Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть К вЂ” группа перестановок с групповой операцией умножением перестановок (1 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4) (1 2 3 4) введенная в 3 8 в примере 4 (четверная группа Клейна), Ь вЂ” группа из упражнения 2 б) к 2 4, т. е. группа функций у=х, у= — х, у=1/х, у= — 1/х, определенных на множестве действительных чисел без О с групповой операцией суперпозицией функций.
Это совершенно разные группы, поскольку они состоят из разных объектов: в первом случае — перестановки, а во втором — функции действительного аргумента. Введем теперь согласованные обозначения для элементов этих групп следующим образом: Обозна-' чеиие Элемеит из С Элемеит из К (1 2 3 4) у = — 1/л Согласно этой таблице, скажем, перестановка Ф ° .) 1 2 3 4! ) и функция у==х обозначены одним и тем же 74 ) символом а. Если теперь составить таблицы умножения для групп К и Ь в новых обозначениях нх элементов, то получим как в первом, так и во втором случае следующую таблицу (проверьте!): Итак, элементы групп К и Е можно «переназвать» так, что в «новых наименованиях» таблицы умножения этих групп будут совпадать.
Но таблица умножения полностью определяет групповую операцию. Таким образом, из сказанного видно, что если не обращать внимания на природу элементов групп К и Е, го групповые операции в этих группах можно не различать. Неразличимые в таком смысле группы принято называть изоморфными. Сформулируем теперь общее определение изоморфизма групп.
Определение. Группы 6» и 6, называются изоморфными, если между их элементами можно установнзь взаимно однозначное соответст вие, называемое изоморфизмом и обозначаемое стрелкой, которое сохраняет групповую операцию, т. е. такое, что для произвольных элементов иь д,'~6» из условий д» д„д; д; следует, что д'»ад1 и»вд»С Если группы 6» и б, изоморфны, а элементы из б, и соответствующие им элементы из б, одинаково обозначить, то понятно, что таблицы умножения этих групп в таких обозначениях будут совпадать. Очевидно, что имеет место и обратное: если элементы групп 6„ 6, можно так обозначить, что в этих обозначениях их таблицы умножения совпадают, то группы 6» и б, изоморфны. Отношение изоморфизма групп имеет следующие свойства: 1) Нейтральному элементу е,группы 6, соответствует нейтральный элемент е» группы 6».
Действительно, пусть элементу е, ен б, при изоморфизме б, б, соответствует некоторый элемент а из 6,. Тогда элементу е,'=е»» е«соответствует, согласно основному свойству изоморфизма, элемент а«а = а'. Однако е," =еь Поскольку изоморфизм — взаимно однозначное соответствие, отсюда 75 получаем, что ае=а. умножая правую и левую, части этого равенства на элемент а-' (например, слева), получим а-'*а'=а-'ва, т. е'. а =ем 2) Для произвольного элемента у1 ~ 61 соответствие д, д, влечет за собой у,' д,'.
В самом деле, пусть элементу д,' соответствует при изоморфнзме некоторый элемент й ~ 6м Тогда и роизведению д,вд,' будет соответствовать произведение д,*й. Но д,*д,'=еь и по первому свойству изоморфизма отсюда получаем, что д,*й=е,. Следовательно, й=д,'. 3) Понятно, что любая группа зоморфна сама себе и отношение изоморфизма симметрично (если группа 6т изоморфна группе б„то и наоборот — группа 6, изоморфна группе 6,). 4) Изоморфные группы состоят из одинакового числа элементов. Изоморфизм между данными двумя группами не обязательно определяется единственным образом.
Например, легко проверяется, что любое взаимно однозначное соответствие между элементами рассматриваемых выше групп К и Е, при котором нейтральные элементы этих групп соответствуют друг другу, будет изоморфизмом. Сушествует 6 взаимно однозначных соответствий между подмножествами элементов групп К и Ь, отличных от нейтральных, т. е.
изоморфизм между группами К и 1. можно установить шестью различными способами. Теперь мы можем строго сформулировать и доказать основное утверждение этого параграфа. Теорема Кэл и. Любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок на мнозсестве своих элементов. Доказательство. Пусть 6=(до=е, уь ., д -1) у — некоторый элемент из этой группы, т. е. и=у; для какого-то ( (О ((-=и — !). По элементу д определим преобразование д множества 6, задавая его таблицей значений Поскольку множество 6 замкнуто относительно умножения, все элементы вида а, ву (0()ч-и — 1) принадлежат 6,, т.
