а„= О, где старший коэффициент азФ О. Простейшие виды алгебраических уравнений — уравнения 1-й и 2-й степени и даже некоторые специальные виды уравнений 3-й степени — математики могли решать еще в древнем Вавилоне примерно 4000 лет тому назад.
Правда, в те далекие времена ученые еще не знали современной математической символики и записывали и само уравнение и процесс его решения словами, а не формулами. 2. Произвольное уравнение первой степени ах+Ь=О, а~О, всегда имеет, и притом единственное, решение х= — Ь/а. В школьном курсе алгебры доказывается следующая теорема о решении произвольного квадратного уравнения ах» + Ьх+ с = 0: Если число 0 = Ьз — 4ас ) О, то уравнение имеет ровно два корня, коп)орые даются формулой — ь у'/) хт, »в ь Если 0 = О, то корень только один: х = — — . 2о' Если же 0(0, то корней среди действительных чисел нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
