Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

! Рис..26 г Рис. 27 б. Группа симметрий тетраэдра. Тетраэдр (рис. 27) имеет 4 оси симметрии 1„1„14, 1, 3-го порядка, проходящие через его вершины 1, 2, 3, 4 и центры противолежащих граней. Вокруг каждой оси, кроме тождественного, возможны еще два вращения. Им соответствуют такие перестановки.' 3 4 2)' 2 3 4) (! 2 3 4) оси 11 ( оси 12 (4 3 (2 ! - ° (3 вокруг вокруг вокруг вокруг Кроме того, имеется 3 оси симметрии 2-го порядка, проходящие через середины А, В, С, Р, Е, В скрещивающихся ребер. Поэтому имеется еще 3 (по числу нар скрещивающихся ребер) нетождественных .

преобразования, 68 которым соответствуют перестановки: вокруг осн АВ ( ! вокруг осн ЕР (2 ). Итак, вместе с тождественным преобразованием получаем 12 перестановок. При указанных преобразованиях тетраэдр самосовмещается, поворачиваясь в пространстве; его точки при этом не изменяют своего положения относительно друг друга.

Совокупность выписанных 12 перестановок замкнута относительно умножения, поскольку последовательное выполнение вращений тетраэдра снова будет вращением. Таким образом, получаем группу, которая называется группой вращений тетраздра. При других преобразованиях пространства, являющихся самосовмещениями тетраэдра, внутренние точки тетраэдра передвигаются относительно друг друга. А именно: тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая нз которых проходит через одно из его ребер и середину противолежащего ребра. Симметриям относительно этих плоскостей отвечают следующие транспозицин на множестве вершин тетраэдра: Плоскасть Транавозиция ребро (2, 3), точка А (1, 4) ребро (2, 4), точка С (1, 3) ребро (1, 2), точка Е (3, 4) ребро (1, 4), точка В (2, 3) ребро (1, 3), точка О (2, 4) ребро (3, 4), точка Р (1, 2) Уже на основании этих данных можно утверждать, что группа всевозможных симметрий тетраэдра состоит из 24 преобразований.

В самом деле, каждая симметрия, самосовмещая тетраэдр в целом, должна как-то переставлять его вершины, ребра и грани. В частности, как уже было сказано, в данном случае симметрии можно характеризовать перестановками вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр имеет 4 вершины, его группа симметрий не может состоять больше чем нз 24 преобразований. Иными словами, она либо совпадает с симметрической группой Ям либо является ее подгруппой. Выписанные выше симметрии тетраэдра относительно плоскостей определяют все- 69 возможные транспозиции на множестве его вершин. Поскольку эти тра нспозиции порождают симметрическую группу 5,, получаем требуемое. Таким образом, любая перестановка вершин тетраэдра определяется некоторой его симметрией.

Однако этого нельзя сказать о произвольной перестановке ребер тетраэдра. Если условиться обозначать камсдое ребро тетраэдра той же буквой, что и его середину, то, скажем, перестановки на множестве ребер отвечают соответственно двум вращениям вокруг оси 1, и вращению вокруг оси АВ. Выписав перестановки на множестве ~А, В, С, О, Е, Р~ для всех преобразований симметрии, получим некоторую подгруппу симметрической группы 5,, состоящую из 24 перестановок. Группа перестановок вершин тетраэдра и группа перестановок его ребер — разные группы перестановок, поскольку они действуют на разных множествах.

Но за ними «виднаг одна и та же группа — группа преобразований пространства, оставляющих тетраэдр на месте! В следующем параграфе для описания такой ситуации мы введем специальное понятие — иэоморфиэм групп, а о группах, <похожих» друг на друга в указанном смысле, будем говорить, что опи иэоиорфны. 6. Группа симметрий куба. Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра делятся на два типа — самосовмещения; при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа мы, как и в случае тетраэдра, будем называть вращениями.

Все вращения, очевидно, образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем сначала строение этой группы. Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии. В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 28).

Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу,— имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поноротам вокруг 70 оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы О, и/2, и, Зп/2. Таким образом, получаем 6.4 = = 24 вращений куба. Укажем их в явном виде. Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии. а) Оси симметрии четвертого порядка — это оси 0,0„ 0,0„0,0„проходящие через центры противоположных граней: Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы и/2, и, Зп/2.

Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых першины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки 1 2 3 4 5 2 3 4 1 б ( 1 2 3 4 5 3 4 1 2 7 ( 1 2 3 4 5 4 1 2 3 8 б 7 8) 6 7 8! 8 5 б/' 6 7 8) Рис. 28 отвечают поворотам вокруг оси 010ь б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1, 71, [2, 8~, [3, 51, [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы 2п/3, 4п/3.

Например, вращения вокруг диагонали [1, 71 определяют такие перестановки вершин куба: 2 3 4 5 6 7 8) /! 2 3 4 5 6 7 1 5 6 2 8 3 7 3/' (! 4 8 5 2 3 7 б/' Всего получаем 8 таких вращений. в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1, 21, [7, 81), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение.

Всего — 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращения. Итак, все вращения куба указаны. Вращении куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, 71 граней и диагоналей. Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей.

Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей (проверьте!). Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причем разным перестановкам соответствуют разные вращения. Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр.

Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам ! еще 24 преобразования, являю- щихся самосовмещениями куба. --+- Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований. 7. Группа симметрий октаздра. Октаэдр — один из пяти правильных многогранников (кроме тетраэдра и куба, к ним относятся еще икосаэдр и додекаэдр). Его можно Рис. 29 получить, соединяя центры граней куба и рассматривая тело, ограниченное плоскостями, которые определяются соединительными прямыми длв соседних граней (рис.

29). Поэтому любая симметрия куба одновременно является симметрией октаэдра и наоборот. Таким образом, группа симметрий октаэдра такая же, как и группа симметрий куба, и состоит из 48 преобразований. В каждом из рассмотренных в пп, 5 — 7 примеров имеет место следующая закономерность. Группа симметрий правильного многогранника состоит из 2! преобразований, где 7 — число его плоских углов. Это утверждение имеет место для всех правильных многогранников, его можно доказать в общем виде, не находя всех симметрий многогранников, как это было нами сделано.

Упражнения К доказать, что для всех и тз 2 группа диэдра 77„ неавелева. 2. Определить типы и порядки всех перестановок из групп днэдра О, и Вз, 72 3. Сислыиой об?юзующих группы лвреспщновоя С называется такое множество Т ее элементов, что любую перестановку из С можно разложить в произведение перестановок из Т. Система образующих Т неприводими, если из нее нельзя выбросить ни одной перестановки так, чтобы оставшееся множество было системой образующих группы С. Проверьте, что вращение правильного и-угольника на угол 2п/п и любая из симметрий относительно прямых, сохраняющих п-угольник, являются неприводимой системой образующих группы его симметрий.

Существует ли неприводимая система образующих группы ??„, состоящая хз элементов порядка 2? Существуют ли непрнводимйе системы образующих 1«а, состовщне из разного количества перестановок? 4. Описать группу симметрий звезды, изображенной на рис. ЗО. Каков порядок этой группы? 3.

Отличаются ли группы симметрий фигур, изображенных на рнс. 31? Рис. ЗО Рнс. 31. 6. Определить типы всех перестановок из группы симметрий тетраэдра, действующей на множестве его ребер, 7. Тетраэдр можно вписать в куб так, что ребра тетраэдра будут диагоналями граней куба. Прн этом любое вращение куба определяет некогорое вращение тетраэдра.

Какие вращения куба определяют одинаковые вращения тетраэдра? Скольно их длв каждого вращения тетраэдра? 8. Найти центр группы вращений тетраэдра. 9. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений куба? в группе всех его симметрий? 10. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основе которой лежит правильный и-угольник. Выделить в ней подгруппу вращений.

Совпадают ли эти группы? $10. ТЕОРЕМА КЭЛИ Из рассмотренных в предыдущих параграфах примеров видно, что симметрические группы весьма богаты подгруппами. Более того, любую конечную группу можно рассматривато как подгруппу подходя«чим образом выбранной сил«мгтричгской группы, Это утверждение было установлено в середине прошлого столетия английским мате«латнком А. Кали и теперь называется его именем. Прежде чем точно сформулировать теорему Кэли, введем понятие 73 изоморфизма групп — одного из основных понятий теории групп.

Изучать группы можно по-разному. Один из возможных и, по существу, главный подход состоит в том, что при изучении группы исследуются свойства групповой операции независимо от природы элементов группы. При других подходах к исследованию свойств групп опираются на определенные факты, касающиеся природы элементов группы. С точки зрения первого подхода может оказаться, что в группах с элементами различной природы групповая операция с точностью до обозначений одна и та же. Поясним сказанное на примере.

Характеристики

Список файлов книги