е. эта таблица действительно определяет преобразование над множес~вом 6. Более того, все элементы ряда 16 различны, поскольку из равенства йоооп=а~оп получаем, умножая его правую и левую части справа на элемент д-1, (фофй:1= (ах оя) оа илн ф о (фоа-1) = п1 о (гооа-~~. Поскольку пой-1 =е, то по=аь т. е.
(=1. Таким образом, преобразование а является перестановкой множества 6. Пусть )т' (6) — множество всех перестановок вида д, построенных по элементам группы С. Установим соответствие между элементами группы 6 и перестановками из )т (6) по правилу ао а1 ао " ал-1 а а= ... ~,„~,„~) ° а а=( Понятно, что различным элементам из 6 соответствуют различные перестановки из )с (6), поскольку онн по-разному действуют на нейтральный элемент группы 6.
Итак, это соответствие взаимно однозначное. Проверим, что оно сохраняет группову1о операцию, т. е. для любых элементов д, д' из 6 выполняется условие аод' а а'. Иными словами, это означает, что для любых элементов д, д' из 6 имеет место равенство дед'=а д'. Перестановка под' согласно определению задается таблицей ( ао а1 ". ао-1 а *(аоа') ь (а*а') " а. *( *~'))' т. е.
под ее действием произвольный элемент до енС переходит в элемент доо(доя'). Произведение перестановок а, а' на любой элемент до енС действует так: в1 э"оой' (ФоК)Ы ° ало [ В силу ассоциативности умножения в группе 6 получаем, что для любого 1=0, 1, ..., и — 1 выполняется равенство доо(под') =(йэооо) ооо', т. е. (до)ооой'=(д,.) (д.д').
А это.и означает, что для перестановок д, д' на множестве 6 выполнено равенство дол'=д а'. Теорема доказана. Отметим, что при доказательстве мы не проверяли отдельно замкнутость множества )с (6) относительно умножения перестановок — это автоматически следует из того, что Я (6) — изоморфный образ группы 6, Группу подста- уу принято называть правым регулярным пред- группы 6. Аналогично можно строить левое представление, при котором произвольному из 6 взаимно однозначно соответствует пере- новак Й(6! ставлением регулярное элементу д становка й' = аз йт йа " ° йл — т и экз н ан! н *нз ''' и ака-1) =( (у умножается последовательно слева на все элементы группы 6).
Левое регулярное представление группы 6 ей не изоморфно, поскольку произведению у*у' элементов из 6 соответствует перестановка д' д, т. е. множители переставляются. Такие группы называютея антиизоморфными. Упражнения !. Доказать, что из условий ~6г~ ~6,)=2 или )6,)=)6,~=3 следует, что группы 6, и 6,— изоморфны. 2.
Любая группа, состоящая из четырех элементов, изоморфна либо четверной группе Клейна либо циклической группе четвертого порядка, Доказать это. 3. Доказать, что группа подстановок на множестве (1, 2, 3, 4, 5, 6), состоящая из подстановок (! 2 3 4 5 6)' (2 3 1 6 4 5)' (3 1 2 5 6 4)' ! 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ! 2 3 4 5 6 (4 5 6 1 2 3) ' (5 6 4 3 1 2) ' (6 4 5 2 3 1) ' изоморфна симметрической группе 5з. 4. Группа перестановок (6, М) называется регулярной, если для произвольных двух элементов т„ щ из множества М существует в точности одна перестановка и из группы С, такая, что (щг)а=щз. Чему равен стабилизатор произвольного элемента из М (см. задачу 5 из.з 8) в группе 6? 5. Проверить, что правее регулярное представление произвольной группы является регулярной группой перестановок.
6. Построить правое регулярное представление следующих групп: а) группы симметрий правильного треугольника! б) группы функций у=х, у= — х, у= 1/х, у= — 1/х, определенных на множестве действительных чисел кроме нуля. т. Если группы 6, и 6, изоморфны и группы 6з и 6э тоже изоморфны, то изоморфными будут также группы 6г и 6,, Доказать это. 6 11. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА Пусть 6 и Н вЂ” группы перестановок, причем Н с:6, т. е. как принято говорить, Н является подгруппой группы 6. Одной из первых теорем теории групп является 78 теорема, устанавливающая связь между порядками групп 6 и Н, доказанная в несколько иных терминах Лагранжем еще в конце ХЧП1 столетия. Эта простая по идее доказательства теорема очень часто применяется как в самой теории групп, так и во всех приложениях, одно из которых мы рассмотрим ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
